函數概念與基本初等函數第二章第4講二次函數與冪函數(本講對應系統(tǒng)復習P34)課標要求考情概覽考向預測：本部分常命制高考題，常結合函數的零點、方程的根、函數的圖象等知識綜合命制高考試題，難度中等.學科素養(yǎng)：主要考查數學抽象、邏輯推理、數學運算的能力欄目導航01基礎整合

自測糾偏03素養(yǎng)微專直擊高考02重難突破

能力提升04配套訓練基礎整合自測糾偏11.二次函數(1)二次函數解析式的三種形式：一般式頂點式f(x)＝

，圖象的對稱軸是x＝h，頂點坐標是(h，k)

零點式ax2＋bx＋c(a≠0)

a(x－h(huán))2＋k(a≠0)

a(x－x1)(x－x2)(a≠0)(2)二次函數的圖象與性質：

函數y＝ax2＋bx＋c(a＞0)y＝ax2＋bx＋c(a＜0)圖象(拋物線)

函數y＝ax2＋bx＋c(a＞0)y＝ax2＋bx＋c(a＜0)定義域

值域

對稱軸頂點坐標奇偶性當b＝0時是偶函數，當b≠0時是非奇非偶函數單調性在

上是減函數，

在

上是增函數

在

上是增函數，

在

上是減函數

R

2.冪函數(1)冪函數的定義：一般地，函數

叫做冪函數，其中x是

，α是

.

y＝xα(α∈R)

自變量常數(2)5個常見冪函數的圖象與性質：

函數y＝xy＝x2y＝x3y＝x－1定義域RRR

{x|x≠0}值域R{y|y≥0}R{y|y≥0}{y|y≠0}奇偶性奇函數偶函數奇函數非奇非偶函數

單調性在R上單調遞增在

上單調遞減，在

上單調遞增

在R上單調遞增在［0，＋∞)上單調遞增在

和

上單調遞減

{x|x≥0}

奇函數(－∞，0)

(0，

＋∞)

(－∞，0)

(0，＋∞)函數y＝xy＝x2y＝x3y＝x－1圖象

公共點(1，1)

【常用結論】1.冪函數y＝xα在第一象限內的兩個重要結論：(1)恒過點(1，1)；(2)當x∈(0，1)時，α越大，函數值越??；當x∈(1，＋∞)時，α越大，函數值越大.

BB3.(2023年慶陽期末)已知冪函數f(x)的圖象過點(2，32)，若f(a＋1)＋f(－1)＞0，則a的取值范圍為(

)A.(2，＋∞)

B.(1，＋∞)C.(0，＋∞)

D.(－1，＋∞)C

AD

(2)圖象：

(2)圖象：

3.高斯函數y＝［x］.(1)定義：不超過實數x的最大整數稱為x的整數部分，記作［x］，例如［3.4］＝3，［－2.1］＝－3，這一規(guī)定最早為數學家高斯所使用，故函數y＝［x］稱為高斯函數，又稱取整函數.(2)性質：①定義域：R；值域：Z.②不具有單調性、奇偶性、周期性.(3)圖象：

重難突破能力提升2冪函數的圖象和性質

例1(1)(2022年綿陽期末)已知冪函數f(x)的圖象過點(9，3)，則函數f(x)的圖象是(

)ABCDC

BCD

【解題技巧】1.對于冪函數圖象的掌握只要抓住在第一象限內三條線分第一象限為六個區(qū)域，即x＝1，y＝1，y＝x所分區(qū)域.根據α＜0，0＜α＜1，α＝1，α＞1的取值確定位置后，其余象限部分由奇偶性決定.2.在比較冪值的大小時，必須結合冪值的特點，選擇適當的函數，借助其單調性進行比較.

B

AD

二次函數的解析式

例2已知二次函數f(x)滿足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，求二次函數f(x)的解析式.

【解題技巧】求二次函數解析式的策略：

【變式精練】2.(1)已知二次函數f(x)＝x2－bx＋c滿足f(0)＝3，對?x∈R，都有f(1＋x)＝f(1－x)成立，則f(x)＝

.

x2－2x＋3

f(x)＝x2－4x＋5

二次函數的圖象與性質

示通法既要重視二次函數圖象的基本知識，又要重視其中蘊含的數學思想，如數形結合、分類討論思想.考向1二次函數的圖象及應用例3-1(多選)如圖所示為二次函數y＝ax2＋bx＋c(a≠0)圖象的一部分，圖象過點A(－3，0)，對稱軸為直線x＝－1.下面四個結論中正確的有(

)A.b2＞4acB.2a－b＝1C.a－b＋c＝0D.5a＜bAD

考向2二次函數的性質及應用例3-2設二次函數f(x)＝ax2－2ax＋c在區(qū)間［0，1］上單調遞減，且f(m)≤f(0)，則實數m的取值范圍是

.

［0，2］【解析】由題意知a≠0，f(x)＝ax2－2ax＋c圖象的對稱軸是直線x＝1.因為f(x)在［0，1］上單調遞減，所以a＞0，即函數圖象的開口向上，所以f(0)＝f(2)，則當f(m)≤f(0)時，有0≤m≤2.考向3二次函數中的恒成立問題例3-3

(2023年衡水檢測)已知二次函數f(x)滿足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.若不等式f(x)＞2x＋m在區(qū)間［－1，1］上恒成立，則實數m的取值范圍為

.

(－∞，－1)

A【解析】畫出函數f(x)的大致圖象，如圖所示，不妨設x1＜x2＜x3，則x2和x3關于直線x＝4對稱，所以x2＋x3＝8，令2x＋4＝－8，得x＝－6，所以－6＜x1＜0，所以x1＋x2＋x3的取值范圍為－6＋8＜x1＋x2＋x3＜0＋8，即x1＋x2＋x3∈(2，8).故選A.【解題技巧】1.解決二次函數圖象與性質問題時的注意點：(1)拋物線的開口、對稱軸位置、定義區(qū)間三者相互制約，要注意分類討論；(2)要注意數形結合思想的應用，尤其是給定區(qū)間上的二次函數最值問題，先“定性”(作草圖)，再“定量”(看圖求解).

【變式精練】3.(1)(2022年荊州一模)若函數f(x)＝ax2－2x＋1在(0，＋∞)上有零點，則實數a的取值范圍是(

)A.a≤0 B.a≤1 C.a≥0 D.a≥1B

9

【變式精練】3.(3)(2023年撫順模擬)已知函數f(x)＝－x2＋2x＋5在區(qū)間［0，m］上有最大值6，最小值5，則實數m的取值范圍是

.

［1，2］【解析】由題意知，f(x)＝－(x－1)2＋6，則f(0)＝f(2)＝5＝f(x)min，f(1)＝6＝f(x)max，函數f(x)的圖象如圖所示，則1≤m≤2.素養(yǎng)微專直擊高考3科學思維能力——求含參數的二次函數最值不要忽視對稱軸典例精析已知函數f(x)＝x2－ax，若對任意a∈R，存在x0∈［0，2］，使得|f(x0)|≥k成立，則實數k的最大值是

.

思維卡殼點想不到把“存在x0∈［0