專題十一反比例函數(shù)（講義）——中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)備考合集考情分析命題點命題形式命題熱度命題特點反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)1.反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征☆本專題中選擇題和填空題多考查反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)及比例性質(zhì)k的幾何意義，解答題多考查反比例函數(shù)解析式的確定及利用反比例函數(shù)解決實際問題等，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合、分類談?wù)摰葦?shù)學(xué)思想2.反比例函數(shù)的增減性☆☆3.反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象共存☆☆4.反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象交點問題☆☆☆5.反比例函數(shù)解析式的確定☆6.反比例函數(shù)中比例系數(shù)k的幾何意義☆☆☆反比例函數(shù)的實際應(yīng)用7.反比例函數(shù)的實際應(yīng)用☆☆講解一：反比例函數(shù)及其圖象一、反比例函數(shù)的定義一般地，形如（k為常數(shù)，）的函數(shù)，叫做反比例函數(shù)，其中x是自變量，k是比例系數(shù).【注意】1.自變量x的取值范圍是不等于0的一切實數(shù).2.在反比例函數(shù)解析式中，分母是含x的單項式，如不是反比例函數(shù).3.反比例函數(shù)解析式的兩種變形式：①（為常數(shù)，）；②（為常數(shù)，）.4.反比例函數(shù)中，均不為0.【辨析】反比例關(guān)系與反比例函數(shù)的區(qū)別和聯(lián)系：（1）如果（為常數(shù)，），那么與這兩個量成反比例關(guān)系，這里和既可以代表單項式，也可以代表多項式.例如：若與反比例，則（為常數(shù)，）；若與成反比例，則（為常數(shù)，）.（2）成反比例關(guān)系不一定是反比例函數(shù)，但反比例函數(shù)中的兩個變量一定成反比例關(guān)系.如表示與成反比例，但不是關(guān)于的反比例函數(shù).二、反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)反比例函數(shù)的符號圖象圖象位置第一、第三象限第二、第四象限性質(zhì)增減性在同一支上，y隨x的增大而減小；在兩支上，第一象限y值大于第三象限y值在同一支上，y隨x的增大而增大；在兩支上，第二象限y值大于第四象限y值對稱性關(guān)于直線，成軸對稱；關(guān)于原點成中心對稱.【注意】1.因為反比例函數(shù)和反比例函數(shù)圖象都關(guān)于原點對稱，故在同一直角坐標系中，正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象若有交點，則兩個交點關(guān)于原點對稱2.反比例函數(shù)圖象無限接近坐標軸，但與坐標軸永不相交3.反比例函數(shù)的圖象不是連續(xù)的，其增減性只能在每個象限內(nèi)討論.命題精練命題形式1反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征1．（2024·重慶·中考真題）反比例函數(shù)的圖象一定經(jīng)過的點是（）A． B． C． D．【答案】B解析：當時，，圖象不經(jīng)過，故A不符合要求；當時，，圖象一定經(jīng)過，故B符合要求；當時，，圖象不經(jīng)過，故C不符合要求；當時，，圖象不經(jīng)過，故D不符合要求；故選：B．2．（2024·北京·中考真題）在平面直角坐標系中，若函數(shù)的圖象經(jīng)過點和，則的值是.【答案】0解析：∵函數(shù)的圖象經(jīng)過點和，∴有，∴，故答案為：0．【題型解讀】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，已知自變量求函數(shù)值，熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3.（2024·陜西·中考真題）已知點和點均在反比例函數(shù)的圖象上，若，則0.【答案】/小于解析：∵點和點均在反比例函數(shù)的圖象上，∴，，∵，∴，∴．故答案為：．4.（2024·云南·中考真題）已知點在反比例函數(shù)的圖象上，則.【答案】【思路點撥】本題考查反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，將點代入求值，即可解題．解析：點在反比例函數(shù)的圖象上，，故答案為：．命題形式2反比例函數(shù)的增減性1．（2023·山西·中考真題）已知都在反比例函數(shù)的圖象上，則a，b，c的大小關(guān)系用“”連接的結(jié)果為（）A． B． C． D．【答案】A【思路點撥】此題考查了反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，先求出反比例函數(shù)的圖象兩支分別位于第一、三象限，在每個象限內(nèi)y隨x的增大而減小，再進行判斷求解即可．解析：∵反比例函數(shù)，，∴反比例函數(shù)的圖象兩支分別位于第一、三象限，在每個象限內(nèi)y隨x的增大而減小，∵點都在第三象限，∵，∴，又∵在反比例函數(shù)的圖象上，∴，∴．故選：A．2．（2024·天津·中考真題）若點都在反比例函數(shù)的圖象上，則的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．【答案】B解析：，反比例函數(shù)的圖象分布在第一、三象限，在每一象限隨的增大而減小，點，都在反比例函數(shù)的圖象上，，．∵，在反比例函數(shù)的圖象上，∴，∴.故選：B．3.（2024·江蘇徐州·中考真題）若點、、都在反比例函數(shù)的圖象上，則a、b、c的大小關(guān)系為．【答案】【思路點撥】本題主要考查了比較反比例函數(shù)值的大小，判斷反比例函數(shù)的增減性，根據(jù)解析式得到反比例函數(shù)的函數(shù)圖象在二、四象限，且在每一象限內(nèi)y隨x的增大而增大，再根據(jù)三個點的橫坐標判斷A，B，C三點的位置，從而根據(jù)增減性判斷a，b，c的大小即可．解析：∵在反比例函數(shù)中，，∴反比例函數(shù)的函數(shù)圖象在二、四象限，且在每一象限內(nèi)y隨x的增大而增大，∵、、，∴A在第二象限，B，C在第四象限，∴，∵，∴，∴，故答案為：．4.（2024·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）若反比例函數(shù)，，當時，函數(shù)的最大值是，函數(shù)的最大值是，則.【答案】/解析：函數(shù)，當時，函數(shù)隨的增大而減小，最大值為，時，，，當時，函數(shù)隨的增大而減大，函數(shù)的最大值為，．故答案為：．命題形式3反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象共存1．（2023·湖北襄陽·中考真題）在同一平面直角坐標系中，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象可能是（）A． B．C． D．【答案】A解析：當時，反比例函數(shù)過一三象限，一次函數(shù)與y軸正半軸有交點，過一二三象限，故A正確，排除B；當時，反比例函數(shù)過二四象限，一次函數(shù)與y軸負半軸有交點，過二三四象限，排除C、D；故選：A．2．（2023·內(nèi)蒙古呼和浩特·中考真題）在同一直角坐標系中，函數(shù)與的大致圖象可能為（）A．B．C．D．【答案】D解析：①當時，，一次函數(shù)經(jīng)過第一、三、四象限，反比例函數(shù)經(jīng)過第二、四象限；②當時，，一次函數(shù)經(jīng)過第一、二、四象限，反比例函數(shù)經(jīng)過第一、三象限；故選：D．3.（2022·湖南·中考真題）在同一平面直角坐標系中，函數(shù)和的圖像大致是（）A． B．C． D．【答案】D解析：當時，一次函數(shù)經(jīng)過第一、二、三象限，反比例函數(shù)位于第一、三象限；當時，一次函數(shù)經(jīng)過第一、二、四象限，反比例函數(shù)位于第二、四象限；故選：D．【題型解讀】該題型主要考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握一次函數(shù)，當時，經(jīng)過一、三象限；當時，經(jīng)過二、四象限；反比例函數(shù)，當時，經(jīng)過一、三象限；當時，經(jīng)過二、四象限．命題形式4反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象交點問題1．（2024·湖北·中考真題）如圖，一次函數(shù)的圖象與x軸交于點，與反比例函數(shù)（k為常數(shù)，）的圖象在第一象限的部分交于點．(1)求m，n，k的值；(2)若C是反比例函數(shù)的圖象在第一象限部分上的點，且的面積小于的面積，直接寫出點C的橫坐標a的取值范圍．【思路點撥】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題，交點坐標滿足兩個函數(shù)解析式是關(guān)鍵．（1）把點坐標代入求出，得到直線解析式，再把點坐標代入直線解析式求出，把點坐標代入反比例函數(shù)解析式求出值即可；（2）根據(jù)題意，列出不等式，解答即可．解析：（1）把點坐標代入得：，解得，直線解析式為，把點坐標代入直線解析式得，解得，把點坐標代入反比例函數(shù)解析式得：，解得，（2）∵反比例函數(shù)解析式為，的面積小于的面積，，即，點在反比例函數(shù)圖象上，且在第一象限，，．2．（2024·江蘇常州·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)的圖像與反比例函數(shù)的圖像相交于點、．(1)求一次函數(shù)、反比例函數(shù)的表達式；(2)連接，求的面積．【答案】(1)，(2)解析：（1）∵一次函數(shù)的圖像與反比例函數(shù)的圖像相交于點、，∴，∴，∴反比例函數(shù)的解析式為：，，∴，解得：，∴一次函數(shù)的解析式為：；（2）設(shè)直線與軸交于點，∵，∴當時，，∴，∴的面積．3.（2024·湖北·中考真題）一次函數(shù)經(jīng)過點，交反比例函數(shù)于點．(1)求；(2)點在反比例函數(shù)第一象限的圖象上，若，直接寫出的橫坐標的取值范圍．【答案】(1)，，；(2)．【思路點撥】本題主要考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)的綜合，求反比例函數(shù)解析式，解題的關(guān)鍵是熟練掌握數(shù)形結(jié)合的思想．（1）利用一次函數(shù)經(jīng)過點，點，列式計算求得，，得到點，再利用待定系數(shù)法求解即可；（2）利用三角形面積公式求得，得到，據(jù)此求解即可．解析：（1）∵一次函數(shù)經(jīng)過點，點，∴，解得，∴點，∵反比例函數(shù)經(jīng)過點，∴.（2）解：∵點，點，∴，∴，，由題意得，∴，∴，∴的橫坐標的取值范圍為．4.（2024·四川·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，已知兩點在反比例函數(shù)的圖象上．(1)求k與m的值；(2)連接，并延長交反比例函數(shù)的圖象于點C．若一次函數(shù)的圖象經(jīng)過A，C兩點，求這個一次函數(shù)的解析式．【答案】(1)，(2)解析：（1）兩點在反比例函數(shù)的圖象上．∴，∴，將點代入得：，解得：；（2）∵連接，并延長交反比例函數(shù)的圖象于點C，∴，∵，設(shè)直線所在直線的解析式為，代入得：，解得：，∴．講解二：反比例函數(shù)解析式的確定用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式下表以過點確定反比例函數(shù)的解析式為例：步驟具體操作方法舉例①設(shè)設(shè)反比例函數(shù)的解析式設(shè)解析式為②代把點的坐標代入解析式代入坐標，得③解解方程，求出k的值解方程，得④定確定函數(shù)解析式故解析式為【提示】已知圖形面積時，優(yōu)先考慮利用的幾何意義求解析式.先由面積得到，再結(jié)合圖象所在象限判斷k的正負，從而求出解析式.命題精練命題形式5反比例函數(shù)解析式的確定1.（2024·重慶·中考真題）已知點在反比例函數(shù)的圖象上，則的值為（）A． B．3 C． D．6【答案】A解析：把代入，得．故選C．2.（2024·湖南·中考真題）在一定條件下，樂器中弦振動的頻率f與弦長l成反比例關(guān)系，即（k為常數(shù)．），若某樂器的弦長l為0.9米，振動頻率f為200赫茲，則k的值為．【答案】180解析：把，代入，得，解得，故答案為：180．3.（2023·山東青島·中考真題）反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則反比例函數(shù)的表達式為．【答案】解析：∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，∴，∴，∴反比例函數(shù)的表達式為．4.（2024·貴州·中考真題）已知點在反比例函數(shù)的圖象上．(1)求反比例函數(shù)的表達式；(2)點，，都在反比例函數(shù)的圖象上，比較a，b，c的大小，并說明理由．【答案】(1)(2)，理由見解析解析：（1）把代入，得，∴，∴反比例函數(shù)的表達式為；（2）∵，∴函數(shù)圖象位于第一、三象限，∵點，，都在反比例函數(shù)的圖象上，，∴，∴．講解三：反比例函數(shù)中比例系數(shù)k的幾何意義一、比例系數(shù)k的幾何意義（1）如圖，過反比例函數(shù)圖象上任一點分別作x軸、y軸的垂線PM,PN,與坐標軸圍成的矩形PMON的面積為定值，即.（2）如圖，過雙曲線上的任意一點作軸，垂足為，連接，則，即過雙曲線上的任意一點作一坐標軸的垂線，連接該點與原點，所得三角形的面積為.【注意】因為中有正、負之分，所以在上圖中矩形面積為，三角形的面積為，不要漏掉絕對值符號.二、與比例系數(shù)k有關(guān)的面積模型模型圖示面積一點一垂線一點兩垂線兩點一垂線兩點兩垂線兩雙曲線值符號相同兩雙曲線值符號相反一條雙曲線上有兩點命題精練命題形式6反比例函數(shù)中比例系數(shù)k的幾何意義1.（2024·江蘇蘇州·中考真題）如圖，點A為反比例函數(shù)圖象上的一點，連接，過點O作的垂線與反比例的圖象交于點B，則的值為（）A． B． C． D．【答案】A解析：過A作軸于C，過B作軸于D，∴，，，∵，∴，∴，∴，即，∴（負值舍去），故選：A．2.（2024·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）如圖，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過平行四邊形的頂點，在軸上，若點，，則實數(shù)的值為．【答案】解析：是平行四邊形縱坐標相同的縱坐標是在反比例函數(shù)圖象上將代入函數(shù)中，得到的縱坐標為即：解得：故答案為：．3.（2023·湖南·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，點在反比例函數(shù)為常數(shù)，，的圖象上，過點作軸的垂線，垂足為，連接．若的面積為，則.【答案】/解析：的面積為，所以．故答案為：．講解四：反比例函數(shù)的實際應(yīng)用1.實際問題建立反比例函數(shù)模型求解實際問題的解建立反比例函數(shù)模型求解審審清題意，找出題目中的常量、變量，并理清常量與變量之間的關(guān)系設(shè)根據(jù)常量與變量之間的關(guān)系，設(shè)出函數(shù)解析式，待定的系數(shù)用字母表示列由題目中的已知條件列出方程，求出待定系數(shù)寫寫出函數(shù)解析式，并注意解析式中變量的取值范圍解用反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)解決實際問題【注意】在應(yīng)用反比例函數(shù)解決實際問題時，自變量的取值范圍一般有兩個方面的限制：一是解析式本身的限制，二是實際問題的具體要求.2.求反比例函數(shù)解析式常用的兩種方法：（1）待定系數(shù)法：第一步設(shè)：設(shè)出反比例函數(shù)解析式；第二步找：找出圖象上一點的坐標；第三步代：將的坐標代入，求出的值；第四步定：寫出解析式.（2）幾何法：題中涉及面積時，考慮用k的幾何意義求解3.常見的反比例函數(shù)在實際生活中應(yīng)用的實例：類型關(guān)系公式路程型當路程一定時，時間與平均速度成反比例（是常數(shù)）面積型矩形當矩形面積一定時，長與寬成反比例（是常數(shù)）三角形當三角形面積一定時，三角形的一邊與該邊上的高成反比例（是常數(shù)）物理應(yīng)用型做功型當功一定時，力與物體在力的方向上移動的距離成反比例（是常數(shù)）壓強型當壓力一定時，壓強與受力面積成反比例（是常數(shù)）電流型在電路中，當電壓一定時，電流與電阻成反比例（是常數(shù)）命題精練命題形式7反比例函數(shù)的實際應(yīng)用1.（2024·河北·中考真題）節(jié)能環(huán)保已成為人們的共識．淇淇家計劃購買500度電，若平均每天用電x度，則能使用y天．下列說法錯誤的是（）A．若，則 B．若，則C．若x減小，則y也減小 D．若x減小一半，則y增大一倍【答案】C解析：∵淇淇家計劃購買500度電，平均每天用電x度，能使用y天．∴，∴，當時，，故A不符合題意；當時，，故B不符合題意；∵，，∴當x減小，則y增大，故C符合題意；若x減小一半，則y增大一倍，表述正確，故D不符合題意；故選：C．2.（2024·山西·中考真題）機器狗是一種模擬真實犬只形態(tài)和部分行為的機器裝置，其最快移動速度是載重后總質(zhì)量的反比例函數(shù)．已知一款機器狗載重后總質(zhì)量時，它的最快移動速度；當其載重后總質(zhì)量時，它的最快移動速度．【答案】4解析：設(shè)反比例函數(shù)解析式為，機器狗載重后總質(zhì)量時，它的最快移動速度，，反比例函數(shù)解析式為，當時，，當其載重后總質(zhì)量時，它的最快移動速度．故答案為：4．3.（2024·海南·中考真題）某型號蓄電池的電壓U（單位：V）為定值，使用蓄電池時，電流