2024-2025學(xué)年北京市海淀區(qū)高二上學(xué)期開(kāi)學(xué)摸底考數(shù)學(xué)學(xué)情檢測(cè)試題（一）一、選擇題，共10小題，每小題4分，共40分．1．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是，則的共軛復(fù)數(shù)（

）A． B．C． D．2．若，，則是（

）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角3．如圖，八面體的每個(gè)面都是正三角形，并且4個(gè)頂點(diǎn)A，B，C，D在同一平面內(nèi)，若四邊形是邊長(zhǎng)為2的正方形，則這個(gè)八面體的表面積為（

）A．8 B．16 C． D．4．在中，，，，則（

）A． B． C． D．5．在平面直角坐標(biāo)系中，已知，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．6．函數(shù)的部分圖象如圖所示，則其解析式為（

）A． B．C． D．7．已知函數(shù)，“存在，函數(shù)的圖象既關(guān)于直線對(duì)稱，又關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件8．已知，是兩條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是（

）A．若，，則 B．若，l//m，則C．若，，則 D．若，α//β，則9．在梯形中，，，，，，則與夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．10．如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為2，其中E，F(xiàn)，G，H，I，J，K分別為棱，，，，，，的中點(diǎn)，那么三棱柱與三棱柱在正方體內(nèi)部的公共部分的體積為（

）A． B． C． D．二、填空題，共5小題，每小題4分，共20分．11．已知純虛數(shù)z滿足，則z可以是．12．已知，則．13．有一個(gè)木制工藝品，其形狀是一個(gè)圓柱被挖去一個(gè)與其共底面的圓錐．已知圓柱的底面半徑為3，高為5，圓錐的高為4，則這個(gè)木質(zhì)工藝品的體積為；表面積為．14．在中，，則，．15．如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)是側(cè)面上（包括邊界）的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，給出下列四個(gè)結(jié)論：①任意點(diǎn)，都有；②存在點(diǎn)，使得平面；③存在無(wú)數(shù)組點(diǎn)和點(diǎn)，使得；④點(diǎn)到直線的距離最小值是．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是．三、解答題，共4小題，每小題10分，共40分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程．16．在中，分別是三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，．(1)求的大??；(2)若，且邊上的高是邊上的高的2倍，求及的面積．17．如圖，在長(zhǎng)方體中，，，為的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求證：平面平面；(3)求點(diǎn)到平面的距離．18．設(shè)函數(shù)．從下列三個(gè)條作中選擇兩個(gè)作為已知，使得函數(shù)存在．(1)求的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間；(2)若對(duì)于任意的，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍．條件①：函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)；條件②：在區(qū)間上單調(diào)遞增；條件③：足的一條對(duì)稱軸．19．設(shè)為正整數(shù)，集合．對(duì)于集合中的任意元素和，定義，，以及．(1)若，，，，求；(2)若，均為中的元素，且，，求的最大值；(3)若均為中的元素，其中，，且滿足，求的最小值．1．D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義先求出復(fù)數(shù)，然后利用共軛復(fù)數(shù)的定義計(jì)算.【詳解】在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，，由共軛復(fù)數(shù)的定義可知，.故選：D2．B根據(jù)，可判斷可能在的象限，根據(jù)，可判斷可能在的象限，綜合分析，即可得答案.【詳解】由，可得的終邊在第一象限或第二象限或與y軸正半軸重合，由，可得的終邊在第二象限或第四象限，因?yàn)椋瑫r(shí)成立，所以是第二象限角.故選：B3．C【分析】先計(jì)算出每個(gè)面的面積，再乘以8即為表面積；【詳解】每個(gè)面的面積為，所以該圖形的表面積為.故選：C4．C【分析】根據(jù)給定條件，利用正弦定理求解即得.【詳解】在中，由，，得，由正弦定理，得.故選：C5．A【分析】根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算及三角函數(shù)恒等變換化簡(jiǎn)，利用正弦函數(shù)的值域求解即可.【詳解】由題意，，又，所以，，所以.故選：A6．B【分析】根據(jù)函數(shù)圖象的最大值，以及對(duì)稱軸間點(diǎn)的距離，五點(diǎn)法，分別求解析式中的參數(shù)，即可求解.【詳解】由函數(shù)的最大值為2，可知，，，得，當(dāng)時(shí)，，，得，，因?yàn)?，所以，所以函?shù)的解析式為.故選：B7．B【分析】以為整體，結(jié)合正弦函數(shù)對(duì)稱性解得，進(jìn)而根據(jù)包含關(guān)系分析充分、必要條件.【詳解】若存在，函數(shù)的圖象既關(guān)于直線對(duì)稱，又關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，因?yàn)椋?，則，則，解得，又因?yàn)?,+∞是的真子集，所以“存在，函數(shù)的圖象既關(guān)于直線對(duì)稱，又關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱”是“”的必要不充分條件.故選：B.8．D【分析】根據(jù)線線，線面及面面位置關(guān)系判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】對(duì)于A:若,則可能，A錯(cuò)誤；對(duì)于B:若,則可能,B錯(cuò)誤；對(duì)于C:若則可能不垂直，C錯(cuò)誤；對(duì)于D:若,則,D正確.故選：D.9．D【分析】首先根據(jù)題干計(jì)算出相應(yīng)的邊長(zhǎng)，再根據(jù)余弦定理計(jì)算出，再計(jì)算，最后代入夾角公式即可.【詳解】設(shè)與交于，因?yàn)?，，，所以，，又因?yàn)?，，所以，，，，所以，，由余弦定理得，即，，即，，所?故選：D10．C【分析】先得出公共部分為四棱錐，然后結(jié)合棱錐的體積公式直接計(jì)算即可求解.【詳解】如圖所示，設(shè)交于點(diǎn)，由題意三棱柱與三棱柱在正方體內(nèi)部的公共部分為四棱錐，顯然四棱錐的高為，底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，故所求體積為.故選：C.11．（答案不唯一）【分析】由復(fù)數(shù)概念和復(fù)數(shù)的模即可求解.【詳解】為純虛數(shù)，設(shè)，，，解得或，即或.故（答案不唯一）12．##【分析】由二倍角公式以及誘導(dǎo)公式即可求解.【詳解】由余弦的二倍角公式可得,又，故13．【分析】根據(jù)圓柱和圓錐的體積公式求木質(zhì)工藝品的體積，根據(jù)圓柱、圓錐的側(cè)面積公式求木質(zhì)工藝品的表面積.【詳解】由題意可知：這個(gè)木質(zhì)工藝品的體積為；因?yàn)閳A錐的母線長(zhǎng)為所以這個(gè)木質(zhì)工藝品的表面積為.故；.14．12【分析】（1）根據(jù)數(shù)量積的定義求解即可；（2）利用向量的減法運(yùn)算化簡(jiǎn)，再由數(shù)量積的運(yùn)算法則求模即可.【詳解】由已知可得，.故12；15．①③④【分析】對(duì)于①：可證平面，即可得結(jié)果；對(duì)于②：可證平面，即可得結(jié)果；對(duì)于③：分析可知，結(jié)合平面性質(zhì)分析判斷；對(duì)于④：結(jié)合平面分析可知：當(dāng)平面時(shí)，點(diǎn)到直線的距離最小，結(jié)合長(zhǎng)度關(guān)系分析求解.【詳解】因?yàn)椤?，且，可知為平行四邊?對(duì)于①：因?yàn)闉檎叫?，則，又因?yàn)槠矫妫矫?，則，且，平面，可得平面，由平面，則，故①正確；對(duì)于②：由①可知：平面，由平面，則，同理可證：，且，平面，可得平面，又因?yàn)槠矫妫矫?，可知平面與平交，所以不存在點(diǎn)，使得平面，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③：若，則四點(diǎn)共面，即平面，又因?yàn)辄c(diǎn)側(cè)面，且側(cè)面平面，則，根據(jù)平面的性質(zhì)可知：對(duì)任意線段（不包括），均存在，使得，所以存在無(wú)數(shù)組點(diǎn)和點(diǎn)，使得，故③正確；對(duì)于④：由②可知：平面，由垂線性質(zhì)可知，當(dāng)平面時(shí)，點(diǎn)到直線的距離最小，又因?yàn)?，可知為正三棱錐，點(diǎn)為等邊的中心，此時(shí)點(diǎn)到直線的距離為，所以點(diǎn)到直線的距離最小值是，故④正確；故①③④.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對(duì)于空間中動(dòng)線問(wèn)題的研究，常常有拓展的思路，把線轉(zhuǎn)為面，研究線面問(wèn)題，有助于理解判斷.16．(1)(2)，【分析】（1）由正弦定理轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)，由二倍角的正弦公式化簡(jiǎn)即可得解；（2）由高的關(guān)系得出邊的關(guān)系，再由余弦定理求出，由面積公式求面積即可.【詳解】（1）由正弦定理可得，因?yàn)?，所?所以所以因?yàn)?，所以，，所以，所以，?（2）因?yàn)檫吷系母呤沁吷系母叩?倍，，所以由等面積法知，所以，所以，所以17．(1)證明見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析；(3).【分析】（1）令，由三角形中位線性質(zhì)，線面平行的判定推理即得.（2）利用線面垂直、面面垂直的判定推理即得.（3）過(guò)作于，由（2）的結(jié)論，結(jié)合面面垂直的性質(zhì)推理計(jì)算即得.【詳解】（1）在長(zhǎng)方體中，令，則為中點(diǎn)，連接，由為的中點(diǎn)，得，而平面，平面，所以平面.（2）由平面，平面，得，矩形中，，則矩形為正方形，，而平面，則平面，又平面，所以平面平面.（3）在中，過(guò)作于，由平面平面，平面平面，平面，因此平面，顯然，，在中，，所以點(diǎn)到平面的距離為.18．(1)，單調(diào)遞減區(qū)間為；(2)【分析】（1）利用輔助角公式化簡(jiǎn)，結(jié)合所選條件，利用周期與單調(diào)性求出，求函數(shù)解析式即可；（2）由的范圍求出的范圍，即可求出函數(shù)的值域，依題意．【詳解】（1）因?yàn)?，若選①②：由①函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則，，即，，由②在區(qū)間上單調(diào)遞增，有，即，又且，即，所以，此時(shí)不存在；選條件②③：由②在區(qū)間上單調(diào)遞增，有，即，又且，即，所以，由③是的一條對(duì)稱軸，則，，所以，，所以，所以，則的最小正周期，由，解得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為；若選①③：由①函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則，，即，，由③是的一條對(duì)稱軸，則，，所以，，此時(shí)不存在；（2）由（1）可知，因?yàn)?，所以，所以，，因?yàn)閷?duì)于任意的，都有，所以，即的取值范圍為．19．(1)(2)(3)【分析】（1）設(shè)，然后直接根據(jù)定義解得的值即可；（2）根據(jù)已知條件考慮中所有等于的分量的個(gè)數(shù)，得到，再對(duì)構(gòu)造符合條件的例子；（3）直接通過(guò)反證法說(shuō)明不可能成立，然后對(duì)構(gòu)造符合條件的例子.【詳解】（1）設(shè)，則由，，知.所以，得.而，故，從而.所以.（2）由已知有，，這些條件的含義是，都恰有個(gè)分量等于，且任意兩個(gè)不同向量沒(méi)有同時(shí)為的分量.由于，故一共只有個(gè)分量，這表明全體的所有分量中，至多有個(gè).而顯然一共有個(gè)，故，得.顯然，，滿足條件，此時(shí).這就說(shuō)明的最大值是.（3）由，，知，.而條件的含義是，在序列中，任意一對(duì)相鄰的向量都恰有個(gè)分量不相等.根據(jù)題目?jī)?nèi)容，已有.若，則，，且恰有個(gè)分量不相等，恰有個(gè)分量不相等.換言之，恰有個(gè)分量相等，恰有個(gè)分量相等.而，故一定存在，使得的第個(gè)分量不相等，的第個(gè)分量也不相等.這就表明的第個(gè)分量相等，但，，它們沒(méi)有相等的分量，矛盾；這就表明.注意到，，，滿足全部條件，此時(shí).所以的最小值是.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于對(duì)新定義的理解，以及構(gòu)造性地給出符合條件的例子.2024-2025學(xué)年北京市海淀區(qū)高二上學(xué)期開(kāi)學(xué)摸底考數(shù)學(xué)學(xué)情檢測(cè)試題（二）一?單選題：本題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位）的虛部是（

）A．1 B． C．2 D．2i2．已知，則與的夾角為（

）A． B．C． D．3．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A．， B．，C．， D．，4．已知，，則等于（

）A．－ B．C． D．－5．若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則ω的取值范圍是（

）A． B． C． D．6．在ΔABC中，角，，的對(duì)邊分別為，，，已知，ΔABC的面積為，且，則的值為A．4+2 B．4﹣2 C．1 D．17．若，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件8．為了解某地高三學(xué)生的期末語(yǔ)文考試成績(jī)，研究人員隨機(jī)抽取了100名學(xué)生對(duì)其進(jìn)行調(diào)查，根據(jù)所得數(shù)據(jù)制成如圖所示的頻率分布直方圖，已知不低于90分為及格，則這100名學(xué)生期末語(yǔ)文成績(jī)的及格率為（

）A．40% B．50% C．60% D．65%9．“，”是“”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件10．在中，，，已知點(diǎn)P滿足，且，則（

）A． B． C． D．二?填空題：本題共6小題，每小題6分，共36分.11．已知復(fù)數(shù)z滿足，，則的虛部為．12．在中，若，則的大小是．13．的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．若，則的面積為．14．如圖，在某個(gè)海域，一艘漁船以海里/時(shí)的速度，沿方位角為的方向航行，行至處發(fā)現(xiàn)一個(gè)小島在其東偏南方向，半小時(shí)后到達(dá)處，發(fā)現(xiàn)小島在其東北方向，則處離小島的距離為海里.

15．邊長(zhǎng)為2的等邊中，，，則的最小值為．16．如果存在函數(shù)（為常數(shù)），使得對(duì)函數(shù)定義域內(nèi)任意都有成立，那么稱為函數(shù)的一個(gè)“線性覆蓋函數(shù)”．給出如下四個(gè)結(jié)論：①函數(shù)存在“線性覆蓋函數(shù)”；②對(duì)于給定的函數(shù)，其“線性覆蓋函數(shù)”可能不存在，也可能有無(wú)數(shù)個(gè)；③為函數(shù)的一個(gè)“線性覆蓋函數(shù)”；④若為函數(shù)的一個(gè)“線性覆蓋函數(shù)”，則其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是三?解答題：本題共4小題，共分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.17．已知函數(shù)，且．(1)求a的值和的最小正周期；(2)求在上的單調(diào)遞增區(qū)間．18．已知A，B，C分別為三邊a，b，c所對(duì)的角，向量，，且．(1)求角C的大??；(2)若，且，求邊c的長(zhǎng)．19．在中；內(nèi)角所對(duì)的邊分別為.已知.(1)求角.(2)從以下三個(gè)條件中任選一個(gè)，求的面積.①邊上的中線；②；③角的平分線，點(diǎn)在線段上.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.20．對(duì)于函數(shù)，，若存在實(shí)數(shù)m，n，使得函數(shù)，則稱為，的“合成函數(shù)”．(1)已知，，試判斷是否為，的“合成函數(shù)”？若是，求實(shí)數(shù)的值；若不是，說(shuō)明理由；(2)已知，，為，的“合成函數(shù)”，且，，若關(guān)于x的方程在上有解，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；(3)已知，，為，的“合成函數(shù)”（其中，），的定義域?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值6．若對(duì)任意正實(shí)數(shù)，且，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)p的最大值．1．A【分析】利用復(fù)數(shù)的除法法則及復(fù)數(shù)的概念即可求解.【詳解】由題意可知，，所以復(fù)數(shù)的虛部為.故選：A.2．D【分析】分別求出與的數(shù)量積和模，代入夾角公式即得．【詳解】∵∴又∵與的夾角范圍為∴與的夾角為．故選：D3．A【分析】根據(jù)函數(shù)的最大值為2求出A，然后由間的距離求出周期，進(jìn)而求出，最后根據(jù)最值點(diǎn)求出.【詳解】根據(jù)函數(shù)的圖象，A=2，，所以，根據(jù)函數(shù)在處取得最大值可知，.故選：A.4．B【分析】根據(jù)余弦的二倍角公式，求解可得選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?，所以，又，所以，所?故選：B.本題考查余弦的二倍角公式，屬于基礎(chǔ)題.5．B【分析】求出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，根據(jù)求解范圍.【詳解】考慮函數(shù)函數(shù)，令，，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，解得，所以k=0，又，所以故選：B此題考查根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性求解參數(shù)的取值范圍，關(guān)鍵在于熟練掌握單調(diào)性的處理方法，準(zhǔn)確求解不等式組.6．D先根據(jù)三角形面積公式求得的值，利用正弦定理及題設(shè)中，可知的值，代入到余弦定理中求得．【詳解】解：由已知可得：，解得：，又，由正弦定理可得：，由余弦定理：，解得：，．故選：．本題主要考查了余弦定理和正弦定理的應(yīng)用，作為解三角形的常用定理，應(yīng)用熟練記憶這兩個(gè)定理及其變式，屬于基礎(chǔ)題．7．A【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)分析判斷.【詳解】由，得，所以，當(dāng)，且時(shí)，不成立，所以“”是“”的充分不必要條件，故選：A8．C【分析】利用直方圖求頻率即得.【詳解】依題意可得及格率為.故選：C.9．A【分析】由可解得或，即可判斷.【詳解】若，則，，即或，則可得“，”是“”的充分而不必要條件.故選：A.10．D【分析】利用余弦定理求出，求出，根據(jù)求解可得.【詳解】因?yàn)?，B∈0,π，所以，又，所以為等腰三角形，，由余弦定理得，因?yàn)?，所以，解?故選：D11．##【分析】設(shè)，根據(jù)復(fù)數(shù)的模的計(jì)算公式求出即可得解.【詳解】設(shè)，由，，得，解得，所以的虛部為.故答案為.12．【分析】由正弦定理可得，令，則、，再由余弦定理計(jì)算可得.【詳解】由正弦定理（為外接圓的半徑），又，所以，令，則、，所以，又B∈0,π，所以故13．【分析】根據(jù)題意，結(jié)合正余弦定理，求出和，結(jié)合面積公式，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，由，根據(jù)正弦定理得，在中，由余弦定理，得，因?yàn)?，，，所以，解得或（舍），故，因?故答案為.14．【分析】根據(jù)題意得，，，再利用正弦定理可得.【詳解】由題意及方位角可得，，，，因?yàn)闈O船以海里/時(shí)的速度航行，所以海里，由正弦定理可得，即，得海里，故答案為.15．．【分析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、分別為、軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)，利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算以及余弦函數(shù)的有界性可求得的最小值.【詳解】因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為的等邊三角形，且，則為的中點(diǎn)，故，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、分別為、軸的正方向建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，

則、、，設(shè)點(diǎn)，，，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因此，的最小值為.故答案為.16．②③【詳解】對(duì)①：由函數(shù)的圖象可知，不存在“線性覆蓋函數(shù)”故命題①錯(cuò)誤對(duì)②：如f（x）=sinx，則g（x）=B（B＜﹣1）就是“線性覆蓋函數(shù)”，且有無(wú)數(shù)個(gè)，再如①中的函數(shù)就沒(méi)有“線性覆蓋函數(shù)”，∴命題②正確；對(duì)③：設(shè)則當(dāng)時(shí)，在（0，1）單調(diào)遞增當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，即為函數(shù)的一個(gè)“線性覆蓋函數(shù)”；命題③正確對(duì)④，設(shè)，則，當(dāng)b=1時(shí)，也為函數(shù)的一個(gè)“線性覆蓋函數(shù)”，故命題④錯(cuò)誤故答案為②③17．(1)，；(2).【分析】（1）根據(jù)求出，然后利用三角恒等變換公式化簡(jiǎn)，由周期公式可得；（2）利用整體代入法求出的單調(diào)遞增區(qū)間，結(jié)合可得.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，即，解得，所以，所以的最小正周期?（2）由，解得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，所以在上的單調(diào)遞增區(qū)間為.18．(1)(2)【分析】（1）利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算及三角公式化簡(jiǎn)整理可得角C的大小；（2）將中的角化邊，再將用三角形的邊角表示出來(lái)，然后利用余弦定理求出邊c的長(zhǎng).【詳解】（1）由已知得．因?yàn)?，所以，所以．又，所以，，則所以．又，所以；（2）由已知及正弦定理得．因?yàn)椋?，所以．由余弦定理得，所以，所以，所以?9．(1)(2)答案見(jiàn)解析【分析】（1）先利用正弦定理化簡(jiǎn)得，可化簡(jiǎn)得到，再結(jié)合余弦定理即可求解；