第十一章第5講[A級(jí)基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1．(2021年湖北模擬)從含有3個(gè)元素的集合的所有子集中任取一個(gè)，所取的子集恰好含有兩個(gè)元素的概率為A．eq\f(3,10) B．eq\f(1,12)C．eq\f(45,64) D．eq\f(3,8)【答案】D2．中國(guó)古典樂(lè)器一般按“八音”分類，這是我國(guó)最早按樂(lè)器的制造材料來(lái)對(duì)樂(lè)器進(jìn)行分類的方法，最先見(jiàn)于《周禮·春官·大師》，分為“金、石、土、革、絲、木、匏(páo)、竹”八音．其中“金、石、木、革”為打擊樂(lè)器，“土、匏、竹”為吹奏樂(lè)器，“絲”為彈撥樂(lè)器，現(xiàn)從“金、石、土、革、絲、木”任取“兩音”，則“兩音”同為打擊樂(lè)器的概率為()A．eq\f(1,5) B．eq\f(2,5)C．eq\f(3,5) D．eq\f(2,7)【答案】B3．已知向量a＝(x，y)，b＝(1，－2)，從6張大小相同分別標(biāo)有號(hào)碼1,2,3,4,5,6的卡片中，有放回地抽取兩張，x，y分別表示第一次、第二次抽取的卡片上的號(hào)碼，則滿足a·b＞0的概率是()A．eq\f(1,12) B．eq\f(3,4)C．eq\f(1,5) D．eq\f(1,6)【答案】D4．(2021年濟(jì)南模擬)五一節(jié)假日期間，某商場(chǎng)搞促銷活動(dòng)，顧客消費(fèi)每滿200元可參與抽獎(jiǎng)一次．抽獎(jiǎng)規(guī)則：有一個(gè)不透明箱子裝有除顏色外完全相同的紅球和黃球，其中有4個(gè)紅球和6個(gè)黃球，從箱子中隨機(jī)摸出2個(gè)球，若兩個(gè)球都為紅球中“一等獎(jiǎng)”，一個(gè)紅球一個(gè)黃球中“二等獎(jiǎng)”，兩個(gè)黃球中“三等獎(jiǎng)”．張阿姨正值活動(dòng)期間去商場(chǎng)購(gòu)物共花費(fèi)了260元，則張阿姨中“一等獎(jiǎng)”的概率為()A．eq\f(2,15) B．eq\f(8,45)C．eq\f(18,95) D．eq\f(16,45)【答案】A5．(2021年甲卷)將4個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，則2個(gè)0不相鄰的概率為()A．eq\f(1,3) B．eq\f(2,5)C．eq\f(2,3) D．eq\f(4,5)【答案】C6．(2021年山東二模)(多選)將4男、4女共8位同學(xué)隨機(jī)地分成人數(shù)相等的甲、乙兩組，則下列說(shuō)法正確的是()A．4位女同學(xué)分到同一組的概率為eq\f(1,35)B．男生a和女生b分到甲組的概率為eq\f(3,14)C．有且只有3位女同學(xué)分到同一組的概率為eq\f(32,35)D．4位男同學(xué)不同時(shí)分到甲組的概率為eq\f(34,35)【答案】AB【解析】8位同學(xué)隨機(jī)地分成人數(shù)相等的甲、乙兩組的不同分法為Ceq\o\al(4,8)Ceq\o\al(4,4)＝70.A選項(xiàng)，4位女同學(xué)分到同一組的不同分法只有2種，其概率為eq\f(2,70)＝eq\f(1,35)，故A正確；B選項(xiàng)，先將男生a和女生b分到甲組，再?gòu)氖Ｓ嗟?人中選2人分到甲組，最后余下的4人分到乙組，不同分法為Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(4,4)＝15，其概率為eq\f(15,70)＝eq\f(3,14)，故B正確；C選項(xiàng)，有且只有3位女同學(xué)分到同一組不同分法為Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(1,4)·2＝32種，其概率為eq\f(32,70)＝eq\f(16,35)，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，4位男同學(xué)同時(shí)分到甲組只有1種，其概率為eq\f(1,70)，則4位男同學(xué)不同時(shí)分到甲組的概率為1－eq\f(1,70)＝eq\f(69,70)，故D錯(cuò)誤．故選AB．7．(2021年上海月考)一個(gè)口袋中裝有大小相同的編號(hào)球，其中5個(gè)是白球、4個(gè)是黑球，從中任取3個(gè)球，取出的球都是白球的概率是________．【答案】eq\f(5,42)【解析】從裝有5個(gè)白球、4個(gè)黑球的口袋中任取3個(gè)球，其中3個(gè)球都是白球的概率是p＝eq\f(C\o\al(3,5),C\o\al(3,9))＝eq\f(5,42).8．(2021年臺(tái)州二模)若排一張有三首歌曲和三支舞蹈的演出節(jié)目單，共有________種不同的排法(用數(shù)字作答)，其中恰有兩首歌曲相鄰的概率為_(kāi)_______．【答案】720eq\f(3,5)【解析】排一張有三首歌曲和三支舞蹈的演出節(jié)目單，共有n＝Aeq\o\al(6,6)＝720種不同的排法．恰有兩首歌曲相鄰，可先排三支舞蹈，有Aeq\o\al(3,3)種排法，再將三首歌曲中的兩首捆綁在一起，和另外一首歌曲全排到，有Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,2)種排法，最后插入到排好的三支舞蹈的4個(gè)空位中，有Aeq\o\al(2,4)種排法，所以不同排法數(shù)m＝Aeq\o\al(3,3)Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,4)＝432，所以其中恰有兩首歌曲相鄰的概率為p＝eq\f(m,n)＝eq\f(3,5).9．(2021年南昌一中月考)一個(gè)口袋內(nèi)有紅、白、黃顏色、大小完全相同的三個(gè)小球，求：(1)從中任意摸出兩個(gè)小球，摸出的是紅球和白球的概率；(2)從袋中摸出一個(gè)后放回，再摸出一個(gè)，兩次摸出的球是一紅一白的概率；(3)從袋中摸出一個(gè)后放回，再摸出一個(gè)，第一次摸得紅球，第二次摸得白球的概率；(4)從袋中依次無(wú)放回地摸出兩球，第一次摸得紅球，第二次摸得白球的概率．解：(1)任意摸出兩個(gè)小球的基本事件空間為{(紅，白)，(紅，黃)，(白，黃)}，共3個(gè)，而摸得紅球和白球只包含(紅，白)這一個(gè)基本事件，所以概率為eq\f(1,3).(2)有放回地取球，基本事件空間為{(紅，紅)，(紅，白)，(紅，黃)，(白，白)，(白，紅)，(白，黃)，(黃，紅)，(黃，黃)，(黃，白)}，共9個(gè)，而摸出一紅一白包含(紅，白)，(白，紅)共2個(gè)基本事件，所以概率為eq\f(2,9).(3)基本事件空間同(2)，第一次摸得紅球，第二次摸得白球，只包含(紅，白)這一個(gè)基本事件，所以概率為eq\f(1,9).(4)基本事件空間為{(紅，白)，(紅，黃)，(白，紅)，(白，黃)，(黃，紅)，(黃，白)}，共6個(gè)，而第一次摸得紅球，第二次摸得白球只包含(紅，白)這一個(gè)基本事件，所以概率是eq\f(1,6).[B級(jí)能力提升]10．(2021年漢中模擬)根據(jù)《醫(yī)養(yǎng)在漢中發(fā)展規(guī)劃(2020－2030年)》，漢中市聚焦打造“真美漢中，康養(yǎng)福地”特色品牌，著力發(fā)展“醫(yī)養(yǎng)融合”“健康旅游”“健康運(yùn)動(dòng)”“中醫(yī)藥”“健康食品”5大醫(yī)養(yǎng)支柱產(chǎn)業(yè)．現(xiàn)安排5名調(diào)研員赴北京、上海、廣州進(jìn)行交流學(xué)習(xí)，每個(gè)城市至少去1人，則恰好有2名調(diào)研員去北京的概率為()A．eq\f(2,15) B．eq\f(1,5)C．eq\f(2,5) D．eq\f(3,5)【答案】C【解析】安排5名調(diào)研員赴北京、上海、廣州進(jìn)行交流學(xué)習(xí)，每個(gè)城市至少去1人，基本事件總數(shù)n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(C\o\al(3,5)＋\f(C\o\al(2,5)C\o\al(2,3)C\o\al(1,1),A\o\al(2,2))))·Aeq\o\al(3,3)＝150，恰好有2名調(diào)研員去北京包含的基本事件個(gè)數(shù)m＝Ceq\o\al(2,5)Aeq\o\al(2,3)＝60，則恰好有2名調(diào)研員去北京的概率為p＝eq\f(m,n)＝eq\f(60,150)＝eq\f(2,5).故選C．11．(2021年永州四中模擬)若從1,4,2,8,5,7這6個(gè)數(shù)字中任意取出3個(gè)數(shù)構(gòu)成一個(gè)三位數(shù)x，則999－x是剩下的3個(gè)數(shù)字構(gòu)成的一個(gè)三位數(shù)的概率為()A．eq\f(4,5) B．eq\f(3,5)C．eq\f(2,5) D．eq\f(3,10)【答案】C【解析】從1,4,2,8,5,7這6個(gè)數(shù)字中任意取出3個(gè)數(shù)構(gòu)成一個(gè)三位數(shù)x，基本事件總數(shù)n＝Aeq\o\al(3,6)＝120個(gè)，注意到1,4,2,8,5,7這6個(gè)數(shù)中，1＋8＝2＋7＝4＋5＝9，將它們分成三組{1,8}，{2,7}，{4,5}，由題意知滿足“999－x是剩下的3個(gè)數(shù)字構(gòu)成的一個(gè)三位數(shù)”的x為每組中取1個(gè)數(shù)的不同排列，其個(gè)數(shù)為Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(3,3)＝48，故所求概率為p＝eq\f(48,120)＝eq\f(2,5).12．(2021年南京十三中期末)(多選)從集合A＝{－1，－3,2,4}中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)記為a，從集合B＝{－5,1,4}中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)記為b，則()A．a(chǎn)b＞0的概率是eq\f(1,2)B．a(chǎn)＋b≥0的概率是eq\f(1,2)C．直線y＝ax＋b不經(jīng)過(guò)第三象限的概率是eq\f(1,3)D．lna＋lnb＞1的概率是eq\f(5,12)【答案】AC【解析】由題意可得(a，b)所有可能的取法有12種，(－1，－5)，(－1,1)，(－1,4)，(－3，－5)，(－3,1)，(－3,4)，(2，－5)，(2,1)，(2,4)，(4，－5)，(4,1)，(4,4)，其中滿足ab＞0的取法有(－1，－5)，(－3，－5)，(2,1)，(2,4)，(4,1)，(4,4)，共6種，則ab＞0的概率p＝eq\f(6,12)＝eq\f(1,2)，故A正確；其中滿足a＋b≥0的取法有(－1,1)，(－1,4)，(－3,4)，(2,1)，(2,4)，(4,1)，(4,4)，共7種，則a＋b≥0的概率p＝eq\f(7,12)，故B錯(cuò)誤；因?yàn)橹本€y＝ax＋b不經(jīng)過(guò)第三象限，所以a＜0，b≥0，所有滿足直線y＝ax＋b不經(jīng)過(guò)第三象限的取法有(－1,1)，(－1,4)，(－3,1)，(－3,4)，共4種，則直線y＝ax＋b不經(jīng)過(guò)第三象限的概率p＝eq\f(4,12)＝eq\f(1,3)，故C正確；因?yàn)閘na＋lnb＝lnab＞1，所以a＞0，b＞0，ab＞e，所有滿足lna＋lnb＞1的取法有(2,4)，(4,1)，(4,4)，共3種，故lna＋lnb＞1的概率p＝eq\f(3,12)＝eq\f(1,4)，故D錯(cuò)誤．故選AC．13．(2021年淮南二模)十二生肖是中國(guó)及東亞地區(qū)的一些民族用來(lái)代表年份的十二種動(dòng)物．順序排列為子鼠、丑牛、寅虎、卯兔、辰龍、巳蛇、午馬、未羊、申猴、酉雞、戌狗、亥豬．生肖也稱屬相，常常用來(lái)代表人出生的年號(hào)．現(xiàn)有牛、虎、龍、馬屬相各1人，4人從吉祥物為牛、虎、龍、馬、猴的5件飾物中隨機(jī)選一件，則恰有2人選中與屬相對(duì)應(yīng)的飾物的概率為_(kāi)_______．【答案】eq\f(3,20)【解析】設(shè)事件A為“恰有2人選中與屬相對(duì)應(yīng)的飾物”，總的基本事件為n＝Aeq\o\al(4,5)＝120種，事件A的基本事件為m＝Ceq\o\al(2,4)×3＝18種，故恰有2人選中與屬相對(duì)應(yīng)的飾物的概率為eq\f(m,n)＝eq\f(18,120)＝eq\f(3,20).14．(2021年邢臺(tái)月考)一個(gè)網(wǎng)上商家在今年雙十一購(gòu)物節(jié)銷售某商品后，根據(jù)消費(fèi)者評(píng)價(jià)數(shù)據(jù)，整理得到銷售的5個(gè)型號(hào)商品的相關(guān)數(shù)據(jù)：商品型號(hào)ABCDE反饋信息商品數(shù)12001800240046005000五星好評(píng)率0.750.90.80.950.85五星好評(píng)率是指該型號(hào)商品獲得五星好評(píng)的商品數(shù)與反饋信息商品數(shù)的比值．(1)從反饋了信息的商品中隨機(jī)選取1件，求該商品是獲得五星好評(píng)的E類商品的概率；(2)在反饋了信息的商品中，商家想從五星好評(píng)率較低的A，C兩類中按分層隨機(jī)抽樣取出6件商品，再?gòu)闹腥我膺x擇2件商品進(jìn)行質(zhì)量分析，求取到的2件商品中A，C兩類都有的概率．解：(1)由題意知網(wǎng)上商家收集數(shù)據(jù)的商品的總件數(shù)是1200＋1800＋2400＋4600＋5000＝15000，其中獲得五星好評(píng)的E類商品的件數(shù)是5000×0.85，故所求概率為eq\f(5000×0.85,15000)＝eq\f(17,60).(2)因?yàn)锳，C兩類商品的比是1∶2，所以在A，C中分別抽取了2件與4件，從6件商品中抽取兩件，取到的2件商品中A，C兩類都有的概率p＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,4),C\o\al(2,6))＝eq\f(8,15).[C級(jí)創(chuàng)新突破]15．(2021年江蘇模擬)(多選)隨著高三畢業(yè)日期的逐漸臨近，有n(n≥2)個(gè)同學(xué)組成的學(xué)習(xí)小組，每人寫(xiě)了一張祝福的卡片準(zhǔn)備送給其他同學(xué)，小組長(zhǎng)收齊所有卡片后讓每個(gè)人從中隨機(jī)抽一張作為祝福卡片，則()A．當(dāng)n＝4時(shí)，每個(gè)人抽到的卡片都不是自己的概率為eq\f(3,8)B．當(dāng)n＝5時(shí)，恰有一人抽到自己的卡片的概率為eq\f(3,40)C．甲和乙恰好互換了卡片的概率為eq\f(1,n－1)－eq\f(1,n)D．記n個(gè)同學(xué)都拿到其他同學(xué)的卡片的抽法數(shù)為an，則an＋2＝(n＋1)(an＋an＋1)(n∈N*)【答案】ACD【解析】考慮n＋1個(gè)同學(xué)時(shí)的情況，若n＋1個(gè)同學(xué)都拿到其他同學(xué)的卡片，則第n＋2個(gè)同學(xué)可以與其中任何一個(gè)交換卡片，若n＋1個(gè)同學(xué)只有一個(gè)拿到自己的卡片，則第n＋2個(gè)同學(xué)必須與該同學(xué)交換卡片，所以an＋2＝(n＋1)an＋1＋(n