第四章

三角形3探索三角形全等的條件第1課時(shí)

邊邊邊(SSS)

(1)任意給出一個(gè)或兩個(gè)條件

(填“能”或“不能”)保證所畫出的三角形一定全等。請(qǐng)你試一試，并與同伴進(jìn)行交流。

(2)給出三個(gè)條件有四種可能：三個(gè)角、三條邊、兩角一邊、兩邊一角。如果給出一個(gè)三角形，其三個(gè)內(nèi)角分別為40°，60°，80°，你能畫出這個(gè)三角形嗎？請(qǐng)把你畫的三角形與同伴畫的進(jìn)行比較，它們一定全等嗎？

不能

探究

操作

如果給出的三個(gè)條件是三條邊。如圖，已知線段a，b，c，用尺規(guī)作△ABC，使AB＝c，AC＝b，BC＝a。作法：①作一條線段BC＝a；②分別以點(diǎn)B，C為圓心，以c，b的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)A(或A')；③連接AB，AC(或A'B，A'C)，△ABC(或△A'BC)即為所求。答圖

把你作的三角形與你的同伴所作的三角形進(jìn)行比較，它們

(填“能”或“不能”)互相重合。

由此我們得到一個(gè)基本事實(shí)：三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)寫為“邊邊邊”或“SSS”。

能

典例1如圖，已知AB＝AC，AD＝AE，要利用“SSS”推理得出△ABD≌△ACE，還需要添加的一個(gè)條件是

。

利用“SSS”判定兩個(gè)三角形全等

BD＝CE

知識(shí)點(diǎn)?變式1如圖，下列三角形中，與△ABC全等的是(

)

C

解：AD⊥BC。理由如下：因?yàn)锳D是△ABC的一條中線，所以

。

又因?yàn)锳B＝AC(已知)，

(公共邊)，

所以△ABD≌△ACD(

)。所以∠ADB＝∠ADC(

)。因?yàn)椤螧DC＝180°，所以∠ADB＝∠ADC＝

°，即AD⊥BC。

90

全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等

SSS

AD＝AD

典例2

(教材P100練習(xí)T1·改編)如圖，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD是它的一條中線，AD⊥BC嗎？為什么？請(qǐng)將下列過程補(bǔ)充完整。

BD＝CD

所以△ABC≌△DEF(SSS)。又因?yàn)锳B＝DE，AC＝DF(已知)，所以BF＋FC＝EC＋FC，即BC＝EF。因?yàn)锽F＝EC(已知)，在△ABC和△DEF中，變式2在△ABC和△DEF中，已知AB＝DE，BF＝EC，AC＝DF?！鰽BC與△DEF全等嗎？為什么？解：全等。理由如下：知識(shí)點(diǎn)?三角形的穩(wěn)定性

根據(jù)上面的操作可知，當(dāng)三角形三邊的長(zhǎng)度確定時(shí)，這個(gè)三角形的形狀和大小就完全確定了。如圖1，用三根木條釘成的三角形框架，它的大小和形狀是固定不變的，三角形的這個(gè)性質(zhì)叫作三角形的穩(wěn)定性。如圖2，用四根木條釘成的四邊形框架，它的形狀是可以改變的，因此，四邊形具有不穩(wěn)定性。A

B

C

D典例3下列生活實(shí)物中，沒有應(yīng)用到三角形的穩(wěn)定性的是(

)

D

1．如圖，已知△ABC，下列選項(xiàng)中，與△ABC全等的是(

)

B

A．AD＝5B．AD＝6C．BD＝8D．BD＝62．如圖，已知AB＝6，AC＝8，DC＝6，要使△ABD≌△DCA，還需添加的條件是(

)

C

三角形具有穩(wěn)定性，固定方法如圖所示。3．有一個(gè)人用四根木條釘了一個(gè)四邊形的模具，兩根木條連接處釘一顆釘子，但他發(fā)現(xiàn)這個(gè)模具老是走形，為什么？如果他想把這個(gè)模具固定，再給一根木條給你，你怎么把它固定下來，畫出示意圖，并說出理由。解：模具是四邊形，四邊形具有不穩(wěn)定性。答圖

4．如圖，已知AB＝AD，CB＝CD，∠B＝30°，∠BAD＝48°，則∠ACD的度數(shù)為

。

126°

所以∠B＝∠D。所以△ABC≌△ADC(SSS)。因?yàn)锳B＝AD，BC＝DC，AC＝AC，在△ABC和△ADC中，如圖，連接AC。5．

如圖，AB＝AD，BC＝DC。問：∠B

與

∠D

相等嗎？為什么？解：∠B

與∠D相等。理由如下：【思想方法·輔助線】答圖

A

B

C

D1．下列生活實(shí)例中，利用了“三角形穩(wěn)定性”的是(

)

B

2．如圖1，油紙傘是中國(guó)傳統(tǒng)工藝品之一，起源于中國(guó)的一種紙制或布制傘。油紙傘的制作工藝十分巧妙，如圖2，當(dāng)傘圈D沿著傘柄AP滑動(dòng)時(shí)，總有傘骨BD＝CD，AB＝AC，則判定△ADB≌△ADC的理由是

。

SSS(或邊邊邊)

3．如圖，在△ABC中，AB＝AC，BD＝DC，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是(

)A．△ABD≌△ACDB．∠ADB＝90°C．AB＝BC

D．AD平分∠BAC

C

4．如圖，在△ABC和△FED中，AC＝FD，BC＝ED，如果要利用“SSS”來判定△ABC和△FED全等，則下面的4個(gè)條件中：①AE＝FB；②AB＝FE；③AE＝BE；④BF＝BE，可利用的是(

)A．①或②B．②或③

C．①或③D．①或④

A

解：因?yàn)镃是AB的中點(diǎn)，所以

。

又因?yàn)镃D＝BE，

，

所以△ACD≌△CBE(

)。

所以∠D＝∠E(

)。

全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等

SSS

AD＝CE

5．如圖，C是線段AB的中點(diǎn)，CD＝BE，AD＝CE。要說明∠D＝∠E，小明給出了下列解答過程，請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)內(nèi)填寫推理的理由。

AC＝CB

所以△ABC≌△DEF(SSS)。因?yàn)锳C＝DF，AB＝DE，BC＝EF，在△ABC和△DEF中，所以AF－CF＝DC－CF，即AC＝DF。6．如圖，A，C，F(xiàn)，D在同一直線上，若AF＝DC，AB＝DE，BC＝EF，請(qǐng)說明：△ABC≌△DEF。解：因?yàn)锳F＝DC，7．尺規(guī)作圖中蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)知識(shí)和思想方法。如圖，為了得到∠A'O'B'＝∠AOB，在用直尺和圓規(guī)作圖的過程中，得到△COD≌△C'O'D'的依據(jù)是

。

SSS(或邊邊邊)

8．如圖，在△ABC和△BDE中，點(diǎn)C在邊BD上，AC交BE于點(diǎn)F。若AC＝DB，AB＝DE，BC＝EB，∠ACB＝50°，則∠AFB的度數(shù)為

。

100°

所以∠A＝∠D。所以△ABC≌△DCB(SSS)。因?yàn)锳B＝DC，AC＝DB，BC＝CB，在△ABC和△DCB中，9．如圖，AC與BD相交于點(diǎn)O，且AB＝DC，AC＝DB，那么∠A＝∠D嗎？請(qǐng)說明理由。解：∠A＝∠D。理由如下：

即∠EAB＝∠CAD。所以∠EAD－∠BAD＝∠CAB－∠BAD，所以∠EAD＝∠CAB。所以△AED≌△ACB(SSS)。因?yàn)锳E＝AC，AD＝AB，ED＝CB，10．如圖，已知AE＝AC，AB＝AD，BC＝DE，試說明∠EAB與∠CAD相等的理由。解：在△AED和△ACB中，