5.6應(yīng)用一元一次方程——追趕小明課程講授新知導(dǎo)入隨堂練習(xí)課堂小結(jié)第五章一元一次方程知識要點(diǎn)1.相遇問題2.追及問題3.順流(風(fēng))逆流(風(fēng))問題新知導(dǎo)入試一試：觀察下圖中的運(yùn)動情況，小組討論解決問題的方法.B地，乙車A地，甲車兩車同時出發(fā)，兩小時后相遇，相遇時甲車比乙車多行進(jìn)24km，相遇后半小時甲車到達(dá)B地，兩車的行進(jìn)速度分別是多少？可以用列方程的方法解答課程講授1相遇問題例2019年1月1日,歷經(jīng)3年多的施工建設(shè)，2019年世園會、2022年冬奧會重點(diǎn)交通保障工程——全長約42km的京禮高速興延段正式開通運(yùn)營.甲、乙兩車同時從興延高速兩端相向勻速出發(fā)，經(jīng)過14min相遇，甲車比乙車每小時多行駛10km,求甲、乙兩車的速度.課程講授1相遇問題答:乙車的速度為85km/h，甲車的速度為95km/h.解：設(shè)乙車的速度為xkm/h，則甲車的速度為（x+10）km/h，根據(jù)題意，得解得x=85，則x+10=95.(x+x+10)=42，6014課程講授1相遇問題相遇問題解題思路：相遇問題中的等量關(guān)系：速度和×?xí)r間=總路程.課程講授1相遇問題練一練：某公路的干線上有相距108km的A,B兩個車站，某日14時整，甲、乙兩車分別從A，B兩站同時出發(fā)，相向而行.已知甲車的速度為45km/h，乙車的速度為36km/h,則兩車相遇的時間是（）A.14時20分B.15時20分C.15時40分D.14時40分B課程講授2追及問題例一隊學(xué)生去校外進(jìn)行訓(xùn)練，他們以5km/h的速度行進(jìn)，走了18min的時候，學(xué)校要將一個緊急通知傳給隊長，通訊員從學(xué)校出發(fā)，騎自行車以14km/h的速度按原路追上去，通訊員需多少時間可以追上學(xué)生?課程講授2追及問題解：設(shè)通訊員需要xh可以追上學(xué)生,根據(jù)題意，得解得答：通訊員需要h可以追上學(xué)生.課程講授2追及問題追及問題解題思路：追及問題中的等量關(guān)系：速度差×追及時間=追及路程，其中追及時間指快者和慢者共同行駛的時間，追及路程指慢者先行駛的路程.課程講授2追及問題練一練：甲、乙兩站相距240千米，從甲站開出一列慢車，速度為80千米/時，從乙站開出一列快車，速度為120千米/時，如果兩車同時開出，同向而行（慢車在后），那么經(jīng)過______小時兩車相距300千米.1.5課程講授3順流(風(fēng))逆流(風(fēng))問題例一架飛機(jī)在兩個城市間飛行，無風(fēng)時每小時飛行550km，在一次往返飛行中，飛機(jī)順風(fēng)飛行用了5h，逆風(fēng)飛行用了6h，求這次飛行的風(fēng)速.課程講授3順流(風(fēng))逆流(風(fēng))問題答：這次飛行的風(fēng)速為50km/h.解：設(shè)這次飛行的風(fēng)速為xkm/h,根據(jù)題意，得5（550+x）=6（550-x），解得x=50.課程講授3順流(風(fēng))逆流(風(fēng))問題順流(風(fēng))逆流(風(fēng))問題解題思路：順流(風(fēng))：順?biāo)俣?原來速度+水流（風(fēng)）速度，逆流：逆水速度=原來速度-水流（風(fēng)）速度.課程講授3順流(風(fēng))逆流(風(fēng))問題練一練：一艘輪船在同一河道中航行，順流而下每小時航行23km，逆流而上每小時航行15km，則輪船在平靜的河面航行的速度是______km/h，河水的流速是_______km/h.419隨堂練習(xí)1.甲、乙兩運(yùn)動員在長為100m的直道AB（A，B為直道兩端點(diǎn)）上進(jìn)行勻速往返跑訓(xùn)練，兩人同時從A點(diǎn)起跑，到達(dá)B點(diǎn)后，立即轉(zhuǎn)身跑向A點(diǎn)，到達(dá)A點(diǎn)后，又立即轉(zhuǎn)身跑向B點(diǎn)……若甲跑步的速度為5m/s，乙跑步的速度為4m/s，則起跑后100s內(nèi)，兩人相遇的次數(shù)為()A.5次B.4次C.3次D.2次B隨堂練習(xí)2.已知某鐵路橋長500m，現(xiàn)在一列火車勻速通過該橋，火車從開始上橋到過完橋共用了30s，整列火車完全在橋上的時間為20s，則火車的長度為_______m.100隨堂練習(xí)3.中國古代數(shù)學(xué)著作《直指算法統(tǒng)宗》中有這樣一段記載：“三百七十八里關(guān)，初日健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān).”其大意是：有人要去某關(guān)口，路程為378里，第一天健步行走，從第二天起，由于腳痛，每天走的路程都為前一天的一半，一共走了六天才到達(dá)目的地,求此人第六天走的路程為多少里.設(shè)此人第六天走的路程為x里，依題意，可列方程為_________________________.課堂小結(jié)應(yīng)用一元一次方程——追趕小明相遇問題追及問題順流(風(fēng))逆流(風(fēng))問題速度和×?xí)r間=總路程速度差×追及時間=追及路程順?biāo)俣?原來速度+水流（風(fēng)）速度逆水速度=原來速度-水流（風(fēng)）速度.5.6應(yīng)用一元一次方程——追趕小明小明和小華相距10米，他們同時出發(fā)，相向而行，小明每秒走3米，小華每秒走4米，他們能相遇嗎？幾秒鐘可以相遇？等量關(guān)系：小明走的路程+小華走的路程=相距的路程所用公式：路程=速度×?xí)r間情境導(dǎo)入這道題是小學(xué)做過的一種很常見的應(yīng)用題：行程問題，用到的數(shù)量關(guān)系主要有：路程=平均速度×?xí)r間；時間=路程÷平均速度.行程問題就是要抓住速度、路程、時間三個量之間的關(guān)系，找出等量關(guān)系，正確地列出方程，解決實際問題.1.若杰瑞的速度是6米/秒，則它5秒跑了________米．2.若湯姆的速度是7米/秒，要抓到14米遠(yuǎn)處正在吃食物而毫無防備的杰瑞需要________秒．3.若杰瑞想在4秒鐘內(nèi)搶在湯姆前面吃到放在30米處的奶酪，則它至少每秒鐘要跑________米．3027.25小明每天早上要在7:50之前趕到距家1000m的學(xué)校上學(xué).一天，小明以80m/min的速度出發(fā)，5min后，小明的爸爸發(fā)現(xiàn)他忘了帶語文書.于是,爸爸立即以180m/min的速度去追小明，并且在途中追上了他.(1)爸爸追上小明用了多長時間？(2)追上小明時，距離學(xué)校還有多遠(yuǎn)？獲取新知分析：當(dāng)爸爸追上小明時，兩人所走路程相等.解：(1)設(shè)爸爸追上小明用了x分鐘，則此題的數(shù)量關(guān)系可用線段圖表示.據(jù)題意，得80×5＋80x=180x.答：爸爸追上小明用了4分鐘．（2）180×4=720（米），1000－720=280（米）.答：追上小明時，距離學(xué)校還有280米．化簡，得100x=400.x=4.80×580x180x在審題過程中，如果能把文字語言變成圖形語言——線段圖，即可使問題更加直觀，等量關(guān)系更加清晰.我們只要設(shè)出未知數(shù)，并用代數(shù)式表示出來，便可以得到方程.例1小麗和小紅每天早晨堅持跑步，小紅每秒跑4米，小麗每秒跑6米.（1）如果她們從100米跑道的兩端相向跑，那么幾秒之后兩人相遇？（2）如果小麗站在百米跑道起跑處，小紅站在她面前10米處，兩人同時同向起跑，幾秒后小麗追上小紅？例題講解（1）如果她們從100米跑道的兩端相向跑，那么幾秒之后兩人相遇？題目中已知些什么？用圖表示出來.等量關(guān)系:小麗所跑的路程+小紅所跑的路程=100米.小麗跑的路程小紅跑的路程100米解：設(shè)經(jīng)過x秒后兩人相遇，則小麗跑的路程為6x米，小紅跑的路程為4x米，由此可得方程：6x+4x=100.解得：x=10.答：經(jīng)過10秒后兩人相遇.小麗跑的路程小紅跑的路程100米題目中已知些什么？用圖表示出來.（2）如果小麗站在百米跑道起跑處，小紅站在她面前10米處，兩人同時同向起跑，幾秒后小麗追上小紅？小麗跑的路程(6x)小紅跑的路程(4x)10米追及點(diǎn)等量關(guān)系:小麗所跑的路程-小紅所跑的路程=10米.解：設(shè)經(jīng)過x秒后小麗追上小紅，則小麗跑的路程為6x米，小紅跑的路程為4x米，由此可得方程：6x-4x=10.解得：x=5.答：經(jīng)過5秒后小麗追上小紅.小麗跑的路程(6x)小紅跑的路程(4x)10米追及點(diǎn)相遇問題：關(guān)于兩人從兩地出發(fā)相向而行的行程問題稱為相遇問題，這類問題往往根據(jù)路程之和等于總路程列方程．如圖5－6－1所示，甲的行程＋乙的行程＝兩地相距的路程．圖5－6－1A，B兩地相距60千米，甲、乙兩人分別從A，B兩地出發(fā)相向而行，甲的速度是8千米/時，乙的速度是6千米/時．經(jīng)過多長時間兩人相距4千米？8x6x604AB8x6x604AB追及問題：(1)對于同向同時不同地的問題，如圖5－6－2所示，甲的行程－乙的行程＝兩出發(fā)地相距的路程；圖5－6－2(2)對于同向同地不同時的問題，如圖5－6－3所示，甲的行程＝乙先走的路程＋乙后走的路程．注意：同向而行注意始發(fā)時間和地點(diǎn)．一隊學(xué)生去校外進(jìn)行軍事野營訓(xùn)練，他們以5km/h的速度行進(jìn)，走了18min的時候，學(xué)校要將一個緊急通知傳給隊長，通訊員從學(xué)校出發(fā)，騎自行車以14km/h的速度按原路追上去，通訊員用多少時間可以追上學(xué)生的隊伍？相等關(guān)系：通訊員的行進(jìn)路程＝學(xué)生的行進(jìn)路程．5×18/605x14x注意單位統(tǒng)一問題1：操場一周是400米，小明每秒跑5米,小華騎自行車每秒10米,兩人繞跑道同時同地同向而行，他倆能相遇嗎？環(huán)形跑道問題分析小華小明同時同地同向而行能相遇問題2：操場一周是400米，小明每秒跑5米,小華騎自行車每秒10米,兩人繞跑道同時同地同向而行，經(jīng)過幾秒鐘兩人第一次相遇？分析小華小明同時同地同向而行拓展訓(xùn)練：經(jīng)過幾秒鐘兩人第三次相遇？解：設(shè)經(jīng)過x秒兩人第一次相遇，依題意，得10x-5x=400,解得x=80.答：經(jīng)過80秒兩人第一次相遇變式訓(xùn)練：操場一周是400米，小明每秒跑5米,小華騎自行車每秒10米,兩人繞跑道同時同地同向而行，兩人同時同地相背而行，則兩個人何時相遇？分析小華小明同時同地相背而行解：設(shè)經(jīng)過x秒兩人第一次相遇，依題意，得10x+5x=400,解得x=.答：經(jīng)過秒兩人第一次相遇環(huán)形跑道問題：設(shè)v甲＞v乙，環(huán)形跑道長s米，經(jīng)過t秒甲、乙第一次相遇.一般有如下兩種情形：①同時同地、同向而行：v甲t-v乙t=s.①同時同地、背向而行：v甲t+v乙t=s.例2小明和他的哥哥早晨起來沿長為400m的環(huán)形跑道練習(xí)跑步．小明跑2圈用的時間和他的哥哥跑3圈用的時間相等．兩人同時同地同向出發(fā)，結(jié)果經(jīng)過2min40s他們第一次相遇，若他們兩人同時同地反向出發(fā)，則經(jīng)過幾秒他們第一次相遇？解：設(shè)小明的速度為xm/s，則他的哥哥的速度為xm/s，由題意得160x＝160×－400.解得x＝5.則小明的哥哥的速度為5×＝7.5(m/s)．設(shè)經(jīng)過ys他們第一次相遇，由題意，得(5＋7.5)y＝400.解得y＝32.答：經(jīng)過32s他們第一次相遇．例2順(逆)水(風(fēng))問題一架飛機(jī)在兩個城市之間飛行，當(dāng)順風(fēng)飛行時需2.9h，當(dāng)逆風(fēng)飛行時則需3.1h．已知風(fēng)速為20km/h，求無風(fēng)時飛機(jī)的航速和這兩個城市之間的距離．設(shè)無風(fēng)時飛機(jī)的航速為xkm/h，根據(jù)順風(fēng)速度＝無風(fēng)速度＋風(fēng)速，逆風(fēng)速度＝無風(fēng)速度－風(fēng)速，由路程＝速度×?xí)r間列出方程，求出方程的解即可得到結(jié)果．解：設(shè)無風(fēng)時飛機(jī)的航速為xkm/h，根據(jù)題意，得2.9(x＋20)＝3.1(x－20)．解這個方程，得x＝600.則3.1(x－20)＝1798.因此，無風(fēng)時飛機(jī)的航速為600km/h，這兩個城市之間的距離為1798km.1．順(逆)風(fēng)問題中的有關(guān)公式：①順風(fēng)速度＝無風(fēng)速度＋風(fēng)速；②逆風(fēng)速度＝無風(fēng)速度－風(fēng)速；③順風(fēng)速度－逆風(fēng)速度＝2×風(fēng)速．2．順(逆)水問題中的有關(guān)公式：①順?biāo)俣龋届o水中的速度＋水流速度；②逆水速度＝靜水中的速度－水流速度；③順?biāo)俣龋嫠俣龋?×水流速度．例3家住山腳下的孔明同學(xué)想從家出發(fā)登山游玩，據(jù)以往的經(jīng)驗，他獲得如下信息：①他下山時的速度比上山時的速度每小時快1km；②他上山2h到達(dá)的位置，離山頂還有1km；③抄近路下山，下山路程比上山路程近2km；④下山用1h.根據(jù)上面信息，他做出如下計劃：(1)在山頂游覽1h；(2)中午12：00回到家吃中餐．若依據(jù)以上信息和計劃登山游玩，請問：孔明同學(xué)應(yīng)該在什么時間從家出發(fā)？解：設(shè)上山的速度為vkm/h，則下山的速度為(v＋1)km/h，由題意得2v＋1＝v＋1＋2，解得v＝2.即上山速度是2km/h.A隨堂演練2．甲、乙兩人在環(huán)形跑道上練習(xí)跑步，已知環(huán)形跑道一圈長400米，乙每秒跑6米，甲每秒跑8米．如果甲在乙前面8米處同時同向出發(fā)，那么經(jīng)過幾秒兩人首次相遇()A．208秒 B．204秒C．200秒 D．196秒D3．甲、乙兩人賽跑，甲的速度是8米/秒，乙的速度是5米/秒，如果甲從起點(diǎn)處往后退20米，乙從起點(diǎn)處向前進(jìn)10米，若甲、乙兩人同時出發(fā)，則甲經(jīng)過幾秒鐘追上乙？解：設(shè)甲經(jīng)過x秒追上乙．由題意，得8x－5x＝20＋10.解這個方程，得x＝10.因此，甲經(jīng)過10秒追上乙．4．A，B兩地相距30千米．甲、乙兩人分別從A，B兩地同時出發(fā)，相向而行．已知甲比乙每小時多走1千米，經(jīng)過2.5小時兩人相遇，求甲、乙兩人的速度．解：設(shè)乙的速度為x千米/時，則甲的速度為(x＋1)千米/時．根據(jù)題意，得2.5x＋2.5(x＋1)＝30.