第4講隨機事件的概率計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布第十章

(本講對應系統(tǒng)復習P277)課標要求考情概覽1.理解樣本點和有限樣本空間的含義，理解隨機事件與樣本點的關系.2.了解隨機事件的并、交與互斥的含義，能結合實例進行隨機事件的并、交運算.3.理解概率的性質，掌握隨機事件概率的運算法則.4.會用頻率估計概率考向預測：從近三年高考情況來看，本講內容一般不作獨立考查，預測本年度將會考查：①對立、互斥與古典概型結合考查隨機事件概率的計算；②隨機事件與統(tǒng)計圖表相結合考查用頻率估計概率.試題難度不大，屬中、低檔題型.學科素養(yǎng)：主要考查數(shù)據(jù)分析、數(shù)學建模、數(shù)學運算的素養(yǎng)欄目導航01基礎整合

自測糾偏03素養(yǎng)微專直擊高考02重難突破

能力提升04配套訓練基礎整合自測糾偏11.樣本點與樣本空間(1)樣本點：我們把隨機試驗E的每個可能的

稱為

，一般地，用ω表示樣本點.

(2)樣本空間：全體樣本點的集合稱為試驗E的樣本空間，一般地，我們用Ω表示樣本空間.(3)有限樣本空間：如果一個隨機試驗有n個可能結果ω1，ω2，…，ωn，那么稱樣本空間

為有限樣本空間.

基本結果

樣本點

Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}2.隨機事件、必然事件與不可能事件(1)一般地，隨機試驗中的

都可以用這個試驗的樣本空間的

來表示，為了敘述方便，我們將樣本空間Ω的子集為

，簡稱

，并把只包含

的事件稱為

.當且僅當A中某個樣本點出現(xiàn)時，稱為

.

(2)Ω作為自身的子集，包含了所有的樣本點，在每次試驗中總有一個樣本點發(fā)生，所以Ω總會發(fā)生，我們稱Ω為

.

(3)空集?不包含任何樣本點，在每次試驗中都不會發(fā)生，我們稱?為

.

每個隨機事件

子集

隨機事件

事件

一個樣本點

基本事件

事件A發(fā)生

必然事件

不可能事件

3.事件的關系與運算(1)事件的關系：

包含關系相等關系定義一般地，若事件A發(fā)生，則事件B

，稱事件B包含事件A(或事件A包含于事件B)

特別地，如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B?A且A?B，則稱事件A與事件B

符號B

A(或A

B)

A

B

圖示

一定發(fā)生相等?

?

＝

(2)交事件與并事件：

并事件(或和事件)交事件(或積事件)定義一般地，事件A與事件B_______

發(fā)生，這樣的一個事件中的樣本點或者在事件A中，或者在事件B中，我們稱這個事件為事件A與事件B的并事件(或和事件)

一般地，事件A與事件B

發(fā)生，這樣的一個事件中的樣本點既在事件A中，也在事件B中，我們稱這樣的一個事件為事件A與事件B的交事件(或積事件)

符號A

B(或A

B)

A

B或

圖示

至少有一個

同時

∪

＋

∩

AB(3)互斥事件和對立事件：

互斥事件對立事件定義一般地，如果事件A與事件B

發(fā)生，也就是說A∩B是一個不可能事件，即

，則稱事件A與事件B互斥(或互不相容)

一般地，如果事件A和事件B在任何一次試驗中有且僅有一個發(fā)生，即A∪B＝Ω，且

，那么稱事件A與事件B互為對立，事件A的對立事件記為

符號A∩B＝?A∪B＝Ω，A∩B＝?圖示

不能同時

A∩B＝?

A∩B＝?4.概率的基本性質性質1對任意的事件A，都有P(A)

0.

性質2必然事件的概率為

，不可能事件的概率為

，即P(Ω)＝

，P(?)＝

.

性質3如果事件A與事件B互斥，那么P(A∪B)＝

.

性質4如果事件A與事件B互為對立事件，那么P(B)＝

，P(A)＝

.

性質5如果A?B，那么

.

性質6設A，B是一個隨機試驗中的兩個事件，我們有P(A∪B)＝

.

≥

1

0

1

0P(A)＋P(B)1－P(A)

1－P(B)

P(A)≤P(B)

P(A)＋P(B)－P(A∩B)5.概率與頻率(1)隨機事件的概率：對隨機事件發(fā)生

的度量(數(shù)值)稱為事件的概率，事件A的概率用

表示.

(2)頻率的穩(wěn)定性：在任何確定次數(shù)的隨機試驗中，一個隨機事件A發(fā)生的頻率具有隨機性.一般地，隨著試驗次數(shù)n的增大，頻率偏離概率的幅度會縮小，即事件A發(fā)生的頻率fn(A)會逐漸穩(wěn)定于事件A發(fā)生的

，我們稱頻率的這個性質為頻率的穩(wěn)定性.因此，我們可以用頻率fn(A)____概率P(A).

可能性大小P(A)

概率P(A)

估計

【特別提醒】1.頻率與概率有本質的區(qū)別：頻率隨著試驗次數(shù)的改變而發(fā)生變化，概率是大量隨機事件現(xiàn)象的客觀規(guī)律，是一個常數(shù).2.“互斥事件”與“對立事件”的區(qū)別：對立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情況，但互斥事件不一定是對立事件，“互斥”是“對立”的必要不充分條件.3.需準確理解題意，特別留心“至多……”“至少……”“不少于……”等語句的含義.

1.(教材習題改編)某人打靶時連續(xù)射擊兩次，下列事件中與事件“至少一次中靶”互為對立的是(

)A.至多一次中靶B.兩次都中靶C.只有一次中靶D.兩次都沒有中靶D2.若某群體中的成員只用現(xiàn)金支付的概率為0.45，既用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付的概率為0.15，則不用現(xiàn)金支付的概率為(

)A.0.3B.0.4C.0.6D.0.7B3.(2023年煙臺月考)袋中有大小、形狀相同的紅球、黑球各一個，現(xiàn)在有放回地隨機摸3次，每次摸取一個，觀察摸出球的顏色，則此隨機試驗的樣本點個數(shù)為(

)A.5B.6

C.7D.8D

BCD

重難突破能力提升2隨機事件的關系

A

(2)對飛機連續(xù)射擊兩次，每次發(fā)射一枚炮彈，設A＝{兩次都擊中飛機}，B＝{兩次都沒擊中飛機}，C＝{恰有一次擊中飛機}，D＝{至少有一次擊中飛機}，其中彼此互斥的事件是

；互為對立事件的是

.

A與B，A與C，B與C，B與D

B與D【解析】(1)至多有一張移動卡包含“一張移動卡，一張聯(lián)通卡”“兩張全是聯(lián)通卡”兩個事件，它是“2張全是移動卡”的對立事件.故選A.(2)設I為對飛機連續(xù)射擊兩次所發(fā)生的所有情況，因為A∩B＝?，A∩C＝?，B∩C＝?，B∩D＝?，故A與B，A與C，B與C，B與D為互斥事件.而B∩D＝?，B∪D＝I，故B與D互為對立事件.【解題技巧】判別互斥、對立事件的方法：判別互斥事件、對立事件一般用定義判斷，不可能同時發(fā)生的兩個事件為互斥事件；兩個事件，若有且僅有一個發(fā)生，則這兩個事件為對立事件，對立事件一定是互斥事件.【變式精練】1.(1)從1，2，3，4，5中有放回地依次取出兩個數(shù)，則下列各對事件是互斥而不是對立事件的是(

)A.恰有1個是奇數(shù)和全是奇數(shù)B.恰有1個是偶數(shù)和至少有1個是偶數(shù)C.至少有1個是奇數(shù)和全是奇數(shù)D.至少有1個是偶數(shù)和全是奇數(shù)A

B

隨機事件的頻率與概率

(2022年北京改編)在校運動會上，只有甲、乙、丙三名同學參加鉛球比賽，比賽成績達到9.50m以上(含9.50m)的同學將獲得優(yōu)秀獎.為預測獲得優(yōu)秀獎的人數(shù)及冠軍得主，收集了甲、乙、丙以往的比賽成績，并整理得到如下數(shù)據(jù)(單位：m)：甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；丙：9.85，9.65，9.20，9.16.假設用頻率估計概率，且甲、乙、丙的比賽成績相互獨立.(1)估計甲在校運動會鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎的概率；(2)在本比賽中，求甲、乙、丙至少有一人獲得優(yōu)秀的概率.

【解題技巧】1.概率與頻率的關系：頻率反映了一個隨機事件出現(xiàn)的頻繁程度，頻率是隨機的，而概率是一個確定的值，通常用概率來反映隨機事件發(fā)生的可能性的大小，有時也用頻率來作為隨機事件概率的估計值.2.隨機事件概率的求法：利用概率的統(tǒng)計定義求事件的概率，即通過大量的重復試驗，事件發(fā)生的頻率會逐漸趨近于某一個常數(shù)，這個常數(shù)就是概率.【變式精練】2.某超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進貨量相同，進貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當天全部處理完.根據(jù)往年銷售經(jīng)驗，每天需求量與當天最高氣溫(單位：℃)有關.如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間［20，25)，需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶.為了確定六月份的訂購計劃，統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，得到下面的頻數(shù)分布表：最高氣溫［10，15)［15，20)［20，25)［25，30)［30，35)［35，40］天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計最高氣溫位于該區(qū)間的概率.(1)估計六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率；(2)設六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y(單位：元)，當六月份這種酸奶一天的進貨量為450瓶時，寫出Y的所有可能值，并估計Y大于零的概率.

求復雜事件的概率

某商場有獎銷售中，購滿100元商品得1張獎券，多購多得.1000張獎券為一個開獎單位，設特等獎1個，一等獎10個，二等獎50個.設1張獎券中特等獎、一等獎、二等獎的事件分別為A，B，C，求：(1)P(A)，P(B)，P(C)；(2)1張獎券的中獎概率；(3)1張獎券不中特等獎且不中一等獎的概率.

B

素養(yǎng)微專直擊高考3思想方法——用正難則反思想求互斥事件的概率

某超市為了解顧客的購物量及結算時間等信息，安排一名員工隨機收集了在該超市購物的100位顧客的相關數(shù)據(jù)，如下表所示：典例精析一次購物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顧客數(shù)/人x3025y10結算時間(分鐘/人)11.522.53已知這100位顧客中一次購物量超過8件的顧客占55%.(1)確定x，y的值，并估計顧客一次購物的結算時