數(shù)學(xué)上的二項(xiàng)式定理指的是（a+b）n，其展開項(xiàng)共n+1項(xiàng)，分別是Cn0a0bn、Cn1a1bn-1、Cn2a2bn-2、……、Cnnanb0。二項(xiàng)式定理不僅在數(shù)學(xué)上常用，在高中生物中也有一定的應(yīng)用，比如生育多個子代的性別和性狀問題，顯性基因的累加效應(yīng)問題，細(xì)胞分裂過程中染色體的分配問題等均可運(yùn)用二項(xiàng)式定理的思想來做解答。1、多個子代的性別或性狀問題例1：一對夫妻假設(shè)生育4個孩子（無同卵雙胞胎），那么4個孩子是3男1女的概率是多少？解：生男生女的概率各占1/2，每個孩子的性別對其他孩子的性別沒有影響即每個孩子的性別是獨(dú)立事件，這種情況下可以運(yùn)用二項(xiàng)式定理來解決。生育4個孩子，孩子的性別情況共有5種，分別是4男、3男1女、2男2女、1男3女和4女，由于生男生女的概率各占1/2，所以可以用（1/2+1/2）4的展開項(xiàng)C40（1/2）0（1/2）4+C41（1/2）1（1/2）3+C42（1/2）2（1/2）2+C43（1/2）3（1/2）1+C44（1/2）4（1/2）0來表示每種情況的概率，3男1女的概率即為C41（1/2）4等于1/4。例2：假設(shè)豚鼠的毛色黑色對白色為顯性，一對雜合黑色豚鼠生了8只小豚鼠，出現(xiàn)6黑2白的概率是多少？解：親本均為雜合，子代出現(xiàn)顯性和隱性性狀的概率分別為3/4和1/4。每個小豚鼠的毛色對其他小豚鼠的毛色沒有影響是獨(dú)立事件，8只小豚鼠的毛色情況共9種，符合二項(xiàng)式定理的應(yīng)用條件。（3/4+1/4）8的展開項(xiàng)可以表示每種情況概率，即C80（3/4）0（1/4）8+C81（3/4）1（1/4）7+C82（3/4）2（1/4）6+……+C88（3/4）0（1/4）8，8只小豚鼠出現(xiàn)6黑2白的概率是C86（3/4）6（1/4）2=7*36/47。2、顯性基因的累加效應(yīng)有的性狀受多對獨(dú)立遺傳的基因控制，并且存在顯性基因的累加效應(yīng)，如人的膚色，種子的粒重和植物的株高。例3：某植物的株高受兩對基因控制，用A、a和B、b表示，最矮的為10cm，每增加1個顯性基因株高增加2cm。株高最高的和最矮的雜交，得到的子一代自交，子二代的株高共有幾種情況，比例如何？解：子一代的基因型是AaBb，自交的后代基因型共有9種，可以根據(jù)顯性基因個數(shù)分成5種情況分別是0個（1/16aabb）、1個（1/8Aabb和1/8aaBb）、2個（1/16AAbb、1/16aaBB和1/4AaBb）、3個（1/8AABb和1/8AaBB）和4個（1/16AABB）顯性基因，所占比例分別是1/16、4/16、6/16、4/16和1/16。這種傳統(tǒng)算法是可以的，只不過計算量較大?？捎枚?xiàng)式定理來解決此類問題，子一代基因型是AaBb，子一代自交即父本和母本均為AaBb，父本的A和a均有1/2的概率傳給子代，父本的B和b均有1/2的概率傳給子代，母本同樣如此，且以上基因的傳遞是獨(dú)立事件，符合二項(xiàng)式定理的應(yīng)用條件，父本加母本共計4個顯性基因向子代傳遞。二項(xiàng)式為（1/2+1/2）4的展開項(xiàng)，C40（1/2）0（1/2）4+C41（1/2）1（1/2）3+C42（1/2）2（1/2）2+C43（1/2）3（1/2）1+C44（1/2）4（1/2）0可以表示每種情況的概率，結(jié)果分別為1/16、4/16、6/16、4/16和1/16。由于高中生有數(shù)學(xué)的二項(xiàng)式定理的基礎(chǔ)，所以運(yùn)用二項(xiàng)式定理來解題會更快一些。例4：若基因型為AaBb與AaBB兩個親本雜交，子代的株高有幾種性狀，比例如何？解：一方親本為AaBB一定傳遞子代一個B基因，A和a均有1/2的概率傳給子代，而另一方的A和a以及B和b均如此，共有3個顯性基因如此傳遞，二項(xiàng)式用（1/2+1/2）3，展開項(xiàng)C30（1/2）0（1/2）3+C31（1/2）1（1/2）2+C32（1/2）2（1/2）1+C33（1/2）3共4項(xiàng)，分別對應(yīng)0個、1個、2個和3個顯性基因，比例分別為1/8、3/8、3/8和1/8。由于AaBB一定傳遞子代一個B基因，因此子代含有的顯性基因個數(shù)是1個、2個、3個和4個，株高分別為12cm、14cm、16cm和18cm，比例分別占1/8、3/8、3/8和1/8。同理，涉及3對基因及以上的累加效應(yīng)，如AaBbcc×AABbCc的子代的表型比也可用二項(xiàng)式定理，親本一方是cc純合不遺傳后代顯性基因，一方是AA遺傳后代一個A基因，其余4對是雜合子，二項(xiàng)式為（1/2+1/2）4的展開，子代含有1、2、3、4、5個顯性基因，所占比例分別為1/16、4/16、6/16、4/16、1/16。顯性基因的累加效應(yīng)，親本雙方相關(guān)等位基因雜合子的對數(shù)即為二項(xiàng)式定理的n，純合子單算即可。3、細(xì)胞分裂過程中染色體的分配問題3.1有絲分裂中標(biāo)記染色體分配問題例5：一個核DNA數(shù)為2N細(xì)胞，所有DNA的雙鏈均被放射性標(biāo)記，把該細(xì)胞放在不含放射性的培養(yǎng)基里面培養(yǎng)進(jìn)行有絲分裂。分裂兩次后，每個細(xì)胞的標(biāo)記情況如何？形成的4個子細(xì)胞有幾個帶標(biāo)記？解：進(jìn)行一次有絲分裂后形成的2個F1代細(xì)胞相同，含有的2N條染色體均被標(biāo)記，且DNA只有1條鏈帶有標(biāo)記。F1代細(xì)胞進(jìn)入第二個細(xì)胞周期的S期之后，每條染色體的兩條姐妹染色體單體僅有1條含有放射性標(biāo)記，在分裂后期姐妹染色單體分離，形成2條子染色體隨機(jī)分離進(jìn)入2個F2代細(xì)胞中。所有的2N條染色體的分配情況均如此。因此F2代細(xì)胞中含有標(biāo)記染色體的情況可采用二項(xiàng)式定理解答，（1/2+1/2）2N的展開即為F2代細(xì)胞含有標(biāo)記染色體的情況，共計2N+1種情況，分別是含0條、1條、2條、……2N條標(biāo)記染色體，概率分別為C2N0（1/2）2N、C2N1（1/2）2N、C2N2（1/2）2N、……C2N2N（1/2）2N。需要注意的是2個F1代細(xì)胞的第二次分裂是獨(dú)立的。1個F1代細(xì)胞經(jīng)過第二次有絲分裂形成2個F2代細(xì)胞，每個F2代細(xì)胞的標(biāo)記情況是上述結(jié)果，但1個F1代細(xì)胞形成的2個F2代細(xì)胞并不是獨(dú)立的，比如1個F2代細(xì)胞含有3條標(biāo)記染色體，那么同時形成的另外1個F2代細(xì)胞一定含有2N-3條標(biāo)記染色體。唯有1個F2代細(xì)胞含有0條標(biāo)記染色體，同時形成的另一個F2代細(xì)胞含有2N條染色體時，2個F2代細(xì)胞中僅有1個細(xì)胞帶有標(biāo)記，概率為C2N0（1/2）2N即（1/2）2N，其余均是2個F2代細(xì)胞都帶標(biāo)記，概率占1-C2N0（1/2）2N=（22N-1）/22N。由于2個F1代細(xì)胞的分裂是獨(dú)立的且形成的F2代細(xì)胞僅有1個帶標(biāo)記的概率也形同的，所以2個F1代細(xì)胞經(jīng)過第二次分裂后形成的4個子細(xì)胞的情況也可以用二項(xiàng)式定理，[（1/2）2N+（22N-1）/22N]2展開得到3項(xiàng)，分別為（1/2）4N、22N-1/24N-1、（22N-1/22N）2分別對應(yīng)2個細(xì)胞帶標(biāo)記、3個細(xì)胞帶標(biāo)記和4個細(xì)胞帶標(biāo)記的概率。3.2減數(shù)分裂時染色體的分配問題例6：減數(shù)第一次分裂時發(fā)生同源染色體的分離，每對同源染色體隨機(jī)分離進(jìn)入兩個子細(xì)胞中。對于二倍體生物（2N）來說，含有N對同源染色體，可表示為1至N號染色體，均含有父源和母源的染色體。該生物形成的一個配子中，含有的父源染色體的情況如何？解：1號父源染色體和母源染色體隨機(jī)分配進(jìn)入一個配子中，含父源染色體的概率為1/2，同理2號直至N號也是如此。所以配子中含有父源染色體的情況可以用二項(xiàng)式定理解答。（1/2+1/2）N的展開即為配子中含有父源染色體的情況，共計N+1種情況，分別是含0條、1條、2條、……N條，概率分別為CN0（1/2）N、CN1（1/2）N、CN2（1/2）N、……CNN（1/2）N。例7：男孩含有46條染色體，23條來自父親，23條來自母親，那男孩的46條染色體有幾條來自于爺爺？幾條來自奶奶？幾條來自外公？幾條來自外婆？解：男孩有23條來自于父親，其中1條一定是Y染色體一定來自爺爺。其余的1-22號染色體來自父源即爺爺和來自母源即奶奶概率相同均為1/2，可用二項(xiàng)式定理求來自爺爺和奶奶染色體的概率。（1/2+1/2）22的展開即為爺爺奶奶染色體的情況，共計23種情況，分別是含爺爺1條奶奶22條、爺爺2條奶奶21條、爺爺3條奶奶20條、……爺爺23條奶奶0條，概率分別為C220（1/2）22、C221（1/2）22、C222（1/2）22、……C2222（1/2）22。男孩有23條染色體來自于母親，其中1條一定是X染色體，但是X染色體和其余22條常染色體一樣既可以來源于外公，也可以來源于外婆概率均為1/2?？捎枚?xiàng)式定理求來自外公外婆染色體的概率。（1/2+1/2）23的展開即為外公外婆染色體的情況，共計24種情況，分別是僅含來自外婆23條、外公1條外婆22