立體幾何與空間向量第七章

第1講空間幾何體的表面積與體積課標(biāo)要求考情概覽1.利用實(shí)物、計(jì)算機(jī)軟件等觀察空間圖形，認(rèn)識(shí)柱、錐、臺(tái)、球及簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征，能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡單物體的結(jié)構(gòu).2.知道球、棱(圓)柱、棱(圓)錐、棱(圓)臺(tái)的表面積和體積的計(jì)算公式，能用公式解決簡單的實(shí)際問題.3.能用斜二測畫法畫出簡單空間圖形(長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱及其簡單組合體)的直觀圖考向預(yù)測：從近三年高考情況來看，本講屬于高考必考內(nèi)容.預(yù)測本年度會(huì)一如既往地對(duì)本講內(nèi)容進(jìn)行考查，題型以客觀題為主，命題方式：①求幾何體的表面積或體積，難度不大；②涉及與球有關(guān)的幾何體的外接與內(nèi)切問題，綜合性較強(qiáng).學(xué)科素養(yǎng)：主要考查數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的素養(yǎng)欄目導(dǎo)航01基礎(chǔ)整合

自測糾偏02重難突破

能力提升03配套訓(xùn)練基礎(chǔ)整合自測糾偏11.多面體的結(jié)構(gòu)特征

名稱棱柱棱錐棱臺(tái)圖形

底面互相

且

多邊形互相

且

側(cè)棱平行且相等相交于

，

但不一定相等延長線交于

側(cè)面形狀平行四邊形三角形梯形平行

全等

平行

相似

一點(diǎn)

一點(diǎn)

2.旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征

名稱圓柱圓錐圓臺(tái)球圖形

母線互相平行且相等，垂直于底面長度相等且相交于一點(diǎn)延長線交于一點(diǎn)

軸截面

側(cè)面展開圖

全等的矩形

全等的等腰三角形

全等的等腰梯形

圓

矩形

扇形

扇環(huán)

3.立體圖形的直觀圖(1)原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，x'軸，y'軸的夾角為45°或135°，z'軸與x'軸和y'軸所在平面垂直.(2)原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段，直觀圖中仍

；平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長度

；平行于y軸的線段在直觀圖中

.

平行于坐標(biāo)軸

不變

長度變?yōu)樵瓉淼囊话?/p>

4.圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式

圓柱圓錐圓臺(tái)側(cè)面展開圖

側(cè)面積公式S圓柱側(cè)＝

S圓錐側(cè)＝

S圓臺(tái)側(cè)＝

π(r＋r')l2πrl

πrl5.空間幾何體的表面積與體積公式

表面積體積柱體(棱柱和圓柱)S表面積＝S側(cè)＋2S底V＝Sh錐體(棱錐和圓錐)S表面積＝S側(cè)＋S底臺(tái)體(棱臺(tái)和圓臺(tái))S表面積＝S側(cè)＋S上＋S下球S＝4πR2

C

B

C

39π

1.正棱柱：側(cè)棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多邊形的直棱柱叫做正棱柱.反之，正棱柱的底面是正多邊形，側(cè)棱垂直于底面，側(cè)面是矩形.2.正棱錐：底面是正多邊形，頂點(diǎn)在底面的射影是底面正多邊形的中心的棱錐叫做正棱錐.特別地，各棱均相等的正三棱錐叫正四面體.反過來，正棱錐的底面是正多邊形，且頂點(diǎn)在底面的射影是底面正多邊形的中心.3.空間幾何體表面積、體積的求法：(1)旋轉(zhuǎn)體的表面積問題注意其側(cè)面展開圖的應(yīng)用.(2)多面體的表面積是各個(gè)面的面積之和；組合體的表面積注意銜接部分的處理.(3)體積可用公式法、轉(zhuǎn)換法、分割法、補(bǔ)形法等求解.重難突破能力提升2基本立體圖形

CC

【解題技巧】1.(1)緊扣結(jié)構(gòu)特征是判斷的關(guān)鍵，熟悉空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，依據(jù)條件構(gòu)建幾何模型，在條件不變的情況下，變換模型中的線面關(guān)系或增加線、面等基本元素，然后再依據(jù)題意判定.(2)通過反例對(duì)結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行辨析，即要說明一個(gè)命題是錯(cuò)誤的，只要舉出一個(gè)反例即可.2.多面體表面展開圖可以有不同的形狀，應(yīng)多實(shí)踐，觀察并大膽想象立體圖形與表面展開圖的關(guān)系，一定先觀察立體圖形的每一個(gè)面的形狀.【變式精練】1.(1)(2023年綿陽模擬)如圖，長方體ABCD－A'B'C'D'被截去一部分，其中EH∥A'D'，剩下的幾何體是(

)A.棱臺(tái)

B.四棱柱C.五棱柱

D.六棱柱(2)(2023年甲卷)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為AB，C1D1的中點(diǎn)，以EF為直徑的球的球面與該正方體的棱共有

個(gè)公共點(diǎn).

C12

空間幾何體的表面積

例2(1)(2023年深圳模擬)圓錐側(cè)面展開圖扇形的圓心角為60°，底面圓的半徑為8，則圓錐的側(cè)面積為(

)A.384π

B.392π

C.398π

D.404πA(2)(2023年天津一模)我國有著豐富悠久的“印章文化”，古時(shí)候的印章一般用貴重的金屬或玉石制成，本是官員或私人簽署文件時(shí)代表身份的信物，后因其獨(dú)特的文化內(nèi)涵，也被作為裝飾物來使用.圖1是明清時(shí)期的一個(gè)金屬印章擺件，除去頂部的環(huán)以后可以看作是一個(gè)正四棱柱和一個(gè)正四棱錐組成的幾何體，如圖2.已知正四棱柱和正四棱錐的高相等，且底面邊長均為4，若該幾何體的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則這個(gè)球的表面積是(

)A.12π

B.24π

C.36π

D.48πC

【解題技巧】求空間幾何體表面積的常見類型及思路：

求多面體的表面積只需將它們沿著棱“剪開”展成平面圖形，利用求平面圖形面積的方法求多面體的表面積求旋轉(zhuǎn)體的表面積可以從旋轉(zhuǎn)體的形成過程及其幾何特征入手，將其展開后求表面積，但要搞清它們的底面半徑、母線長與對(duì)應(yīng)側(cè)面展開圖中的邊長關(guān)系求不規(guī)則幾何體的表面積通常將所給幾何體分割成基本的柱體、錐體、臺(tái)體，先求出這些基本的柱體、錐體、臺(tái)體的表面積，再通過求和或作差，求出所給幾何體的表面積

D

空間幾何體的體積

A

【解題技巧】求體積的常用方法：直接法對(duì)于規(guī)則的幾何體，利用相關(guān)公式直接計(jì)算割補(bǔ)法首先把不規(guī)則的幾何體分割成規(guī)則的幾何體，然后進(jìn)行體積計(jì)算；或者把不規(guī)則的幾何體補(bǔ)成規(guī)則的幾何體，不熟悉的幾何體補(bǔ)成熟悉的幾何體，便于計(jì)算等體積法選擇合適的底面來求幾何體體積，常用于求三棱錐的體積，即利用三棱錐的任一個(gè)面可作為三棱錐的底面進(jìn)行等體積變換

C(2)已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，則三棱錐A－B1CD1的體積為

.

(3)如圖所示的是一個(gè)以△A1B1C1為底面的直三棱柱被一平面所截得到的幾何體，截面為ABC，已知A1B1＝B1C1＝2，∠A1B1C1＝90?，AA1＝4，BB1＝3，CC1＝2，則該幾何體的體積為

.

6

多面體與球的切、接問題

示通法立體幾何中球的切、接問題，常用的解題策略：(1)構(gòu)造特殊幾何體；(2)解直角三角形；(3)借助三角形的斜邊中點(diǎn)到各頂點(diǎn)的距離相等；(4)借助幾何體的底面多邊形的外接圓.

C

考向2幾何體的內(nèi)切球例4-2(2020年Ⅲ卷)已知圓錐的底面半徑為1，母線長為3，則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為

.

【解題技巧】“切”“接”問題處理的注意事項(xiàng)：(1)“切”的處理：首先要找準(zhǔn)切點(diǎn)，通過作截面來解決.如果內(nèi)切的是多面體，那么作截面時(shí)主要抓住多面體過球心的對(duì)角面來作.(2)“接”的處理：抓住外接的特點(diǎn)，即球心到多面體的頂點(diǎn)的距離等于球的半徑.

C

D

(2)