Page1第十一章三角形11.2與三角形有關(guān)的角11.2.1三角形的內(nèi)角學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解三角形的內(nèi)角,會(huì)用平行線的性質(zhì)與平角的定義證明三角形內(nèi)角和等于180°.2.了解協(xié)助線的作用,能精確、規(guī)范地利用協(xié)助線進(jìn)行證明.3.規(guī)范推理過程,能夠獨(dú)立完成簡(jiǎn)潔的證明過程.學(xué)習(xí)過程一、自主學(xué)習(xí)問題1:如圖,在△ABC中,∠A+∠B+∠C等于多少度?問題2:這個(gè)結(jié)論你是如何得出的?問題3:利用這些方法得出的結(jié)論精確嗎?二、深化探究探究1:視察三角形的構(gòu)成,探究三角形的概念問題1:如何用剪拼的方法驗(yàn)證△ABC的內(nèi)角和等于180°?問題2:在圖①、圖②中,直線l有什么特點(diǎn),它存在嗎?圖①或圖②問題3:這種原圖形中不存在,我們?yōu)榱私忸}須要而自己加上的線被稱之為協(xié)助線.利用圖①,你能想出證明“三角形內(nèi)角和等于180°”的方法嗎?問題4:利用圖①證明三角形內(nèi)角和定理“三角形內(nèi)角和等于180°”.問題5:你能利用圖②證明“三角形內(nèi)角和等于180°”嗎?探究2:利用所學(xué)學(xué)問解決基礎(chǔ)問題問題1:如圖,C島在A島的北偏東50°方向,B島在A島的北偏東80°方向,C島在B島的北偏西40°方向,從C島看A、B兩島的視角∠ACB是多少度?問題2:對(duì)于上面的問題,你還能想出其他的解法嗎?三、練習(xí)鞏固練習(xí)1:說出下列各圖中x的值.練習(xí)2:下列各組角中哪三個(gè)角是同一個(gè)三角形的內(nèi)角?(1)70°,60°,30°,80°;(2)110°,20°,50°,40°;(3)52°,32°,58°,90°;(4)36°,108°,36°,72°.練習(xí)3:如圖,從A處觀測(cè)C處時(shí)仰角∠CAD=30°,從B處觀測(cè)C處時(shí)仰角∠CBD=45°,從C處觀測(cè)A,B兩處時(shí)視角∠ACB是多少度?四、深化提高練習(xí)1:思索:(1)一個(gè)三角形最多有幾個(gè)直角,為什么?(2)一個(gè)三角形最多有幾個(gè)鈍角,為什么?(3)一個(gè)三角形至少有幾個(gè)銳角,為什么?練習(xí)2:已知等腰三角形的兩個(gè)底角相等,則:(1)假如頂角為80°,那么它的一個(gè)底角等于多少度?(2)假如它的一個(gè)角為80°,那么它的一個(gè)底角等于多少度?練習(xí)3:如圖,已知∠1=15°,∠2=30°,∠A=50°,求∠BDC的度數(shù).參考答案一、自主學(xué)習(xí)問題1:∠A+∠B+∠C=180°.問題2:將三角形的每個(gè)內(nèi)角剪下,拼成一個(gè)平角,或者用量角器進(jìn)行測(cè)量.問題3:不精確(或精確).二、深化探究探究1:問題1:將△ABC的三個(gè)內(nèi)角分別剪下,再拼成一個(gè)平角.如圖①、圖②.圖①或圖②問題2:直線l∥BC,直線l不存在,是我們自己畫上的.問題3:利用平行的性質(zhì)和平角的定義可以證明.問題4:已知:△ABC.求證:∠A+∠B+∠C=180°.證明:如圖,過點(diǎn)A作直線l,使l∥BC.∵l∥BC,∴∠2=∠4(兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等).同理,∠3=∠5.∵∠1,∠4,∠5組成平角,∴∠1+∠4+∠5=180°(平角定義).∴∠1+∠2+∠3=180°(等量代換),即∠BAC+∠B+∠C=180°.問題5:已知:△ABC.求證:∠A+∠B+∠C=180°.證明:如圖,延長(zhǎng)BC,過點(diǎn)C作直線l,使l∥AB.∵l∥AB,∴∠1=∠4(兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等),∠2=∠5(兩直線平行,同位角相等).∵∠3,∠4,∠5組成平角,∴∠3+∠4+∠5=180°(平角定義).∴∠3+∠1+∠2=180°(等量代換),即∠A+∠B+∠BCA=180°.探究2:問題1:解:∠CAB=∠BAD-∠CAD=80°-50°=30°.∵AD∥BE,∴∠BAD+∠ABE=180°(兩直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ)).∴∠ABE=180°-∠BAD=180°-80°=100°,∠ABC=∠ABE-∠EBC=100°-40°=60°.∴在△ABC中,∠ACB=180°-∠ABC-∠CAB=180°-60°-30°=90°.答:從C島看A,B兩島的視角∠ACB是90°.問題2:解:過點(diǎn)C作CF∥AD.∵CF∥AD,∴∠ACF=∠DAC=50°(兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等).∵CF∥BE,∴∠BCF=∠CBE=40°(兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等).∴∠ACB=∠ACF+∠BCF=50°+40°=90°.答:從C島看A,B兩島的視角∠ACB是90°.三、練習(xí)鞏固練習(xí)1:解:圖中的x值分別是70,60,30,50.練習(xí)2:解:由三角形內(nèi)角和等于180°可以知道,各組中同一個(gè)三角形的內(nèi)角分別如下:(1)70°,30°,80°;(2)110°,20°,50°;(3)32°,58°,90°;(4)36°,36°,72°.練習(xí)3:解:由三角形內(nèi)角和等于180°可以知道,在△ACD中,∠ACD=60°,在△BCD中,∠BCD=45°.所以∠ACB=∠ACD-∠BCD=60°-45°=15°.四、深化提高練習(xí)1:解:(1)一個(gè)三角形最多有一個(gè)直角.假如一個(gè)三角形有兩個(gè)角是直角,那么三角形的內(nèi)角和大于180°.這個(gè)結(jié)果與三角形內(nèi)角和等于180°沖突,所以一個(gè)三角形最多有一個(gè)直角.(2)一個(gè)三角形最多有一個(gè)鈍角.假如一個(gè)三角形有兩個(gè)角是鈍角,那么三角形的內(nèi)角和大于180°.這個(gè)結(jié)果與三角形內(nèi)角和等于180°沖突,所以一個(gè)三角形最多有一個(gè)鈍角.(3)一個(gè)三角形至少有兩個(gè)銳角.假如一個(gè)三角形只有一個(gè)角是銳角,那么三角形的另外兩個(gè)角的和肯定大于90°且小于180°.將大于90°且小于180°的角分成兩個(gè)角的話,必定有一個(gè)角小于90°,所以一個(gè)三角形至少有兩個(gè)銳角.練習(xí)2:解:(1)50°;(2)假如80°角是等腰三角形的頂角