長(zhǎng)郡中學(xué)2025屆高三考前適應(yīng)性演練（一）數(shù)學(xué)本試卷共4頁(yè)。滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)等填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，考生將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知，則A．364 B．365 C．728 D．7302．在數(shù)列中，則“”是“數(shù)列為等差數(shù)列”的A．充分不必要條件B．必要不充分條件 C．充要條件D．既不充分又不必要條件3．已知集合，且，則集合B可以是A． B． C． D．4．已知，則A． B． C． D．5．在棱長(zhǎng)為4的正方體中，分別是棱的中點(diǎn)，過作平面，使得，則直線與平面所成角的正弦值為A． B． C． D．6．已知拋物線的焦點(diǎn)為，過上一點(diǎn)作的準(zhǔn)線的垂線，垂足為，若，則A． B． C． D．27．記的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，若，則邊上的中線長(zhǎng)度的最小值為A． B． C． D．8．探究函數(shù)，下列說法正確的是A．有且只有一個(gè)極大值點(diǎn) B．在上單調(diào)遞增C．存在實(shí)數(shù)，使得 D．有最小值，最小值為二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。9．已知為隨機(jī)事件，，，則下列結(jié)論正確的有A．若為互斥事件，則B．若為互斥事件，則C．若相互獨(dú)立，則D．若，則10．三角形的布洛卡點(diǎn)是法國(guó)數(shù)學(xué)家克洛爾于1816年首次發(fā)現(xiàn)，當(dāng)三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)滿足條件：時(shí)，則稱點(diǎn)為三角形ABC的布洛卡點(diǎn)，角為布洛卡角.如圖，在三角形ABC中，角所對(duì)的邊分別為，記三角形ABC的面積為，點(diǎn)是三角形ABC的布洛卡點(diǎn)，布洛卡角為，則A．當(dāng)時(shí)，B．當(dāng)且時(shí)，C．當(dāng)時(shí)，D．當(dāng)時(shí)11．已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，點(diǎn)在上，，垂足為，直線與相交于，兩點(diǎn)．若為的三等分點(diǎn)，則A． B． C． D．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．已知向量，滿足，，，則.13．若關(guān)于的不等式在上恒成立，則正數(shù)的最小值為．14．設(shè)，為平面上兩點(diǎn)，定義，已知點(diǎn)為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是直線上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．(13分)已知函數(shù).(1)若曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為，求的值；(2)討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并證明.16．(15分，改編題)如圖所示，在直三棱柱中，，為中點(diǎn)，且，，.(1)求證：；(2)求平面與平面夾角的余弦值.17．(15分)向“新”而行，向“新”而進(jìn)，新質(zhì)生產(chǎn)力能夠更好地推動(dòng)高質(zhì)量發(fā)展.如人工智能中的大語(yǔ)言模型DeepSeek（以下簡(jiǎn)稱DeepSeek）.為調(diào)查DeepSeek的應(yīng)用是否會(huì)對(duì)相關(guān)從業(yè)人員的數(shù)量產(chǎn)生影響，某學(xué)校研究小組隨機(jī)抽取了150名視頻從業(yè)人員進(jìn)行調(diào)查，結(jié)果如下表所示：DeepSeek的應(yīng)用情況相關(guān)從業(yè)人員合計(jì)減少未減少應(yīng)用5472沒有應(yīng)用42合計(jì)90150(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù)完成上表，并判斷是否有95%的把握認(rèn)為的應(yīng)用與相關(guān)從業(yè)人員的減少有關(guān)？(2)某公司視頻部現(xiàn)有員工100人，公司擬開展DeepSeek培訓(xùn)，分三輪進(jìn)行，每位員工第一輪至第三輪培訓(xùn)達(dá)到“優(yōu)秀”的概率分別為，每輪相互獨(dú)立，有二輪及以上獲得“優(yōu)秀”的員工才能應(yīng)用DeepSeek.（ⅰ）求員工經(jīng)過培訓(xùn)能應(yīng)用DeepSeek的概率.（ⅱ）已知開展DeepSeek培訓(xùn)前，員工每人每年平均為公司創(chuàng)造利潤(rùn)6萬(wàn)元；開展DeepSeek培訓(xùn)后，能應(yīng)用DeepSeek的員工每人每年平均為公司創(chuàng)造利潤(rùn)10萬(wàn)元；DeepSeek培訓(xùn)平均每人每年成本為1萬(wàn)元.根據(jù)公司發(fā)展需要，計(jì)劃先將視頻部的部分員工隨機(jī)調(diào)至其他部門，然后剩余員工開展DeepSeek培訓(xùn)，現(xiàn)要求培訓(xùn)后視頻部的年利潤(rùn)不低于員工調(diào)整前的年利潤(rùn)，則視頻部最多可以調(diào)多少人到其他部門？附：其中，）18．(17分)已知雙曲線的對(duì)稱中心在原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，兩條漸近線分別為和，其右焦點(diǎn)為.(1)求雙曲線的方程；(2)直線與雙曲線交于兩點(diǎn)（在的上方），過點(diǎn)分別作的平行線相交于點(diǎn)，過作的平行線與雙曲線交于兩點(diǎn)（在的上方），再過點(diǎn)分別作的平行線相交于點(diǎn)，這樣一直操作下去，可以得到一系列點(diǎn).證明：①共線；②為定值，.19．(17分)已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，.當(dāng)時(shí)，.(1)求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；(2)（?。┤簦髷?shù)列的前n項(xiàng)和；（ⅱ）根據(jù)（ⅰ）試求出的最小值.長(zhǎng)郡中學(xué)2025屆高三考前適應(yīng)性演練（一）數(shù)學(xué)參考答案選擇題(8*5+3*6=58’)1234567891011BDCACACDACDABCACD6．A【詳解】由于的準(zhǔn)線，所以，設(shè)準(zhǔn)線與縱軸交于E點(diǎn)，根據(jù)拋物線定義可知，所以，易知，所以.7．C【詳解】由，得，所以，即，則由正弦定理得，因?yàn)椋?，所以，即，又，所以，因?yàn)?，所以由余弦定理得，?由題可得，所以，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，則，所以邊上的中線長(zhǎng)度的最小值為.8．D【詳解】由，則，令，則，令，解得，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；由函數(shù)與復(fù)合而成，而在上單調(diào)遞增；故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；所以在處取極小值，且無極大值，又，故不存在實(shí)數(shù)，使得.故ABC錯(cuò)誤，D正確.9．ACD【詳解】對(duì)于A，若為互斥事件，則，故A正確；對(duì)于B，若為互斥事件，則，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若相互獨(dú)立，則，故C正確；對(duì)于D，若，則，所以，故D正確.10．ABC【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，有，又因?yàn)椋?，又因?yàn)?，所以，即，故A正確；對(duì)于B，由可得：，又因?yàn)?，所以，取中點(diǎn)為，可得，又因?yàn)?，所以，則，再由正弦定理可得：，展開化簡(jiǎn)得：，再由，因?yàn)橐欢殇J角，所以，故B正確；對(duì)于C，由三角形面積關(guān)系可得：，因?yàn)?，所以有，在中，由余弦定理可得：，，，三個(gè)式子相加得：，整理得：，代入可得：，故C正確；對(duì)于D，由前面可得：，，代換得：，再由余弦定理得：，代換得：，整理得，故D錯(cuò)誤；11．ACD【詳解】不妨設(shè)拋物線的方程為，則，準(zhǔn)線方程為．對(duì)于A，如圖，記為準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)，設(shè)，則，過作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，則，故A正確；對(duì)于B，連接，則，又由A可知，，則為正三角形，．在中，由余弦定理得，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由圖易知，即，從而，，由二級(jí)結(jié)論得，，可得，故C正確；對(duì)于D，在中，，，由余弦定理得，，故D正確．12．4【詳解】由，可得，，解得.13．/【詳解】不等式，，當(dāng)時(shí)，，令，依題意，，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則當(dāng)時(shí)，恒成立，令函數(shù)，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，因此，所以正數(shù)的最小值為最小值為.14．【詳解】由，消去整理得，則，所以直線與拋物線無交點(diǎn)，如圖過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，則（當(dāng)、重合時(shí)取等號(hào)），設(shè)，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，15．（1）由題意可得，則，解得．（2）當(dāng)時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn)．證明如下：令，得或．設(shè)函數(shù)．①當(dāng)時(shí)，恒成立，沒有零點(diǎn)，則有唯一的零點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，，故是上的增函數(shù)，由得.∵，，∴有唯一的零點(diǎn)，則有兩個(gè)零點(diǎn)；③當(dāng)時(shí)，．由，得，由，得，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴．若，則，，則，，則沒有零點(diǎn)，故有唯一的零點(diǎn)；若，則，，則有一個(gè)零點(diǎn)，故有兩個(gè)零點(diǎn)；若，則，，，，又，時(shí)，，∴在和內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn)，即有兩個(gè)大于0的零點(diǎn)，則有三個(gè)零點(diǎn)．綜上，當(dāng)時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn)．16．（1）由題意，為中點(diǎn)，且，所以，所以，解得，所以，所以，即，取中點(diǎn)，則，又面，所以面，又面，所以，所以兩兩互相垂直，故以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：由題意，，，.所以，所以，所以，所以，即.（2）由（1）可知，所以，不妨設(shè)平面與平面的法向量分別為，所以，不妨取，解得，即可取平面的一個(gè)法向量為，同理有，不妨取，解得，即可取平面的一個(gè)法向量為，不妨設(shè)平面與平面夾角為，所以，即平面與平面夾角的余弦值為.17．（1）依題意，列聯(lián)表如下：DeepSeek的應(yīng)用情況視頻從業(yè)人員合計(jì)減少未減少應(yīng)用沒有應(yīng)用合計(jì)零假設(shè)為：的應(yīng)用與視頻從業(yè)人員的減少獨(dú)立，的應(yīng)用前后視頻從業(yè)人員無差異，由列聯(lián)表中數(shù)據(jù)得，.根據(jù)小概率值的的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷不成立，所以有的把握認(rèn)為的應(yīng)用與視頻從業(yè)人員的減少有關(guān).（2）（i）設(shè)“員工第輪獲得優(yōu)秀”，且相互獨(dú)立.設(shè)“員工經(jīng)過培訓(xùn)能應(yīng)用”，則，所以員工經(jīng)過培訓(xùn)能應(yīng)用的概率是.（ii）設(shè)視頻部調(diào)人至其他部門，為培訓(xùn)后視頻部能應(yīng)用的人數(shù)，則，因此，調(diào)整后視頻部的年利潤(rùn)為（萬(wàn)元），令，解得，又，所以.所以視頻部最多可以調(diào)人到其他部門.18．（1）依題意可設(shè)，右焦點(diǎn)為，兩條漸近線分別為和，，解得，雙曲線的方程為；（2）①證明：設(shè)過平行于的直線為，與相交于兩點(diǎn)，聯(lián)立，可得，該方程有兩個(gè)不等正實(shí)根，故且，解得，由韋達(dá)定理可得，直線的方程為