第15頁（共15頁）2024-2025學(xué)年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)人教版（2024）七年級同步經(jīng)典題精練之實(shí)數(shù)及其簡單運(yùn)算一．選擇題（共5小題）1．（2020?福田區(qū)校級模擬）π、227，-3，3343，3.1416，A．1個 B．2個 C．3個 D．4個2．（2015?棗莊）實(shí)數(shù)a，b，c在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)如圖所示，則下列式子中正確的是（）A．a(chǎn)c＞bc B．|a﹣b|＝a﹣b C．﹣a＜﹣b＜c D．﹣a﹣c＞﹣b﹣c3．（2015?杭州）若k＜90＜k+1（k是整數(shù)），則A．6 B．7 C．8 D．94．（2020春?大同期末）若|a|＝4，b2=3，且a+b＜0，則a﹣A．1，7 B．﹣1，7 C．1，﹣7 D．﹣1，﹣75．（2022?包頭自主招生）下列說法中正確的是（）A．帶根號的數(shù)是無理數(shù) B．無理數(shù)不能在數(shù)軸上表示出來 C．無理數(shù)是無限小數(shù) D．無限小數(shù)是無理數(shù)二．填空題（共5小題）6．（2012?常德）規(guī)定用符號[m]表示一個實(shí)數(shù)m的整數(shù)部分，例如：[23]＝0，[3.14]＝3．按此規(guī)定[10+1]的值為7．（2018?徐州）化簡：|3-2|＝8．（2017?成都）如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A表示的實(shí)數(shù)是．9．（2017?涼州區(qū)）估計(jì)5-12與0.5的大小關(guān)系是：5-1210．（2020秋?寶安區(qū)期末）實(shí)數(shù)a、b在數(shù)軸上所對應(yīng)的點(diǎn)如圖所示，則|3-b|+|a+3|+a2的值三．解答題（共5小題）11．（2024春?惠陽區(qū)期末）已知：3a+1的立方根是﹣2，2b﹣1的算術(shù)平方根是3，c是43的整數(shù)部分．（1）求a，b，c的值；（2）求2a﹣b+912．（2021?饒平縣校級模擬）計(jì)算：|﹣3|-16+12×13．（2021春?饒平縣校級期末）對于實(shí)數(shù)a，我們規(guī)定：用符號[a]表示不大于a的最大整數(shù)，稱[a]為a的根整數(shù)，例如：（1）仿照以上方法計(jì)算：[4]=；[26]=（2）若[x]=1，寫出滿足題意的x的整數(shù)值如果我們對a連續(xù)求根整數(shù)，直到結(jié)果為1為止．例如：對10連續(xù)求根整數(shù)2次[10]=3→[3（3）對100連續(xù)求根整數(shù)，次之后結(jié)果為1．（4）只需進(jìn)行3次連續(xù)求根整數(shù)運(yùn)算后結(jié)果為1的所有正整數(shù)中，最大的是．14．（2024春?青秀區(qū)校級月考）已知5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算術(shù)平方根是4，c是13的整數(shù)部分．（1）求a，b，c的值；（2）求3a﹣b+c的平方根．15．（2024春?內(nèi)黃縣期末）閱讀下面的文字，解答問題：大家知道2是無理數(shù)，而無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，因此2的小數(shù)部分我們不可能全部地寫出來，于是小明用2-1來表示2事實(shí)上，小明的表示方法是有道理，因?yàn)?的整數(shù)部分是1，將這個數(shù)減去其整數(shù)部分，差就是小數(shù)部分．又例如：∵4＜7＜9，即∴7的整數(shù)部分為2，小數(shù)部分為（7-2請解答：（1）17的整數(shù)部分是，小數(shù)部分是．（2）如果5的小數(shù)部分為a，13的整數(shù)部分為b，求a+b-5（3）已知：10+3=x+y，其中x是整數(shù)，且0＜y＜1，求x﹣

2024-2025學(xué)年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)人教版（2024）七年級同步經(jīng)典題精練之實(shí)數(shù)及其簡單運(yùn)算參考答案與試題解析題號12345答案BDDDC一．選擇題（共5小題）1．（2020?福田區(qū)校級模擬）π、227，-3，3343，3.1416，A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【考點(diǎn)】無理數(shù)．【專題】數(shù)感．【答案】B【分析】由于無理數(shù)就是無限不循環(huán)小數(shù)．初中范圍內(nèi)學(xué)習(xí)的無理數(shù)有：π，2π等；開方開不盡的數(shù)；以及0.1010010001…，等有這樣規(guī)律的數(shù)．由此即可判定選擇項(xiàng)．【解答】解：在π、227，-3，3343，3.1416，無理數(shù)是：π，-3共2故選：B．【點(diǎn)評】此題主要考查了無理數(shù)的定義．注意帶根號的數(shù)與無理數(shù)的區(qū)別：帶根號的數(shù)不一定是無理數(shù)，帶根號且開方開不盡的數(shù)一定是無理數(shù)．本題中33432．（2015?棗莊）實(shí)數(shù)a，b，c在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)如圖所示，則下列式子中正確的是（）A．a(chǎn)c＞bc B．|a﹣b|＝a﹣b C．﹣a＜﹣b＜c D．﹣a﹣c＞﹣b﹣c【考點(diǎn)】實(shí)數(shù)與數(shù)軸．【專題】數(shù)形結(jié)合．【答案】D【分析】先根據(jù)各點(diǎn)在數(shù)軸上的位置比較出其大小，再對各選項(xiàng)進(jìn)行分析即可．【解答】解：∵由圖可知，a＜b＜0＜c，∴A、ac＜bc，故A選項(xiàng)錯誤；B、∵a＜b，∴a﹣b＜0，∴|a﹣b|＝b﹣a，故B選項(xiàng)錯誤；C、∵a＜b＜0，∴﹣a＞﹣b，故C選項(xiàng)錯誤；D、∵﹣a＞﹣b，c＞0，∴﹣a﹣c＞﹣b﹣c，故D選項(xiàng)正確．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查的是實(shí)數(shù)與數(shù)軸，熟知數(shù)軸上各點(diǎn)與實(shí)數(shù)是一一對應(yīng)關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵．3．（2015?杭州）若k＜90＜k+1（k是整數(shù)），則A．6 B．7 C．8 D．9【考點(diǎn)】估算無理數(shù)的大?。敬鸢浮緿【分析】根據(jù)81=9，100=10，可知9＜90＜【解答】解：∵k＜90＜k+1（k是整數(shù)），9＜∴k＝9．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了估算無理數(shù)的大小，解題關(guān)鍵是估算90的取值范圍，從而解決問題．4．（2020春?大同期末）若|a|＝4，b2=3，且a+b＜0，則a﹣A．1，7 B．﹣1，7 C．1，﹣7 D．﹣1，﹣7【考點(diǎn)】實(shí)數(shù)的運(yùn)算．【專題】計(jì)算題．【答案】D【分析】根據(jù)題意，利用絕對值的代數(shù)意義及二次根式性質(zhì)化簡，確定出a與b的值，即可求出a﹣b的值．【解答】解：∵|a|＝4，b2=3，且a+b＜∴a＝﹣4，b＝﹣3或a＝﹣4，b＝3，則a﹣b＝﹣1或﹣7．故選：D．【點(diǎn)評】此題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．5．（2022?包頭自主招生）下列說法中正確的是（）A．帶根號的數(shù)是無理數(shù) B．無理數(shù)不能在數(shù)軸上表示出來 C．無理數(shù)是無限小數(shù) D．無限小數(shù)是無理數(shù)【考點(diǎn)】無理數(shù)．【專題】推理填空題；推理能力．【答案】C【分析】舉出反例如4，循環(huán)小數(shù)1.333…，即可判斷A、D；根據(jù)數(shù)軸上能表示任何一個實(shí)數(shù)即可判斷B；根據(jù)無理數(shù)的定義即可判斷C．【解答】解：A、如4=2B、無理數(shù)都能在數(shù)軸上表示出來，故本選項(xiàng)錯誤；C、無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，即無理數(shù)都是無限小數(shù)，故本選項(xiàng)正確；D、如1.33333333…，是無限循環(huán)小數(shù)，是有理數(shù)，故本選項(xiàng)錯誤；故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了對無理數(shù)的意義的理解和運(yùn)用，無理數(shù)包括：①開方開不盡的數(shù)，②含π的，③一些有規(guī)律的數(shù)．二．填空題（共5小題）6．（2012?常德）規(guī)定用符號[m]表示一個實(shí)數(shù)m的整數(shù)部分，例如：[23]＝0，[3.14]＝3．按此規(guī)定[10+1]的值為4【考點(diǎn)】估算無理數(shù)的大?。緦ｎ}】壓軸題；新定義．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】求出10的范圍，求出10+1【解答】解：∵3＜10＜∴3+1＜10+1＜∴4＜10+1＜∴[10+1]＝4故答案為：4．【點(diǎn)評】本題考查了估計(jì)無理數(shù)的應(yīng)用，關(guān)鍵是確定10+17．（2018?徐州）化簡：|3-2|＝2【考點(diǎn)】實(shí)數(shù)的性質(zhì)．【專題】計(jì)算題．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】要先判斷出3-2【解答】解：∵3-∴|3-2|＝2故答案為：2-3【點(diǎn)評】此題主要考查了絕對值的性質(zhì)．要注意負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)．8．（2017?成都）如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A表示的實(shí)數(shù)是5-1【考點(diǎn)】實(shí)數(shù)與數(shù)軸．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】直接利用勾股定理得出三角形斜邊長即可得出A點(diǎn)對應(yīng)的實(shí)數(shù)．【解答】解：由圖形可得：﹣1到A的距離為12則數(shù)軸上點(diǎn)A表示的實(shí)數(shù)是：5-1故答案為：5-1【點(diǎn)評】此題主要考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸，正確得出﹣1到A的距離是解題關(guān)鍵．9．（2017?涼州區(qū)）估計(jì)5-12與0.5的大小關(guān)系是：5-【考點(diǎn)】實(shí)數(shù)大小比較．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】首先把兩個數(shù)采用作差法相減，根據(jù)差的正負(fù)情況即可比較兩個實(shí)數(shù)的大?。窘獯稹拷猓骸?-12∵5-2＞0∴5-2∴5-1故答案為：＞．【點(diǎn)評】此題主要考查了兩個實(shí)數(shù)的大小，其中比較兩個實(shí)數(shù)的大小，可以采用作差法、取近似值法等．10．（2020秋?寶安區(qū)期末）實(shí)數(shù)a、b在數(shù)軸上所對應(yīng)的點(diǎn)如圖所示，則|3-b|+|a+3|+a2的值﹣2a【考點(diǎn)】實(shí)數(shù)的運(yùn)算；實(shí)數(shù)與數(shù)軸．【專題】實(shí)數(shù)；符號意識．【答案】﹣2a﹣b．【分析】直接利用數(shù)軸結(jié)合絕對值以及平方根的性質(zhì)化簡得出答案．【解答】解：由數(shù)軸可得：a＜-3，0＜b＜故|3-b|+|a+3=3-b﹣（a+=3-b﹣a＝﹣2a﹣b．故答案為：﹣2a﹣b．【點(diǎn)評】此題主要考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算以及實(shí)數(shù)與數(shù)軸，正確化簡各式是解題關(guān)鍵．三．解答題（共5小題）11．（2024春?惠陽區(qū)期末）已知：3a+1的立方根是﹣2，2b﹣1的算術(shù)平方根是3，c是43的整數(shù)部分．（1）求a，b，c的值；（2）求2a﹣b+9【考點(diǎn)】估算無理數(shù)的大?。黄椒礁緦ｎ}】實(shí)數(shù)；數(shù)感；運(yùn)算能力．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）根據(jù)立方根、算術(shù)平方根、無理數(shù)的估算即可求出a、b、c的值；（2）求出代數(shù)式2a﹣b+9【解答】解：（1）∵3a+1的立方根是﹣2，∴3a+1＝﹣8，解得，a＝﹣3，∵2b﹣1的算術(shù)平方根是3，∴2b﹣1＝9，解得，b＝5，∵36＜∴6＜43＜∴43的整數(shù)部分為6，即，c＝6，因此，a＝﹣3，b＝5，c＝6，（2）當(dāng)a＝﹣3，b＝5，c＝6時，2a﹣b+92c=-6﹣5+2a﹣b+92c的平方根為±16【點(diǎn)評】本題考查算術(shù)平方根、立方根、無理數(shù)的估算，掌握算術(shù)平方根、立方根和無理數(shù)的估算是正確解答的前提．12．（2021?饒平縣校級模擬）計(jì)算：|﹣3|-16+12×【考點(diǎn)】實(shí)數(shù)的運(yùn)算．【專題】計(jì)算題．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】原式第一項(xiàng)利用絕對值的代數(shù)意義化簡，第二項(xiàng)利用算術(shù)平方根定義計(jì)算，第三項(xiàng)利用立方根定義計(jì)算，第四項(xiàng)利用乘方的意義化簡，計(jì)算即可得到結(jié)果．【解答】解：原式＝3﹣4+12×（﹣2）+4＝3﹣4﹣1+4【點(diǎn)評】此題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．13．（2021春?饒平縣校級期末）對于實(shí)數(shù)a，我們規(guī)定：用符號[a]表示不大于a的最大整數(shù)，稱[a]為a的根整數(shù)，例如：（1）仿照以上方法計(jì)算：[4]=2；[26]=（2）若[x]=1，寫出滿足題意的x的整數(shù)值1，2，3如果我們對a連續(xù)求根整數(shù)，直到結(jié)果為1為止．例如：對10連續(xù)求根整數(shù)2次[10]=3→[3（3）對100連續(xù)求根整數(shù)，3次之后結(jié)果為1．（4）只需進(jìn)行3次連續(xù)求根整數(shù)運(yùn)算后結(jié)果為1的所有正整數(shù)中，最大的是255．【考點(diǎn)】估算無理數(shù)的大??；實(shí)數(shù)的運(yùn)算．【專題】新定義．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）先估算4和26的大小，再由并新定義可得結(jié)果；（2）根據(jù)定義可知x＜4，可得滿足題意的x的整數(shù)值；（3）根據(jù)定義對100進(jìn)行連續(xù)求根整數(shù)，可得3次之后結(jié)果為1；（4）最大的正整數(shù)是255，根據(jù)操作過程分別求出255和256進(jìn)行幾次操作，即可得出答案．【解答】解：（1）∵22＝4，52＝25，62＝36，∴5＜26＜∴[4]=[2]＝2，[26]＝故答案為：2，5；（2）∵12＝1，22＝4，且[x∴x＝1，2，3，故答案為：1，2，3；（3）第一次：[100]＝10，第二次：[10]＝3，第三次：[3]＝1，故答案為：3；（4）最大的正整數(shù)是255，理由是：∵[255]＝15，[15]＝3，[3]＝1，∴對255只需進(jìn)行3次操作后變?yōu)?，∵[256]＝16，[16]＝4，[4]＝2，[2]＝1，∴對256只需進(jìn)行4次操作后變?yōu)?，∴只需進(jìn)行3次操作后變?yōu)?的所有正整數(shù)中，最大的是255；故答案為：255．【點(diǎn)評】本題考查了估算無理數(shù)的大小的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的閱讀能力和猜想能力，同時也考查了一個數(shù)的平方數(shù)的計(jì)算能力．14．（2024春?青秀區(qū)校級月考）已知5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算術(shù)平方根是4，c是13的整數(shù)部分．（1）求a，b，c的值；（2）求3a﹣b+c的平方根．【考點(diǎn)】估算無理數(shù)的大?。敬鸢浮恳娫囶}解答內(nèi)容【分析】（1）利用立方根的意義、算術(shù)平方根的意義、無理數(shù)的估算方法，求出a、b、c的值；（2）將a、b、c的值代入代數(shù)式求出值后，進(jìn)一步求得平方根即可．【解答】解：（1）∵5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算術(shù)平方根是4，∴5a+2＝27，3a+b﹣1＝16，∴a＝5，b＝2，∵c是13的整數(shù)部分，∴c＝3．（2）將a＝5，b＝2，c＝3代入得：3a﹣b+c＝16，∴3a﹣b+c的平方根是±4．【點(diǎn)評】此題考查立方根的意義、算術(shù)平方根的意義、無理數(shù)的估算方法、平方根的意義、代數(shù)式求值等知識點(diǎn)，讀懂題意，掌握解答順序，正確計(jì)算即可．15．（2024春?內(nèi)黃縣期末）閱讀下面的文字，解答問題：大家知道2是無理數(shù)，而無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，因此2的小數(shù)部分我們不可能全部地寫出來，于是小明用2-1來表示2事實(shí)上，小明的表示方法是有道理，因?yàn)?的整數(shù)部分是1，將這個數(shù)減去其整數(shù)部分，差就是小數(shù)部分．又例如：∵4＜7＜9，即∴7的整數(shù)部分為2，小數(shù)部分為（7-2請解答：（1）17的整數(shù)部分是4，小數(shù)部分是17-4（2）如果5的小數(shù)部分為a，13的整數(shù)部分為b，求a+b-5（3）已知：10+3=x+y，其中x是整數(shù)，且0＜y＜1，求x﹣【考點(diǎn)】估算無理數(shù)的大?。緦ｎ}】實(shí)數(shù)；運(yùn)算能力．【答案】（1）4，17-4（2）1；（3）﹣12+3【分析】（1）先估算出17的范圍，即可得出答案；（2）先估算出5、13的范圍，求出a、b的值，再代入求出即可；（3）先估算出3的范圍，求出x、y的值，再代入求出即可．【解答】解：（1）∵4＜17＜∴17的整數(shù)部分是4，小數(shù)部分是17-故答案為：4，17-4（2）∵2＜5＜∴a=5-∵3＜13＜∴b＝3，∴a+b-5=5-（3）∵1＜3＜4，∴1＜3＜∴11＜10+3＜∵10+3=x+y，其中x是整數(shù)，且0＜y＜∴x＝11，y＝10+3-11=∴x﹣y＝11﹣（3-1）＝12-∴x﹣y的相反數(shù)是﹣12+3【點(diǎn)評】本題考查了估算無理數(shù)的大小，能估算出3、5、13、17的范圍是解此題的關(guān)鍵．

考點(diǎn)卡片1．平方根（1）定義：如果一個數(shù)的平方等于a，這個數(shù)就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．一個正數(shù)有兩個平方根，這兩個平方根互為相反數(shù)，零的平方根是零，負(fù)數(shù)沒有平方根．（2）求一個數(shù)a的平方根的運(yùn)算，叫做開平方．一個正數(shù)a的正的平方根表示為“a”，負(fù)的平方根表示為“-a正數(shù)a的正的平方根，叫做a的算術(shù)平方根，記作a．零的算術(shù)平方根仍舊是零．平方根和立方根的性質(zhì)1．平方根的性質(zhì)：正數(shù)a有兩個平方根，它們互為相反數(shù)；0的平方根是0；負(fù)數(shù)沒有平方根．2．立方根的性質(zhì)：一個數(shù)的立方根只有一個，正數(shù)的立方根是正數(shù)，負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)，0的立方根是0．2．無理數(shù)（1）、定義：無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)．說明：無理數(shù)是實(shí)數(shù)中不能精確地表示為兩個整數(shù)之比的數(shù)，即無限不循環(huán)小數(shù)．如圓周率、2的平方根等．（2）、無理數(shù)與有理數(shù)的區(qū)別：①把有理數(shù)和無理數(shù)都寫成小數(shù)形式時，有理數(shù)能寫成有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)，比如4＝4.0，13=0.33333…而無理數(shù)只能寫成無限不循環(huán)小數(shù)，比如2②所有的有理數(shù)都可以寫成兩個整數(shù)之比；而無理數(shù)不能．（3）學(xué)習(xí)要求：會判斷無理數(shù)，了解它的三種形式：①開方開不盡的數(shù)，②無限不循環(huán)小數(shù)，③含有π的數(shù)，如分?jǐn)?shù)π2是無理數(shù)，因?yàn)棣袩o理數(shù)常見的三種類型（1）開不盡的方根，如2，（2）特定結(jié)構(gòu)的無限不循環(huán)小數(shù)，如0.303003000300003…（兩個3之間依次多一個0）．（3）含有π的絕大部分?jǐn)?shù)，如2π．注意：判斷一個數(shù)是否為無理數(shù)，不能只看形式，要看化簡結(jié)果．如16是有理數(shù)，而不是無理數(shù)．3．實(shí)數(shù)的性質(zhì)（1）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)絕對值的概念與在有理數(shù)范圍內(nèi)一樣．實(shí)數(shù)a的絕對值就是在數(shù)軸上這個數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離．（2）實(shí)數(shù)的絕對值：正實(shí)數(shù)a的絕對值是它本身，負(fù)實(shí)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，0的絕對值是0．（3）實(shí)數(shù)a的絕對值可表示為|a|＝{a（a≥0）﹣a（a＜0），就是說實(shí)數(shù)a的絕對值一定是一個非負(fù)數(shù)，即|a|≥0．并且有若|x|＝a（a≥0），則x＝±a．實(shí)數(shù)的倒數(shù)乘積為1的兩個實(shí)數(shù)互為倒數(shù)，即若a與b互為倒數(shù)，則ab＝1；反之，若ab＝1，則a與b互為倒數(shù)，這里應(yīng)特別注