第三章一元函數(shù)得導(dǎo)

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數(shù)與微分

3、1導(dǎo)數(shù)概念

A—、問題得提出

1、切線問題A割線得極限位置一一切線位置A

如圖，如果割線MN繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)而趨

向極限位置MT,直線MT就稱為曲線C在點(diǎn)M處得切線、

極限位置即AA

切線MT得斜率為A2、自由落體運(yùn)動(dòng)得瞬時(shí)速度問題

A二、導(dǎo)數(shù)得定義

設(shè)函數(shù)產(chǎn)f(x)在點(diǎn)得某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量x在處取得增量Ax(點(diǎn)仍在該鄰

域內(nèi))時(shí)，相應(yīng)地函數(shù)y取得增量;如果Ay與Ax之比當(dāng)Ax->0時(shí)得極限存在,則稱函數(shù)

y=f(x)在點(diǎn)處可導(dǎo)，并稱這個(gè)極限為函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)處得導(dǎo)數(shù)，記為

即A

其它形式

關(guān)于導(dǎo)數(shù)得說明:

在點(diǎn)處得導(dǎo)數(shù)就是因變量在點(diǎn)處得變化率，它反映了因變量隨自變量得變化而變化得

快慢程度。4如果函數(shù)y=f(x)在開區(qū)間I內(nèi)得每點(diǎn)處都可導(dǎo)，就稱函數(shù)f(x)在開區(qū)間

I內(nèi)內(nèi)導(dǎo)。

對(duì)于任一,都對(duì)應(yīng)著f(x)得一個(gè)確定得導(dǎo)數(shù)值，這個(gè)函數(shù)叫做原來函數(shù)f(x)得導(dǎo)函數(shù),

記作AAA注意：AA2、導(dǎo)函數(shù)(瞬時(shí)變化率)就是函數(shù)平均變化率得逼近函數(shù)、

A導(dǎo)數(shù)定義例題：

例1、115頁a設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=a可導(dǎo)，求：

(l)A【答疑編號(hào)11030101：針對(duì)該題提問】

(2)A【答疑編號(hào)11030102:針對(duì)該題提問】

】手寫板圖示0301-03

limf(a+5h)-f(a-3h)

h—02h

_limf(a+5h)-f(a)+f(a)—f(a-3h)

―h->02H-

lim垃一f(a)_f(a—3h)T(a)

-h—02h卜―02h

=_Llimf(a+5h)-f(a)

2h-0Sh-

,3limf(a-3h)-f(a)

~2hf0-3h

R3

=-(a)+—(a)=4f*(a)

三、單側(cè)導(dǎo)數(shù)A1、左導(dǎo)數(shù)：A

2、右導(dǎo)數(shù):A

函數(shù)f(x)在點(diǎn)處可導(dǎo)左導(dǎo)數(shù)與右導(dǎo)數(shù)都存在且相等、A例2、討淪函數(shù)f(x)=|x|在

x=0處得可導(dǎo)性。A【答疑編號(hào)11030103:針對(duì)該題提問】A解

?兀手寫板圖示0301-04

閉區(qū)間上可導(dǎo)得定義:如果f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且及都存在，就說f(x)在閉

區(qū)間［a,b］上可導(dǎo)、

由定義求導(dǎo)數(shù)

步驟:A

例3、求函數(shù)f(x)=C(C為常數(shù))得導(dǎo)數(shù)。

【答疑編號(hào)11030104:針對(duì)該題提問】

解

4A例4、設(shè)函數(shù)

【答疑編號(hào)11030105:針對(duì)該題提問】A解

同理可以得到aA

例5、求

天手寫板圖示0301-05

例6、求函數(shù)得導(dǎo)數(shù)。

【答疑編號(hào)11030106:針對(duì)該題提問】

解

例7、求函數(shù)得導(dǎo)數(shù)。

【答疑編號(hào)11030107:針對(duì)該題提問】

解

四、常數(shù)與基本初等函數(shù)得導(dǎo)數(shù)公式

五、導(dǎo)數(shù)得幾何意義

表示曲線y=f(x)在點(diǎn)處得切線得斜率，即A

切線方程為A法線方程為

例8、求雙曲線處得切線得斜率，并寫出在該點(diǎn)處得切線方程與法線方程。A【答疑

編號(hào)11030108：針對(duì)該題提問】

解由導(dǎo)數(shù)得幾何意義，得切線斜率為

所求切線方程為

法線方程為g六、可導(dǎo)與連續(xù)得關(guān)系A(chǔ)1、定理凡可導(dǎo)函數(shù)都就是連續(xù)函數(shù)、A

注意:該定理得逆定理不成立,即:連續(xù)函數(shù)不一定可導(dǎo)。A我們有:不連續(xù)一定不可導(dǎo)A

極限存在、連續(xù)、可導(dǎo)之間得關(guān)系。

2、連續(xù)函數(shù)不存在導(dǎo)數(shù)舉例A例9、討論函數(shù)在x=0處得連續(xù)性與可導(dǎo)性。

【答疑編號(hào)11030109:針對(duì)該題提問】

解：

.元手寫板圖示0301-08

:手寫板圖示0301-09

例10、P115第10題

設(shè)，a在什么條件下可使f（x）在點(diǎn)x=0處。

（D連續(xù)；（2）可導(dǎo)。A【答疑編號(hào)11030110：針對(duì)該題提問】

解：（1）

L手寫板圖示0301T0

asin-XWO

rI0X=0

及二f(x)=及,xa-sin^-#=f(0)=0

X—>0X-03x

lim

當(dāng)a>0時(shí)Af(x)=0=f(0)

a=0占二。,(X)=K'oSin=不存在

a<0時(shí)(x)=xZ0x%inj不存在

(2)

A七、小結(jié)

1、導(dǎo)數(shù)得實(shí)質(zhì)：增量比得極限;A2、導(dǎo)數(shù)得幾何意義:切線得斜率;

3、函數(shù)可導(dǎo)一定連續(xù)，但連續(xù)不一定可導(dǎo);A4、

5、求導(dǎo)數(shù)最基本得方法：由定義求導(dǎo)數(shù)、A6、判斷可導(dǎo)性

3、2求導(dǎo)法則

3、3基本求導(dǎo)公式

A—、與、差、積、商得求導(dǎo)法則

1、定理：

如果函數(shù)在點(diǎn)x處可導(dǎo)，則它們得與、差、積、商（分母不為零）在點(diǎn)x處也可導(dǎo)，并且

推論A

Eu(x)v(x)v(x)]/

=[u(x)?v(x)]'?w(x)+u(x)v(x)?w'(x)

1VAy**

///

=[u(x)v(x)4-u(x)v(x)]w(x)+u(x)v(x)w(x)

=u'vw+uv'w+uvw'

[c■f(x)]'=c'f(x)4-c-ff(x)

=c?f'(x)

2、例題分析

例1、求得導(dǎo)數(shù)。A【答疑編號(hào)11030201：針對(duì)該題提問】

解

例2、求得導(dǎo)數(shù)。A【答疑編號(hào)11030202:針對(duì)該題提問】A解

手寫板圖示0302-02

y=sin2x?皿乂求/

sin2x■lnx=2sinxcosx'Inx

.*.y,=2(sinx)zcosxlnx+sinx(cosx),Inx

+sinxcosx■(inx)’

一c2i?2nisinXcosx

-2cosxlux-smxInx+------------

--------x

例3、求y=tanx得導(dǎo)數(shù)。

【答疑編號(hào)11030203：針對(duì)該題提問】A解

同理可得

4例4、求y二secX得導(dǎo)數(shù)。A【答疑編號(hào)11030204:針對(duì)該題提問】

解

同理可得

4例5、131頁例"設(shè)，求、

【答疑編號(hào)11030205:針對(duì)該題提問】

手寫*板圖示0302-05

f(x)=x(x-l)(X—2)'-(X—50)

求r(o)-

解：f/(x)=(x-l)(x-2)-(x-50)

+x-1■(x—2)*"(x—50)

+x???,(x—1)-1,(x—3),,e(x-50)

d----Fx■(x-1)…(x-49)?1

f'(0)=(-1)(-2)-(-50)

=501

二、反函數(shù)得導(dǎo)數(shù)

1、定理:A如果函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)且,那么它得反函數(shù)在對(duì)應(yīng)區(qū)間內(nèi)也可導(dǎo)，

且有A即反函數(shù)得導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)得倒數(shù)、

2、例題分析

例6、求函數(shù)y=arcsinx得導(dǎo)數(shù)A【答疑編號(hào)11030206:針對(duì)該題提問】A解A

A同理可得44A例7、求函數(shù)得導(dǎo)數(shù)。

【答疑編號(hào)11030207：針對(duì)該題提問】A解

AA

特別J的

A三、小結(jié):初等函數(shù)得求導(dǎo)問題

1、常數(shù)與基本初等函數(shù)得導(dǎo)數(shù)公式

2、函數(shù)得與、差、積、商得求導(dǎo)法則A設(shè)

u=u(x),v=v(x)可導(dǎo),則

例8、127頁1題(6)(14)(15)

(1)1題(6)小題

【答疑編號(hào)11030208:針對(duì)該題提問】

解：

、工手寫板圖示0302-06

(2)1題(14)小題

【答疑編號(hào)11030209:針對(duì)該題提問】A解:

V8手寫板圖示0302-07

y=$tanxInx

y1=2xtanx,Inx

+，,sec^x■Inx

+，■tanx■Y

22

=2xtanxInx+xsecxlnx+xtanx

(3)1題(15)小題

【答疑編號(hào)11030210:針對(duì)該題提問】人解:

?夫手罵板圖示0302-08

y—2X4-x^4-logg5

y=(/f+x-2+log25

y'=(尹?ln/+(—2)X-27+0

=-2-xln2-2^3

例9、115頁3

若一直線運(yùn)動(dòng)得運(yùn)動(dòng)方程為，求在t二3時(shí)運(yùn)動(dòng)得瞬時(shí)速度。

【答疑編號(hào)11030211:針對(duì)該題提問】

解：

手寫板圖示0302-09

S=-t2+2t+lV（3）

V（t）=S/（t）

=2t+2

.,.V（3）=6+2=8

例10、115頁5

求曲線得與直線y=5x得平行得切線。A【答疑編號(hào)11030212：針對(duì)該題提問】

'板圖示0302-10

y=x3+x2.=5x

解：y'=3x24~2x

令3xZ+2x=5

3x2-|-2x—5=0

（3x4~5）（x--I）=0

xi——73-X2-1

x2=1Y2=2

???過旭2）的切線為

y—2=5（x—1）

另一條求出來就是

A

四、分段函數(shù)得求導(dǎo)問題AI、114頁定理：設(shè)

(1)如果函數(shù)在上連續(xù)，在上可導(dǎo)，且當(dāng)時(shí)，則

(2)如果函數(shù)在上連續(xù),在上可導(dǎo),且當(dāng)時(shí),則

2、分段函數(shù)得求導(dǎo)問題舉例A例11、116頁11求下列分段函數(shù)f(x)得:A(1)

【答疑編號(hào)11030213:針對(duì)該題提問】A解：

五、復(fù)合函數(shù)得求導(dǎo)法則AI、復(fù)合函數(shù)得求導(dǎo)法則

定理A如果函數(shù)在點(diǎn)x?？蓪?dǎo)，而y=f(u)在點(diǎn)可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)X?？蓪?dǎo)，且其

導(dǎo)數(shù)為AA即因變量對(duì)自變量求導(dǎo)，等于因變量對(duì)中間變量求導(dǎo)，乘以中間變量對(duì)自

變量求導(dǎo)。(鏈?zhǔn)椒▌t)

推廣設(shè),則復(fù)合函數(shù)得導(dǎo)數(shù)為

逐'手寫板圖示0303-01

y=f(u),u=。(x)

y-u-X

dy_dydu

dxdudx

2、例題分析

例1、求函數(shù)y=Insinx得導(dǎo)數(shù)。A【答疑編號(hào)11030301:針對(duì)該題提問】

解Vy=lnu,u=sinxA

“手寫板圖示0303-02

y=Insinxy=Inu,u=sinx

I

u

例2、已知y=(2x?—3x+5)嗎求。

【答疑編號(hào)11030302:針對(duì)該題提問】

~手寫板圖示0303-03

人啟他比§

I""

二/“(4彳4-，〃7)

例3^求y=sin5x得導(dǎo)數(shù)

【答疑編號(hào)11030303：針對(duì)該題提問】

L公手寫板圖示0303-04

j二"拉

例4、求函數(shù)得導(dǎo)數(shù)

【答疑編號(hào)11030304：針對(duì)該題提問】A解

手寫板圖示0303-06

例5、（教材133頁習(xí)題3、3,1題（2）小題）求得導(dǎo)數(shù)

【答疑編號(hào)11030305:針對(duì)該題提問】

,大手寫板圖示0303-08

b工手寫板圖示030309

例6、求得導(dǎo)數(shù)

【答疑編號(hào)11030306:針對(duì)該題提問】

例7、求得導(dǎo)數(shù)(a>0)A【答疑編號(hào)11030307:針對(duì)該題提問】

rx手寫1板圖示0303T1

例8、求函數(shù)得導(dǎo)數(shù)A【答疑編號(hào)11030308：針對(duì)該題提問】

L手寫■板圖示0303-12

解

例9、(教材128頁習(xí)題3、2,3題(5)小題)求得導(dǎo)數(shù)

【答疑編號(hào)11030309：針對(duì)該題提問】

逐'手罵板圖示0303，3

y=In+31nx

11

=lnx3+(lnx)r3

1

=ylnx4-(Inx)3

VAAA7__]

發(fā)U?/+MnX)3.X

vAA/

11-2_

=—><—(l+(lnX)3)

3x

例10、(教材128頁習(xí)題3、2,3題(7)小題)求y=(sinnx)(cos")得導(dǎo)數(shù)A【答

疑編號(hào)11030310:針對(duì)該題提問】

。美手寫'板圖示0303-14

y=sinnX■cos11X

yl=(sinnX)1,cos11X4~sinnXt(cos)X)f

=(cosnX■n),cosnx+sinnX

■n(CDSX)n1(-sinX)

=ncosnX■cosnX-nsinnX

?sinX,(cosx)n1

例11、求得導(dǎo)數(shù)A【答疑編號(hào)11030311；針對(duì)該題提問】

r復(fù)手寫1板圖示0303-15

例12、求得導(dǎo)數(shù)

【答疑編號(hào)11030312：針對(duì)該題提問】

例13、求得導(dǎo)數(shù)

【答疑編號(hào)11030313：針對(duì)該題提問】

公手寫板圖示0303-17

7

例14、求得導(dǎo)數(shù)A【答疑編號(hào)11030314:針對(duì)該題提問】

三寫板圖示0303-18

y,%欠

/燈f///

7二/〃a吟

x依次I

:〃不伏火"加觀2）

例15、（教材習(xí)題3、2,8題）已知在點(diǎn)x=l可導(dǎo),求a,b。A【答疑編號(hào)11030

315:針對(duì)該題提問】

」復(fù)手寫板圖示0303T9

手寫'板圖示0303-20

如尸°

JI,

0刈］XV

“I

舞指函數(shù)、抽象得復(fù)合函數(shù)得求導(dǎo)例題

一、器指函數(shù)求導(dǎo)A例1:父4【答疑編號(hào)11030401:針對(duì)該題提問】

例2：y=(sinx)"8"求y，

【答疑編號(hào)11030402：針對(duì)該題提問】

、人手寫板圖示0304-03

y=(sinx)cosx求y'

一acosx■Insinx

y=eu，u=cosx■Insinx

y,=eu[—sinx"Insinx+cosx?sLxcosx]

=(sinx)C°SX(-sinxInsinx+cotx,cosx]

二、抽象得復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)A例3：設(shè)f(u)可導(dǎo)，求下列函數(shù)得導(dǎo)數(shù)A(l)f(1nx)+

1nf(x)

【答疑編號(hào)11030403:針對(duì)該題提問】

解：

白靈手寫板圖示0304-04

y=f(x)+lnf(x)

=f(Inx)y2=lnf(x)

y1=f(u)>u=lnxyg=Inu,u=f(x)

Jo

y/=f'(u)-L靈=Lf'(x)

1x

(x)

=—fz(inx)

xffeT

/=f#(lnx).f+(x)

f(x)

⑵產(chǎn)f(e")【答疑編號(hào)11030404:針對(duì)該題提問】

解：

手寫板圖示0304-05

dy

y=f(eFx)求—

y=f(u)fu=e

o——

y；=f'(u)?e*1,(—1)

e-x?r(e-x)

(3)y-cf(x)A【答疑編號(hào)11030405:針對(duì)該題提問】

、人手寫板圖示0304-06

e￡&)

y—eu=f(x)

y；=eu-f'(x)

z

-e￡&)f(x)

(4)A【答疑編號(hào)11030406:針對(duì)該題提問】

手寫板圖示0304-07

3、4高階導(dǎo)數(shù)

一、高階導(dǎo)數(shù)得定義

問題:變速直線運(yùn)動(dòng)得加速度。

設(shè)s=f(t)，則瞬時(shí)速度為(th???加速度□就是速度v對(duì)時(shí)間t得變化率

Aa(t)-vz(t)-[r(t)]rA定義如果函數(shù)f(x)得導(dǎo)數(shù)(x)在點(diǎn)x處可

導(dǎo),即

存在，則稱(f'(x))'為在點(diǎn)x處得二階導(dǎo)數(shù)。A記作。A二階導(dǎo)數(shù)得導(dǎo)數(shù)稱

為三階導(dǎo)數(shù)，。A三階導(dǎo)數(shù)得導(dǎo)數(shù)稱為四階導(dǎo)數(shù)，。A例4:y=3x?+sinxA【答疑

編號(hào)11030408:針對(duì)該題提問】

手寫板圖示0304-09

y=3xc+sinx

y，=6x+cosxy的

y*—(yf),=6—sinxyC2)

y"=(y*)/="cosxy(3)

一般地，函數(shù)f(x)得n-1階導(dǎo)數(shù)得導(dǎo)數(shù)稱為函數(shù)f(x)得n階導(dǎo)數(shù)，記作AA相應(yīng)

地，『(x)稱為零階導(dǎo)數(shù);f'(x)稱為一階導(dǎo)數(shù)。

例5:求下列函數(shù)得二階導(dǎo)數(shù):A(l)y=ax+b

【答疑編號(hào)11030409:針對(duì)該題提問】

(2)y=cosnx；A【答疑編號(hào)11030410:針對(duì)該題提問】

(3)y=e8inx

【答疑編號(hào)11030411:針對(duì)該題提問】

二、對(duì)于某些特殊得導(dǎo)數(shù)得高階導(dǎo)數(shù)就是有規(guī)律得?！骼?：求下列函數(shù)得n階導(dǎo)

a)y=e、

【答疑編號(hào)11030412：針對(duì)該題提問】

⑵y=x

【答疑編號(hào)11030413：針對(duì)該題提問】

、手寫板圖示0304-14

_5

y-x

y/=5x5~<S=5x4

價(jià)5?里、4-1=5?4-X5"?

(5^2+1)

廣=5X4X3x3-l=5X4XgV④

/4>=5X4X3X2_-x5-?看-3+1)

(5-4+1)

yG>=5X4X3X2X1=51

y=xnyS『n?(n—l)---(n—k+1)乂“一卜

常產(chǎn)=n!

例7:設(shè)yr11求ye

解：》用數(shù)學(xué)歸納法可以證明:當(dāng)

特別，當(dāng)"n時(shí)，即kxn,其n階導(dǎo)數(shù)Ay<n>=(xn)<n>=n!^【答疑編號(hào)11030

414:針對(duì)該題提問】

例8:A【答疑編號(hào)11030415：針對(duì)該題提問】

例9:設(shè)丫=(x2+l),0(x9+x3+l)，求y(%【答疑編號(hào)11030416:針對(duì)該題提問】

例10：設(shè)丫=$1”,求嚴(yán)。A【答疑編號(hào)11030417：針對(duì)該題提問】A解

同理可簿注意：求n階導(dǎo)數(shù)時(shí),求出1——3或4階后,不要急于合并,分析結(jié)果得

規(guī)律性，寫出n階導(dǎo)數(shù)、(數(shù)學(xué)歸納法證明)A例11:設(shè)f(x)得n—2階導(dǎo)數(shù)，求f(n)(x)。

必【答疑編號(hào)11030418:針對(duì)該題提問】

:板圖示0304-17

改一%)=彘求西心)

f笛必(盧■蘇/

1

_1?Inx?已?又——InX-1

~(Inx1-Qnx/

f$x)=(f啕)/

_^―?Qnx)2—Qnx—l)-21nxB

Qnx)，

=lnx-2(Inx-1)——Inx+2

xQnx)^xQnx),

3、5函數(shù)得微分

問題得提出A實(shí)例：正方形金屬薄片受熱后面積得改變量、A設(shè)邊長由X。變到X

o+Ax,A工?正方形面積

就是得線性函數(shù)

且為4A得主要部分,A就是Ax得高階無窮小，當(dāng)|Ax|很小時(shí)可忽略。A微分得定

義A定義:設(shè)函數(shù)y=f(x)在某區(qū)間內(nèi)有定義，X。及xo+ax在這區(qū)間內(nèi)，如果

A成立(其中A就是與無關(guān)得常數(shù))，則稱函數(shù)

y=f(X)在點(diǎn)X?？晌?，并且稱A?Ax為函數(shù)

y=f(x)在點(diǎn)X。相應(yīng)于自變量漕量得微分，

記作A微分dy叫做函數(shù)增量Ay得線性主部。(微分得實(shí)質(zhì))A可微得條件

定理:函數(shù)f(x)在點(diǎn)x?？晌⒌贸湟獥l件就是函數(shù)f(x)在點(diǎn)X。處可導(dǎo)，且

［手寫板圖示0305-01

X

通常把自變量X得增量稱為自變量得微分,記作dX,即dX=Ax

即函數(shù)得微分dy與自變量得微分dx之商等于該函數(shù)得導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)數(shù)也叫“微商”。A

微分得幾何意義A幾何意義：（如圖）

就是曲線得縱坐標(biāo)增量時(shí)，dy就就是切線縱坐標(biāo)對(duì)應(yīng)得增量，當(dāng)|很小時(shí)，在點(diǎn)”

得附近,切線段MP可近似代替曲線段MN.

手罵板圖示0305-02

微分得求法

求法：計(jì)算函數(shù)得導(dǎo)數(shù)，乘以自變量得微分。A1、基本初等函數(shù)得微分公式

2、函數(shù)與、差、積、商得微分法則

例1:設(shè)，求dy。A【答疑編號(hào)11030501:針對(duì)該題提問】

例2:,求dy。

【答疑編號(hào)11030502:針對(duì)該題提問】

_公手寫板圖示0305-04

例3：,求dy。A

、人手寫板圖示0305-05

微分形式得不變性A設(shè)函數(shù)y—f(x)有導(dǎo)數(shù)f'(x)

［手寫板圖示0305-06

當(dāng)五是自變量時(shí),7=/(u)dy=ff(u)dti

y