PAGE1-第3講空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系[基礎(chǔ)題組練]1．已知異面直線a，b分別在平面α，β內(nèi)，且α∩β＝c，那么直線c肯定()A．與a，b都相交B．只能與a，b中的一條相交C．至少與a，b中的一條相交D．與a，b都平行解析：選C.若c與a，b都不相交，則c與a，b都平行，依據(jù)公理4，知a∥b，與a，b異面沖突．2．已知空間四邊形的兩條對角線相互垂直，順次連接四邊中點(diǎn)的四邊形肯定是()A．空間四邊形 B．矩形C．菱形 D．正方形解析：選B.如圖所示，易證四邊形EFGH為平行四邊形．因?yàn)镋，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)，所以EF∥AC.又FG∥BD，所以∠EFG或其補(bǔ)角為AC與BD所成的角．而AC與BD所成的角為90°，所以∠EFG＝90°，故四邊形EFGH為矩形．3．已知直線a，b分別在兩個(gè)不同的平面α，β內(nèi)，則“直線a和直線b相交”是“平面α和平面β相交”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析：選A.若直線a，b相交，設(shè)交點(diǎn)為P，則P∈a，P∈b.又a?α，b?β，所以P∈α，P∈β，故α，β相交．反之，若α，β相交，則a，b可能相交，也可能異面或平行．故“直線a和直線b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要條件．4．(2024·廣州市中學(xué)綜合測試(一))在四面體ABCD中，E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點(diǎn)，AB＝CD，AB⊥CD，則異面直線EF與AB所成角的大小為()A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,3) D.eq\f(π,2)解析：選B.取BD的中點(diǎn)O，連接OE，OF，因?yàn)镋，F(xiàn)分別為AD，BC的中點(diǎn)，AB＝CD，所以EO∥AB，OF∥CD，且EO＝OF＝eq\f(1,2)CD，又AB⊥CD，所以EO⊥OF，∠OEF為異面直線EF與AB所成的角，由△EOF為等腰直角三角形，可得∠OEF＝eq\f(π,4)，故選B.5．已知棱長為a的正方體ABCD-A′B′C′D′中，M，N分別為CD，AD的中點(diǎn)，則MN與A′C′的位置關(guān)系是________________________________________________________．解析：如圖，由題意可知MN∥AC.又因?yàn)锳C∥A′C′，所以MN∥A′C′.答案：平行6．給出下列四個(gè)命題：①平面外的一條直線與這個(gè)平面最多有一個(gè)公共點(diǎn)；②若平面α內(nèi)的一條直線a與平面β內(nèi)的一條直線b相交，則α與β相交；③若一條直線和兩條平行線都相交，則這三條直線共面；④若三條直線兩兩相交，則這三條直線共面．其中真命題的序號是________．解析：①正確，因?yàn)橹本€在平面外即直線與平面相交或直線平行于平面，所以最多有一個(gè)公共點(diǎn)．②正確，a，b有交點(diǎn)，則兩平面有公共點(diǎn)，則兩平面相交．③正確，兩平行直線可確定一個(gè)平面，又直線與兩平行直線的兩交點(diǎn)在這兩平行直線上，所以過這兩交點(diǎn)的直線也在平面內(nèi)，即三線共面．④錯誤，這三條直線可以交于同一點(diǎn)，但不在同一平面內(nèi)．答案：①②③7.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，O為正方形ABCD的中心，H為直線B1D與平面ACD1的交點(diǎn)．求證：D1、H、O三點(diǎn)共線．證明：如圖，連接BD，B1D1，則BD∩AC＝O，因?yàn)锽B1綊DD1，所以四邊形BB1D1D為平行四邊形，又H∈B1D，B1D?平面BB1D1D，則H∈平面BB1D1D，因?yàn)槠矫鍭CD1∩平面BB1D1D＝OD1，所以H∈OD1.即D1、H、O三點(diǎn)共線．8．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，(1)求AC與A1D所成角的大小；(2)若E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點(diǎn)，求A1C1與EF所成角的大?。猓?1)如圖，連接B1C，AB1，由ABCD-A1B1C1D1是正方體，易知A1D∥B1C，從而B1C與AC所成的角就是AC與A1D所成的角．因?yàn)锳B1＝AC＝B1C，所以∠B1CA＝60°.即A1D與AC所成的角為60°.(2)連接BD，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，AC⊥BD，AC∥A1C1.因?yàn)镋，F(xiàn)分別為AB，AD的中點(diǎn)，所以EF∥BD，所以EF⊥AC.所以EF⊥A1C1.即A1C1與EF所成的角為90°.[綜合題組練]1．如圖所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C?l，則平面ABC與平面β的交線是()A．直線AC B．直線ABC．直線CD D．直線BC解析：選C.由題意知，D∈l，l?β，所以D∈β，又因?yàn)镈∈AB，所以D∈平面ABC，所以點(diǎn)D在平面ABC與平面β的交線上．又因?yàn)镃∈平面ABC，C∈β，所以點(diǎn)C在平面β與平面ABC的交線上，所以平面ABC∩平面β＝CD.2．在正三棱柱ABC-A1B1C1中，|AB|＝eq\r(2)|BB1|，則AB1與BC1所成角的大小為()A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,3)C.eq\f(5π,12) D.eq\f(π,2)解析：選D.將正三棱柱ABC-A1B1C1補(bǔ)為四棱柱ABCD-A1B1C1D1，連接C1D，BD，則C1D∥B1A，∠BC1D為所求角或其補(bǔ)角．設(shè)|BB1|＝eq\r(2)，則|BC|＝|CD|＝2，∠BCD＝120°，|BD|＝2eq\r(3)，又因?yàn)閨BC1|＝|C1D|＝eq\r(6)，所以∠BC1D＝eq\f(π,2).3.(2024·長沙模擬)如圖，在三棱柱ABC-A′B′C′中，點(diǎn)E，F(xiàn)，H，K分別為AC′，CB′，A′B′，B′C′的中點(diǎn)，G為△ABC的重心．從K，H，G，B′四點(diǎn)中取一點(diǎn)作為P，使得該棱柱恰有2條棱與平面PEF平行，則P為________．解析：取A′C′的中點(diǎn)M，連接EM，MK，KF，EF，則EM綊eq\f(1,2)CC′綊KF，得四邊形EFKM為平行四邊形，若取點(diǎn)K為P，則AA′∥BB′∥CC′∥PF，故與平面PEF平行的棱超過2條；因?yàn)镠B′∥MK，MK∥EF，所以HB′∥EF，若取點(diǎn)H或B′為P，則平面PEF與平面EFB′A′為同一平面，與平面EFB′A′平行的棱只有AB，不符合題意；連接BC′，則EF∥A′B′∥AB，若取點(diǎn)G為P，則AB，A′B′與平面PEF平行．答案：G4．如圖，已知圓柱的軸截面ABB1A1是正方形，C是圓柱下底面弧AB的中點(diǎn)，C1是圓柱上底面弧A1B1的中點(diǎn)，那么異面直線AC1與BC所成角的正切值為________．解析：取圓柱下底面弧AB的另一中點(diǎn)D，連接C1D，AD，因?yàn)镃是圓柱下底面弧AB的中點(diǎn)，所以AD∥BC，所以直線AC1與AD所成角等于異面直線AC1與BC所成角，因?yàn)镃1是圓柱上底面弧A1B1的中點(diǎn)，所以C1D⊥圓柱下底面，所以C1D⊥AD，因?yàn)閳A柱的軸截面ABB1A1是正方形，所以C1D＝eq\r(2)AD，所以直線AC1與AD所成角的正切值為eq\r(2)，所以異面直線AC1與BC所成角的正切值為eq\r(2).答案：eq\r(2)5.如圖所示，A是△BCD所在平面外的一點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點(diǎn)．(1)求證：直線EF與BD是異面直線；(2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF與BD所成的角．解：(1)證明：假設(shè)EF與BD不是異面直線，則EF與BD共面，從而DF與BE共面，即AD與BC共面，所以A，B，C，D在同一平面內(nèi)，這與A是△BCD所在平面外的一點(diǎn)相沖突．故直線EF與BD是異面直線．(2)取CD的中點(diǎn)G，連接EG，F(xiàn)G，則AC∥FG，EG∥BD，所以相交直線EF與EG所成的角，即為異面直線EF與BD所成的角．又因?yàn)锳C⊥BD，則FG⊥EG.在Rt△EGF中，由EG＝FG＝eq\f(1,2)AC，求得∠FEG＝45°，即異面直線EF與BD所成的角為45°.6.(綜合型)如圖，E，F(xiàn)，G，H分別是空間四邊形ABCD各邊上的點(diǎn)，且AE∶EB＝AH∶HD＝m，CF∶FB＝CG∶GD＝n.(1)證明：E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面；(2)m，n滿意什么條件時(shí)，四邊形EFGH是平行四邊形？(3)在(2)的條件下，若AC⊥BD，試證明：EG＝FH.解：(1)證明：因?yàn)锳E∶EB＝AH∶HD，所以EH∥BD.又CF∶FB＝CG∶GD，所以FG∥BD.所以EH∥FG.所以E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面．(2)當(dāng)EH∥FG，且EH＝FG時(shí)，四邊形EFGH為平行四邊形．因?yàn)閑q\f(EH,BD)＝eq\f(AE,AE＋EB)＝eq\f(m,