哈爾濱工程大學(xué)研究生試卷 TT,α3=TT,β2=T,β3=T,則由基α1,α2,α3到基β1,β2,β3的過渡陣為2．設(shè)W?Rn,W={(x1,x2,…,xn)Tx1+x2+…+xn=0}，則dimW=n?1.4．設(shè)S={A∈R3×3AT=?A}?R3×3,則S的一組基底為:5.設(shè)V為數(shù)域P上的n維線性空間,且V=L(α1,…,αn).若α∈V在基{α1,…,αn}下的坐標(biāo)為(n,n?1,…,2,1),則α在基{α1,α1+α2,…,α1+α2+…+αn}下的坐標(biāo)T.6．設(shè)P[x]3是內(nèi)積空間,?f(x),g(x)∈P[x]3,定義內(nèi)積27．由向量α1=(1,2,1)T與α2=(1,?1,2)T生成的R3的子空間V=span(α1,α2)的正8．設(shè)A=,λ=?1為A的一個特征值,則λ的幾何重復(fù)度aλ=2.,Ak=0,則det(A+I)=1.10．二次型f(x1,x2,x3)=x+4x1x2?8x1x3?4x2x3的矩陣12．已知x=(2,0,i,?1)T(i=?1),A=xTx,則13．設(shè)A=,則A?B=.二10分）求矩陣的UR分解.T,a2=T,a3=T線性無關(guān).T,p2=a2?p1=(3,4,0)T,p3=a3+p2?p1=,?,0)T;a1=p1=2q1,a2=p1+p2=q1+5q2,a3=p1?p2+p3=2q1?q2+2q3;3所以矩陣A的UR分解為三．求A=的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形分解.解答有一個二階子式=λ?2,有一個二階子式=λ?1,而且=1,因此A的各階行列D1(λ)=D2(λ)=1,D3(λ)=λE?A=λ2(λ?1);A的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形.設(shè)A=PP?1,P=則Ap1=p1,Ap2=0,Ap3=p2.四．設(shè)α=T,X=求.11?2x12+3x13+6x14x21?2x22+3x23+6x24];令f11(X)=x11?2x12+3x13+6x14,f12(X)=x21?2x22+3x23+6x;4解答=?i,=i,A=P,，P?1=?.六．已知A∈Cn×n且rankA=rankA2,求證:(1)R(A)+N(A)是直和;(2)R(A)+N(A)=Cn.證明:(1)方法一任取y∈R(A)∩N(A),有y=Ax,Ay=0.由rankA=rankA2?A=P所以y=Ax=P=0,即R方法二由于方程Ax=0的解為A2x=0的解,從而N(A)?N(A2).dimN(A)=n?rankA=n?rankA2=dimN(A2),從而N(A)=N(A2),即方程Ax=0與A2x=0同解.任取y∈R(A)∩N(A),有y=Ax,Ay=0.從而A2x=Ay=0.于是y=Ax=0,即R(A)∩N(A)={0}.(2)dim(R(A)+N(A))=dimR(A)+dimN(A)=n.七．設(shè)A∈Cm×n,b∈Cm,且A=UVH為A的奇異值分解,Δ可逆,