-----規(guī)范答題示例3------

導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

典例3（16分）（2019?江蘇，19）設(shè)函數(shù)段）=a-a）a-b）（x-c）,a,b,c￡R,/（幻為凡r）的導(dǎo)

函數(shù).

（1）若a="=c,逃4）=8,求〃的值；

（2）若方=c，且｛r）和/（x）的零點(diǎn)均在集合｛一3,1,3｝中，求￡0的極小值；

4

（3）若a=0,0<bW1,c=l,且兀0的極大值為求證：行.

審題路線圖

（I）|待定系數(shù)法］f|代入94）的值詞

（2）|求導(dǎo)符/而］通過零點(diǎn)求出-1列表求/U）的極小值

（3）1求導(dǎo)得/（⑹一|列表確定於）的極大值I-

根據(jù)。的取值范圍證明MW/或用放縮法構(gòu)造函數(shù)證明MW引

規(guī)范解答?分步得分構(gòu)建答題模板

(1)解因?yàn)椤?b=c,所以/(%)=(%—a)(x—b)(x—c)=(x—a)3.

因?yàn)?4)=8,所以(4—a)3=8,解得。=2............2分

(2)解因?yàn)閎=c,所以/)=(x-a)(x-Z?)2

=x3—(a+2^)x2+Z?(2d+Zy)x—ab2,從而，(x)=3(x-%；

.,g.2a~\-b、

令f(%)=0,得x=b或x=1—...................4分

因?yàn)閍,b,—都在集合｛—3,1,3｝中，且aWb,所以》V=1,a

=3,b=-3.

此時(shí),?=(x—3)(X+3)2,f(x)=3(x+3)(x—1).......6分第一步

令/(%)=0，得工=-3或x=l.列表如下：求導(dǎo)：根據(jù)已知條件確

X(一8,-3)-3(-3,1)1（1，+8）定函數(shù)解析式，求函數(shù)

f（X）+0—0+的導(dǎo)數(shù).

兀V）7極大值極小值7第二步

求極值：列表求函數(shù)的

所以兀0的極小值為川)=(1—3)(1+3)2=—32........10分極值.

(3)證明因?yàn)閍=0,c=l,第三步

所以7(x)=x(x—b)(x—l)=x3-(Z?+l)x2+/?x,證明：根據(jù)參數(shù)的范圍

f(x)=3f-2S+l)x+b.或構(gòu)造函數(shù)利用放縮

d=4(b+1)2-1乃=(23-1尸+3>0,法證明結(jié)論.

則，（“）有2個(gè)不同的零點(diǎn)，設(shè)為由，彳2（即42）.

..〃+1_6+1

由，a）=o,得的=3?名=

6+1+y/b2—b+1

列表如下:

X(一8,X|)X\（的，工2）X1。2，+°°)

f（X）+0—0+

fix)/極大值極小值/

所以“V)的極大值”=大修).........................14分

方法一S+1源+如

=函―2@+!g+?！饕籢±^+呼

=且二祟3+誓山殺尸可

=絲_必察型+看而Efw喏+看號(hào)

4

因此MW近......................................16分

方法二因?yàn)?3W1,所以由￡(0,1).

當(dāng)彳￡(0,1)時(shí)，J(x)=x(,x—b)(.x—1)^x(x—1)2.

令g(x)=x(x-l)2,xW(O,D，

則/。)=3(》一§0—1),x￡(O,l).

令g'(x)=0,得x=g.列表如下：

所以當(dāng)4=；時(shí)，g(x)取得極大值，乜是最大值，故且(戲皿=8(§=

44

所以當(dāng)xR(O,l)時(shí)，爪幻近g(x)近萬.因此“近萬.........16分

評(píng)分細(xì)則(1)中將a=b=c代入律貝x)得1分.

(2)中求出，(X)即得1分，求〃，。時(shí)沒有中間步驟不扣分.

(3)中只列出表格沒有指明M=/31給1分.

跟蹤演練3(2019?南通、泰州、揚(yáng)州、徐州、淮安、宿遷、連云港七市調(diào)研)已知函數(shù)段)

=21nx+$2—ar,〃￡R.

(1)當(dāng)a=3時(shí)，求函數(shù)＜x)的極值；

(2)設(shè)函數(shù)?x)在彳=沏處的切線方程為丁=8(幻，若函數(shù)y=/&)—g(x)是(0,+8)上的單調(diào)增

函數(shù)，求的的值；

(3)是否存在一條直線與函數(shù))，=氏丫)的圖象相切于兩個(gè)不同的點(diǎn)？并說明理由.

解(1)當(dāng)〃=3時(shí)，函數(shù)1x)=21n工+#一3x的定義域?yàn)?0,+°°).則/(x)=《+x—3=

』—3x+2

:一,令/(x)=0得工=1或1=2.

列表：

X(0,1)1(1,2)2(2,+8)

f(X)+0—0+

於)/極大值X極小值/

所以函數(shù)段)的極大值為川)=一方

極小值為八2)=21112—4.

(2)依題意，切線方程為y=f(A())(X—xo)+/(xo)(Xo>O),

,

從而g(x)=f(xo)Cv—x0)+y(xo)(xo>0),

記p(x)=j[x)-g(x)t

則p(x)=段)-Hxo)—f(即)。-Xo)在(0,+8)上為單調(diào)增函數(shù),

所以p'(%)=/(工)一/(的)20在(0,+8)上恒成立，

22

即p'(幻=：一二+x—沏20在(0,+8)上恒成立.

X40

變形得2沏+看2在(0,+8)上恒成立，

因?yàn)閤+W。2d|=2求(當(dāng)且僅當(dāng)x=小時(shí)，等號(hào)成立)，

所以2啦2沏+看，從而(即一例2《0,所以沏=啦.

(3)假設(shè)存在一條直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的切點(diǎn)Ti(xi，yi),T2a2，兒)，不妨設(shè)

0<X|<r2,則。處切線/]的方程為：y—/(xi)=/(XJXX-Xi),

出處切線的方程為：y~J(X2)=f(%2)(x—M).

因?yàn)?],，2為同一直線，

/3)=f(M)，

卜修)一3)=/2)—x/to).

「22

1+沏—a=--\-X2—a,

x2

即、21nxi+中:1—ar]-%i

=21nx2

*1X2=2,

整理得4

2lnX\—irf=21n必一

消去M得，2吟+,一,=().①

令，=蕓