專題三分式（講義）——中考數(shù)學一輪復習備考合集考情分析命題點命題形式命題熱度命題特點分式及其性質(zhì)1.分式有意義的條件☆☆本專題多以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)，重點考查分式的基本性質(zhì)和分式的運算，體現(xiàn)了數(shù)學運算的核心素養(yǎng)2.分式值為0的條件☆分式的運算3.分式的加減乘除☆☆4.分式的化簡求值☆☆☆講解一：分式及其性質(zhì)一、分式的有關概念1.分式：如果表示兩個整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.2.分式有意義的條件：分母不能為0，即.3.分式的值為0的條件：且.【注意】（1）分式的值為零是在分式有意義的前提條件下才可以考慮的，若使分子等于零的數(shù)使分母為零，則必須舍去.（2）解題時易出現(xiàn)只考慮分子為零，而忽略了分母不能為零的情況.4.分式與整式的區(qū)別是分母中是否含有字母.【拓展延伸】（1）對于分式，若分式的值為正，則同號；（2）若分式的值為負，則異號；（3）若分式的值為1，則且；（4）若分式的值為，則且.二、分式的基本性質(zhì)1.分式的分子與分母乘（或除以）同一個不等于0的整式，分式的值不變，即，其中是整式.2.分式的分子、分母與分式本身的符號，改變其中任意兩個，分式的值不變，即.【注意】（1）運用分式的基本性質(zhì)時，一定要注意關鍵詞“同一個”與“不等于零”.（2）應用分式的基本性質(zhì)時，要避免犯只乘（或除以）分子（或分母）的錯誤.（3）若分式的分子或分母是多項式，則運用分式的基本性質(zhì)時，要先用括號把分子或分母括上，再乘或除以同一整式.命題精練命題形式1根據(jù)分式有意義的條件求字母的取值范圍1.（2024·安徽·中考真題）若代數(shù)式有意義，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】解析：分式有意義的條件是分母不能等于，．故答案為：．2.（2024·湖南長沙·中考真題）要使分式有意義，則x需滿足的條件是．【答案】解析：∵分式有意義，∴，解得，故答案為：．3.（2024·青海·中考真題）若式子有意義，則實數(shù)x的取值范圍是．【答案】解析：∵式子有意義，∴，解得：．故答案為：．【題型解讀】該題型考查了分式有意義的條件，分式有意義的條件是分母不等于零．根據(jù)分式有意義的條件列不等式解答即可.命題形式2根據(jù)分式的值為0的條件求字母的值1.（2023·浙江湖州·中考真題）若分式的值為0，則x的值是（）A．1 B．0 C． D．【答案】A解析：依題意得，且，解得．故選：A．2.（2023·江蘇·中考真題）若代數(shù)式的值是0，則實數(shù)x的值是（）A． B． 0 C．1 D．2【答案】B解析：由分母不為零得：∵代數(shù)式的值是0∴綜上：故選：B3.（2024·山東濟南·中考真題）若分式的值為0，則的值是．【答案】1解析：∵分式的值為0，∴x?1＝0，2x≠0解得：x＝1．故答案為：1．【題型解讀】該題型考查了分式的值為零的條件．分式值為零的條件是分子等于零且分母不等于零．講解二：分式的約分、通分一、分式的約分與最簡分式1.分式的約分：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把一個分式的分子與分母的公因式約去，叫做分式的約分.即.2.約分的方法：如果分式的分子、分母都是單項式，就直接約去分子、分母的公因式；如果分式的分子、分母中至少有一個是多項式，就先分解因式.3.最簡分式：分子與分母沒有公因式的分式，叫做最簡分式.【注意】（1）約分的依據(jù)是分式的基本性質(zhì).（2）約分的關鍵是找出分式中分子和分母的公因式，分式的約分，約去的是分子和分母整體的公因式，而不是某些項的公因式，因此約分前要保證分式的分子和分母都是乘積的形式.（3）約分的結果是整式或最簡分式.4.約分一般分為兩步，下表以分式的約分為例：步驟舉例①定公因式分子與分母的公因式：②約公因式原式=二、分式的通分與最簡公分母1.分式的通分：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把幾個異分母的分式分別化成與原來的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分.即（分母都為）.2.最簡公分母：通分時，要先確定各分式的公分母，各分式分母系數(shù)的最小公倍數(shù)與所有字母因式的最高次冪的積作分母，這樣的分母叫做最簡公分母.3.確定最簡公分母的步驟：確定最簡公分母一般分為四個步驟，下表以分式和為例：步驟具體操作方法舉例①定系數(shù)取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)分母系數(shù)的最小公倍數(shù)：2②定字母取分式分母中的所有字母分母的所有字母：③定指數(shù)取各個字母的最高指數(shù)的最高指數(shù)：2，的最高指數(shù)：2，的最高指數(shù)：1④寫最簡公分母最簡公分母：若分母是多項式，先把每個分母分解因式，再按上述步驟確定最簡公分母.4.通分的步驟通分一般分為兩步，下表以為例：步驟舉例①定最簡公分母最簡公分母：②化異分母為最簡公分母原式【注意】（1）只有一個分母時，這個分母就是最簡公分母；（2）分母互為相反數(shù)時，每個分母都可作為最簡公分母；（3）若有能約分的分式，則應化簡后再找最簡公分母.【拓展延伸】（1）約分和通分的聯(lián)系：約分和通分都是依據(jù)分式的基本性質(zhì)對分式進行恒等變形，即每個分式變形之后都不改變原分式的值.（2）約分與通分的區(qū)別：①約分是針對一個分式來說的，約分可使分式變得簡單；②通分是針對兩個或兩個以上的分式來說的，通分可使異分母分式化為同分母分式.命題精練命題形式3分式的通分，約分1.（（2023·甘肅蘭州·中考真題）計算：（）A． B． C．5 D．a(chǎn)【答案】D解析：，故選：D．【題型解讀】本題考查了約分，掌握提公因式法分解因式是解題的關鍵，分子分解因式，再約分得到結果．2.下列約分正確的是（）A． B．C． D．【答案】C解析：A、，故本選項錯誤；B、，故本選項錯誤；C、，故本選項正確；D、，故本選項錯誤；故選：C．3.對分式約分的結果是（）A． B． C． D．【答案】B解析：，故選：B．【題型解讀】本題考查了分式的約分，先將分子利用完全平方公式變形，再約分即可得出答案．4.把分式通分時，這三個分式的分子分母依次乘、、．【答案】解析：分式，，的分母分別是，，，所以最簡公分母是，所以分式的分子分母乘的式子是：分式的分子分母乘的式子是：分式的分子分母乘的式子是：故答案為：，，【題型解讀】本題考查了通分，通分的關鍵是求出各個分式中分母的最簡公分母，通分的依據(jù)是分式的基本性質(zhì)．確定最簡公分母的方法：（1）取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)；（2）凡單獨出現(xiàn)的字母連同它的指數(shù)作為最簡公分母的一個因式；（3）同底數(shù)冪取次數(shù)最高的，得到的因式的積就是最簡公分母．根據(jù)確定最簡公分母的方法來確定出公分母，再用最簡公分母依次除以各分母即可得出這三個分式的分子分母依次乘以的式子．講解三：分式的運算一、分式的乘除和乘方類別法則表示乘法分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母除法分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘乘方分式的乘方要把分子、分母分別乘方注意負數(shù)的乘方規(guī)律，負數(shù)的偶次冪是正數(shù)，奇次冪是負數(shù)；在分子、分母分別乘方時，要注意正確運用積的乘方的運算法則【拓展延伸】根據(jù)分式乘法法則有：①分式與分式相乘時，如果分子和分母是多項式，那么先分解因式，再看能否約分，然后相乘；②整式與分式相乘時，可以直接把整式看成分母是1的代數(shù)式，再與分式相乘；③分式的乘法實際就是約分，所以計算結果如果能約分，必須約分，或通過分解因式后能約分的也要約分，必須把結果化為最簡分式或整式.二、分式的加減類別法則表示同分母分母不變，把分子相加減異分母先通分，變?yōu)橥帜傅姆质?，再加減分式的加減運算結果能約分的要約分，化為最簡分式或整式【注意】（1）一個分式與一個整式相加減時，可以把整式看成是分母為1的“分式”進行通分，這樣不易出錯.（2）當兩個分式的分母互為相反數(shù)時，應運用符號法則：等性質(zhì)變?yōu)橥帜傅姆质?（3）同分母分式相加減時，“把分子相加減”就是把各個分式的分子“整體”相加減，當分子為多項式時，應添加括號，避免出現(xiàn)符號錯誤.三、分式的混合運算分式混合運算順序與分數(shù)混合運算順序類似，先算乘方，再算乘除，最后算加減，有括號的先算括號里面的.【規(guī)律方法】（1）對于分式的混合運算，應先將除法運算轉化為乘法運算，異分母分式相加減轉化為同分母分式相加減.（2）在運算過程中，既要注意正確運用運算法則，又要靈活運用交換律、結合律、分配律，注意運算的技巧性.【注意】分式的混合運算的結果必須化為最簡分式或整式.四、分式的化簡求值分式通過運算化簡后，代入適當?shù)闹到鉀Q問題，注意代入的值要使分式有意義.【注意】分式的化簡求值這類題目，字母的自選代入值多會設“陷阱”，因此代入數(shù)值時千萬不可隨意代入，總的來說有以下兩類：1.當分式運算中不含除法運算時，字母的代入值應使分式的分母不等于0；2.當分式運算中含除法運算時，字母的代入值不僅應使分式的分母不等于0，還要使除式不等于0.命題精練命題形式4分式的運算1.（2023·廣東·中考真題）計算的結果為（）A. B． C． D．【答案】C解析：原式；故選C．2．（2024·河北·中考真題）已知A為整式，若計算的結果為，則（）A．x B．y C． D．【答案】A解析：∵的結果為，∴，∴，∴，故選：A．【題型解讀】本題考查了分式的加減運算，分式的通分，平方差公式，熟練掌握分式的加減運算法則是解題的關鍵．3.（2024·湖北·中考真題）計算：．【答案】1解析：．故選：1．【題型解讀】本題主要考查了分式的加減運算．直接按同分母分式加減運算法則計算即可．4.（2024·甘肅蘭州·中考真題）先化簡，再求值：，其中．解：原式；當時，原式．【題型解讀】本題考查分式的化簡求值，先通分計算括號內(nèi)，將除法變乘法，進行約分化簡后，再代值計算即可．5.（2024·江蘇蘇州·中考真題）先化簡，再求值：．其中．解：原式．當時，原式．【題型解讀】本題考查了分式的化簡求值，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．原式括號中兩項通分并利用同分母分式的加法法則計算，同時利用因式分解和除法法則變形，約分得到最簡結果，把x的值代入計算即可求出值．6.（2024·西藏·中考真題）先化簡，再求值：，請為m選擇一個合適的數(shù)代入求值．解：，∵，，∴