1.5.1二項(xiàng)式定理數(shù)學(xué)趣題:

今天是星期一,再過62008天后是星期幾,

你知道嗎？

思考:

（a+b)1=a+b,

(a+b)2=a2+2ab+b2

(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3,由這些式子試猜想(a+b)4展開后的結(jié)果，它們的各項(xiàng)是什么呢？(a+b)5

，...呢？這里有規(guī)律嗎?因?yàn)?a+b)3＝

(a+b)(a+b)(a+b)

對(duì)(a+b)3展開式進(jìn)行分析:(每一項(xiàng)怎么來的)展開時(shí)，每個(gè)括號(hào)中要么取a,要么取b,而且只能取一個(gè)來相乘得項(xiàng)，所以展開后其項(xiàng)的形式有：a3,a2b,ab2,b3最后結(jié)果要合并同類項(xiàng).所以項(xiàng)的系數(shù)為就是該項(xiàng)在展開式中出現(xiàn)的次數(shù).可計(jì)算如下:因?yàn)槊總€(gè)都不取b的情況有1種,即C30,所以a3的系數(shù)為C30;因?yàn)榍∮?個(gè)取b的情況有C31種，所以a2b的系數(shù)為C31;因?yàn)榍∮?個(gè)取b的情況有C32

種，所以ab2的系數(shù)為C32;因?yàn)榍∮?個(gè)取b的情況有C33

種，所以b3的系數(shù)為C33;故(a+b)3＝C30

a3

＋C31a2b

＋C32ab2＋C33b3因?yàn)榍∮?個(gè)取b的情況有C44種，所以b4的系數(shù)為C44(a+b)4＝C40

a4

＋C41a3b

＋C42

a2b2＋C43

ab3＋

C44b4因?yàn)?a+b)4＝

(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)＝？對(duì)(a+b)4展開式進(jìn)行分析:(每一項(xiàng)怎么來的)展開時(shí)，每個(gè)括號(hào)中要么取a,要么取b,而且只能取一個(gè)來相乘得項(xiàng),所以展開后其項(xiàng)的形式有:a4,a3b,a2b2,ab3,b4最后結(jié)果要合并同類項(xiàng).所以項(xiàng)的系數(shù)為就是該項(xiàng)在展開式中出現(xiàn)的次數(shù).可計(jì)算如下:因?yàn)槊總€(gè)都不取b的情況有1種,即C40,所以a4的系數(shù)為C40;因?yàn)榍∮?個(gè)取b的情況有C41

種，所以a3b的系數(shù)為C41;因?yàn)榍∮?個(gè)取b的情況有C42

種，所以a2b2的系數(shù)為C42;因?yàn)榍∮?個(gè)取b的情況有C43

種，所以ab3的系數(shù)為C43;分析(a+b)n的展開式:(每一項(xiàng)怎么來的)因?yàn)榍∮衝個(gè)取b的情況有Cnn種，所以b4的系數(shù)為Cnn因?yàn)?a+b)n＝

？展開時(shí)，每個(gè)括號(hào)中要么取a,要么取b,而且只能取一個(gè)來相乘得項(xiàng),所以展開后其項(xiàng)的形式有:an,an-1b,an-2b2,…,bn最后結(jié)果要合并同類項(xiàng).所以項(xiàng)的系數(shù)為就是該項(xiàng)在展開式中出現(xiàn)的次數(shù).可計(jì)算如下:因?yàn)槊總€(gè)都不取b的情況有1種,即Cn0,所以an的系數(shù)為Cn0;因?yàn)榍∮?個(gè)取b的情況有Cn1

種，所以an-1b的系數(shù)為Cn1;因?yàn)榍∮?個(gè)取b的情況有Cn2

種，所以an-2b2的系數(shù)為Cn2;……………二項(xiàng)展開式定理右邊的多項(xiàng)式叫做(a+b)n的二項(xiàng)展開式其中Cnran-rbr叫做二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，記作Tr+1Cnr

叫做

二項(xiàng)式系數(shù).一般地，對(duì)于nN*，有：二項(xiàng)展開式的特點(diǎn):①項(xiàng)數(shù)：共n＋1項(xiàng)②指數(shù)：a按降冪排列，b按升冪排列，每一項(xiàng)中a、b的指數(shù)和為n③系數(shù):第r＋1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為(r＝0,1,2,…，n）解:把b用-b代替

(a-b)n=Cnan-Cna