第一章常用邏輯用語本章小結(jié)知識要點(diǎn)復(fù)習(xí)參考題自我檢測題1.

命題點(diǎn)要識知結(jié)構(gòu)形式:“若p,則q”.p

是條件,q

是結(jié)論.判斷內(nèi)容為真的叫真命題;判斷內(nèi)容為假的叫假命題.返回目錄點(diǎn)要識知2.

四種命題原命題:“若p,則q”,逆命題:“若q,則p”.逆否命題:“若

q,則

p”.否命題:“若

p,則

q”.原命題逆命題否命題逆否命題互逆互逆互否互否互為逆否點(diǎn)要識知3.

充要條件p

q,p

?

q,p

?

q,p

q,p

是q

的充分不必要條件.p

是q

的必要不充分條件.p

q.p

是q

的充要條件;q

也是p

的充要條件.點(diǎn)要識知4.

邏輯聯(lián)結(jié)詞“且and”:p∧q.“或or”:p∨q.“非not”:?p.命題p命題qp∧qp∨q?p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真點(diǎn)要識知5.

全稱量詞與全稱命題全稱命題:?x

M,p(x).“所有的”,“全部”,“一切”,“任給”,“任意一個”等.符號“

”.M

中所有x,都使p(x)成立,命題為真;只要有一個x0,使得p(x0)不成立,則命題為假.點(diǎn)要識知6.

存在量詞與特稱命題符號“?”.特稱命題:

?x

M,p(x).“存在”,“存在一個”,“有些”,“對某個”,“至少有一個”等.

在M

中只要有一個

x0,使p(x0)成立,命題為真;若一個都沒有,則命題為假.點(diǎn)要識知7.

全稱命題與特稱命題的否定全稱命題p:?x

M,p(x).全稱命題否定后為特稱命題.全稱命題的否定?p:?x

M,?p(x).否定前后的真假性相反.特稱命題否定后為全稱命題.特稱命題p:?

x

M,p(x).特稱命題的否定?p:?x

M,?p(x).復(fù)習(xí)參考題返回目錄A組

1.

設(shè)原命題是“等邊三角形的三內(nèi)角相等”.把原命題寫成“若p,則q”的形式,并寫出它的逆命題,否命題和逆否命題,然后指出它們的真假.解:若三角形是等邊三角形,則三內(nèi)角相等.逆命題:若三角形三內(nèi)角相等,則三角形是等邊三角形.否命題:若三角形不是等邊三角形,則它的三內(nèi)角不相等.逆否命題:若三角形的三內(nèi)角不相等,則三角形不是等邊三角形.此題的四種命題都是真命題.2.

分別舉例說明:(1)

p是q

的充分條件但不是必要條件;(2)

p

是q

的必要條件但不是充分條件;(3)

p

是q

的充分必要條件.參考:(1)p:a>0,q:|a|=a.p

q,p

?q.(2)p:a2>a,q:a<0.p?

q,p

q.(3)p:x<0,q:|x|>x.p

q,p

q.3.

已知a,b,c

是實(shí)數(shù),判斷下列命題的真假:

(1)“a>b”是“a2>b2”的充分條件;

(2)“a>b”是“a2>b2”的必要條件;

(3)“a>b”是“ac2>bc2”的充分條件;

(4)“a>b”是“|a|>|b|”的充要條件.解:(1)∵

a>b

?

a2>b2,如1>-2?1>4,∴命題為假.(2)∵

a>b

?

a2>b2,如-3>2?(-3)2>22,∴命題為假.(3)∵

a>b

?

ac2>bc2,如3>2?3

02>2

02,∴命題為假.(4)∵

a>b

?|a|>|b|,∴命題為假.如1>-2?|1|>|-2|,4.

判斷下列命題的真假:(1)27是3的倍數(shù)或27是9的倍數(shù);(2)27是3的倍數(shù)且27是9的倍數(shù);(3)

平行四邊形的對角線互相垂直且平分;(4)

平行四邊形的對角線互相垂直或平分;(5)1是方程x-1=0的根,且是方程x2-5x+4=0的根.解:∵“27是3的倍數(shù)”是真命題,“27是9的倍數(shù)”也是真命題,∴(1)(2)中的命題都是真命題.∵“平行四邊形的對角線互相垂直”是假命題,“平行四邊形的對角線互相平分”是真命題,∴(3)是假命題,(4)是真命題.(5)中前后兩個命題都是真命題,∴(5)中的命題是真命題.5.

用符號“?”與“?”表示下列含有量詞的命題:

(1)

自然數(shù)的平方大于零;

(2)

圓x2+y2=r2

上任一點(diǎn)到圓心O的距離是r;

(3)

存在一對整數(shù)x,y,使2x+4y=3;

(4)

存在一個無理數(shù),它的立方是有理數(shù).解:(1)?x

N,x2>0.(2)?P

{P|P是⊙O:x2+y2=r2上的點(diǎn)},|OP|=r.(3)?(x0,y0)

{(x,y)|x

Z,y

Z},2x0+4y0=3.(4)?x0

{無理數(shù)},x03

{有理數(shù)}.6.

寫出下列命題的否定:(1)3=2;

(2)5>4;

(3)

對任意實(shí)數(shù)x,x>0;

(4)

每個正方形都是平行四邊形.解:(1)3≠2.(2)5≤4.(3)存在實(shí)數(shù)x,x≤0.(5)有些正方形不是平行四邊形.B組

1.

在一次射擊訓(xùn)練中,某戰(zhàn)士連續(xù)射擊了兩次,設(shè)命題p

是“第一次射擊擊中目標(biāo)”,q

是“第二次射擊擊中目標(biāo)”.試用p、q

以及邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”“且”“非”(或∨,∧,?)表示下列命題:(1)

兩次都擊中目標(biāo);(2)

兩次都沒有擊中目標(biāo).解:(1)p∧q:第一次擊中目標(biāo)且第二次擊中目標(biāo).(2)?p∧?q:第一次未擊中目標(biāo)且第二次未擊中目標(biāo).2.

把下列定理表示的命題寫成含有量詞的命題:

(1)

勾股定理;

(2)

正弦定理.解:(1)所有直角三角形,兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.(2)任意三角形,兩邊的平方和減去這兩邊的積乘以這兩邊夾角的余弦等于第三邊的平方.?Rt△ABC(C=90),a2+b2=c2.?△ABC,a2=b2+c2-2bccosA,b2=c2+a2-2cacosB,c2=a2+b2-2abcosC.自我檢測題自我檢測題返回目錄一、選擇題.1.

命題“如果x≥a2+b2,那么x≥2ab”的逆否命題是()(A)如果x<a2+b2,那么x<2ab(B)如果x≥2ab,那么x≥a2+b2(C)如果x<2ab,那么x<a2+b2

(D)如果x≥a2+b2,那么x<2ab2.

三角形全等是三角形面積相等的()(A)充分但不必要的條件(B)必要但不充分條件

(C)充要條件(D)既不充分又不必要條件4.

命題“所有奇數(shù)的立方是奇數(shù)”的否定是()(A)所有奇數(shù)的立方不是奇數(shù)(B)不存在一個奇數(shù),它的立方是偶數(shù)

(C)存在一個奇數(shù),它的立方是偶數(shù)(D)不存在一個奇數(shù),它的立方是奇數(shù)二、填空題.1.

命題“若a=-1,則a2=1”的逆否命題是

.2.

b=0是函數(shù)f(x)=ax2+bx+c

為偶函數(shù)的

條件.3.

全稱命題“?a

Z,a有一個正因數(shù)”的否定是

.4.

特稱命題“有些三角形的三條中線相等”的否定是

.三、解答題求證:a+2b=0是直線ax+2y+3=0和直線x+by+2=0互相垂直的充要條件.3.

下列四個命題中,真命題是()(A)是偶數(shù)且是無理數(shù)(B)8≥10(C)有些梯形內(nèi)接于圓(D)?x

R,x3-x+1≠0

一、選擇題.

1.

命題“如果x≥a2+b2,那么x≥2ab”的逆否命題是()(A)如果x<a2+b2,那么x<2ab(B)如果x≥2ab,那么x≥a2+b2(C)如果x<2ab,那么x<a2+b2(D)如果x≥a2+b2,那么x<2abC2.

三角形全等是三角形面積相等的()(A)充分但不必要的條件

(B)必要但不充分條件

(C)充要條件

(D)既不充分又不必要條件三角形全等三角形面積相等;

解:(充分)(不必要)A3.

下列四個命題中,真命題是()(A)是偶數(shù)且是無理數(shù)

(B)8≥10(C)有些梯形內(nèi)接于圓

(D)?x

R,x3-x+1≠0C對于D選項(xiàng):計(jì)算得f(-2)f(-1)=-15<0.可證f(x)在(-2,-1)上單增.∴f(x)=x3-x+1在(-2,-1)內(nèi)有零點(diǎn).設(shè)f(x)=x3-x+1.4.

命題“所有奇數(shù)的立方是奇數(shù)”的否定是()(A)所有奇數(shù)的立方不是奇數(shù)

(B)不存在一個奇數(shù),它的立方是偶數(shù)

(C)存在一個奇數(shù),它的立方是偶數(shù)

(D)不存在一個奇數(shù),它的立方是奇數(shù)全稱命的否定是特稱命題.有些奇數(shù)的立方不是奇數(shù).存在一個奇數(shù)的立方不是奇數(shù).存在一個奇數(shù)的立方是偶數(shù).C解:“所有奇數(shù)的立方是奇數(shù)”是全稱命題.否定可為:二、填空題.1.

命題“若a=-1,則a2=1”的逆否命題是

.若a2≠1,則a≠-1.2.

b=0是函數(shù)f(x)=ax2+bx+c

為偶函數(shù)的

條件.解:若b=0,則f(x)=ax2+c.f(-x)=a(-x)2+c=ax2+c=f(x).是偶函數(shù),得充分條件.若f(x)是偶函數(shù),則a(-x)2+b(-x)+c=ax2+bx+c,得-bx=bx,∵x是變量,∴b=0.必要條件成立.充要

3.

全稱命題“?a

Z,a有一個正因數(shù)”的否定是

.?a0

Z,a0沒有正因數(shù).

4.

特稱命題“有些三角形的三條中線相等”的否定是

.所有三角形的三條中線不相等.三、解答題求證:a+2b=0是直線ax+2y+3=0和直線x+by+2=0互相垂直的充要條件.證明:(1)若a+2