曲線與方程1.

什么是曲線的方程和方程的曲線?曲線的方程應(yīng)滿足什么條件?2.

怎樣確定坐標(biāo)平面上的某點(diǎn)在不在給定的曲線上?學(xué)習(xí)要點(diǎn)xyo11-1l1l2-1

問題1.

圖中直線l1的方程是不是y=|x|?方程x+y=1(x>0)是不是直線l2的方程?(1)l1的方程不是y=|x|.因?yàn)榉匠痰慕庥行┎辉邳c(diǎn)(-1,1),(-2,2),….-2(2)方程x+y=1(x>0)表示2的直線不是l2.因?yàn)橹本€l2

上的點(diǎn)的坐標(biāo)直線l1上,有些不是方程的解,●●●●點(diǎn)(0,1),(-1,2),….如:如:

問題2.

圖中直線l

的方程是x+y+1=0嗎?方程(x-1)2+y2=1表示的曲線是圓C

嗎?(1)

直線

l

上任一點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程x+y+1=0的解,方程的任一解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在xyo11-1l-1C反之,直線l

上.所以l

的方程是x+y+1=0.(2)

圓

C

上任一點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程(x-1)2+y2=1的解,反之,方程(x-1)2+y2=1的任一解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在圓C

上.所以方程(x-1)2+y2=1表示的曲線是圓C.

一般地,在直角坐標(biāo)系中,如果某曲線C(看作點(diǎn)的集合或適合某種條件的點(diǎn)的軌跡)上的點(diǎn)與一個二元方程f(x,y)=0的實(shí)數(shù)解建立了如下的關(guān)系:

(1)曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個方程的解;(2)以這個方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn).那么,這個方程叫做曲線的方程;這條曲線叫做方程的曲線.

例1.

證明與兩條坐標(biāo)軸的距離的積是常數(shù)k(k>0)的點(diǎn)的軌跡方程是xy=±k.分析:要證滿足條件的點(diǎn)的軌跡方程是xy=±k,需證明兩條:(1)軌跡上的點(diǎn)的坐標(biāo)是方程的解;(2)方程的任一解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在軌跡上.

例1.

證明與兩條坐標(biāo)軸的距離的積是常數(shù)k(k>0)的點(diǎn)的軌跡方程是xy=±k.證明:(1)先證軌跡上的點(diǎn)的坐標(biāo)是方程的解.設(shè)軌跡上的任一點(diǎn)為M(x0,y0).因?yàn)辄c(diǎn)M(x0,y0)與兩條坐標(biāo)軸的距離的積是常數(shù)k(k>0),所以|x0|·|y0|=k,即得x0y0=±k,所以點(diǎn)M(x0,y0)是方程xy=±k

的解.(2)證方程的任一解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在軌跡上.設(shè)x=x1,y=y1

是方程的任一解,則有x1y1=±k,

例1.

證明與兩條坐標(biāo)軸的距離的積是常數(shù)k(k>0)的點(diǎn)的軌跡方程是xy=±k.證明:(1)先證軌跡上的點(diǎn)的坐標(biāo)是方程的解.設(shè)軌跡上的任一點(diǎn)為M(x0,y0).因?yàn)辄c(diǎn)M(x0,y0)與兩條坐標(biāo)軸的距離的積是常數(shù)k(k>0),所以|x0|·|y0|=k,即得x0y0=±k,所以點(diǎn)M(x0,y0)是方程xy=±k

的解.(2)證方程的任一解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在軌跡上.設(shè)x=x1,y=y1

是方程的任一解,則有x1y1=±k,于是得|x1|·|y1|=k.即以x1,y1

為坐標(biāo)的點(diǎn)M1(x1,y1)到兩坐標(biāo)軸的距離的積為常數(shù)k,點(diǎn)M1(x1,y1)在軌跡上.由(1)(2)知,與兩條坐標(biāo)軸的距離的積是常數(shù)k(k>0)的點(diǎn)的軌跡方程是xy=±k.練習(xí)(補(bǔ)充)

1.

證明圓心在坐標(biāo)原點(diǎn),半徑等于5的圓的方程是x2+y2=25,并判斷點(diǎn)M1(3,-4)、M2(2)是否在這個圓上.

2.求方程y=ax2+bx+c

的曲線經(jīng)過原點(diǎn)的充要條件.證明:(1)先證圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)是方程的解:設(shè)圓上一點(diǎn)M(x0,y0).∵圓心是原點(diǎn)O(0,0),半徑是5,∴|MO|=5,兩邊平方得x02+y02=25.即點(diǎn)M

的坐標(biāo)(x0,y0)是方程x2+y2=25的解.(2)證方程的任一解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在圓上:設(shè)(x,y)是方程的解,則得x

2+y

2=25,兩邊取算術(shù)平方根得

1.

證明圓心在坐標(biāo)原點(diǎn),半徑等于5的圓的方程是x2+y2=25,并判斷點(diǎn)M1(3,-4)、M2(2)是否在這個圓上.證明:(1)先證圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)是方程的解:設(shè)圓上一點(diǎn)M(x0,y0).∵圓心是原點(diǎn)O(0,0),半徑是5,∴|MO|=5,兩邊平方得x02+y02=25.即點(diǎn)M

的坐標(biāo)(x0,y0)是方程x2+y2=25的解.(2)證方程的任一解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在圓上:設(shè)(x,y)是方程的解,則得x

2+y

2=25,兩邊取算術(shù)平方根得

1.

證明圓心在坐標(biāo)原點(diǎn),半徑等于5的圓的方程是x2+y2=25,并判斷點(diǎn)M1(3,-4)、M2(2)是否在這個圓上.∴點(diǎn)(x

,y

)是圓上的點(diǎn).

由(1)、(2)知,x2+y2=25是圓心在原點(diǎn),半徑等于5的圓的方程.即點(diǎn)(x,y)到原點(diǎn)的距離等于5,將點(diǎn)M1(3,-4)與M2(2)的坐標(biāo)代入方程:32+(-4)2=25,≠25,得點(diǎn)M1

的坐標(biāo)滿足方程,點(diǎn)M2

的坐標(biāo)不滿足方程.∴點(diǎn)M1(3,-4)在圓上,點(diǎn)M2(2)不在圓上.解:(1)如果曲線經(jīng)過原點(diǎn),則原點(diǎn)坐標(biāo)滿足曲線0=a

0+b

0+c

c=0.(2)如果c=0,則方程為:y=ax2+bx,此時(0,0)是方程的解,即得曲線經(jīng)過原點(diǎn).

2.求方程y=ax2+bx+c

的曲線經(jīng)過原點(diǎn)的充要條件.方程,即得c=0是曲線經(jīng)過原點(diǎn)的必要條件.得c=0是曲線經(jīng)過原點(diǎn)的充分條件.∴

c=0是曲線經(jīng)過原點(diǎn)的充要條件.【課時小結(jié)】1.

曲線的方程

(1)曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個方程的解;(2)以這個方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn).

那么,這個方程叫做曲線的方程;這條曲線叫做方程的曲線.【課時小結(jié)】2.

判定曲線的方程(1)在曲線上任取一點(diǎn)M(x0,y0),按曲線所描述的特性寫出這點(diǎn)的坐標(biāo)x0,y0

所滿足的關(guān)系式,看是否是方程的解的形式f(x0,y0)=0.(2)任取方程的一解x=x1,y=y1,按這一解的關(guān)系f(x1,y1)=0所描述的點(diǎn)是否符合曲線的要求?

判斷某點(diǎn)是否在曲線上,將此點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程看是否滿足.練習(xí):(課本37頁)第1、2題.習(xí)題2.1A組第1題.1.

已知等腰三角形三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A(0,3),B(-2,0),C(2,0).中線AO(O為原點(diǎn))的方程是x=0嗎?為什么?xyo3-22ABC答:

不是.

方程x=0的有些解為坐標(biāo)的點(diǎn)不在這條線段上.∵△ABC的中線AO

是條線段,如(0,-1),如圖:(0,5)等.2.

已知方程ax2+by2=2的曲線經(jīng)過點(diǎn)A(0,)和點(diǎn)B(1,1),求a、b

的值.曲線經(jīng)過A、B

兩點(diǎn),A、B

兩點(diǎn)的坐標(biāo)解:于是得方程組就是方程的解,解這個方程組得習(xí)題2.1A組1.

點(diǎn)A(1,-2)、B(2,-3)、C(3,10)是否在方程

x2-xy+2y+1=0表示的曲線上?為什么?解:將點(diǎn)A(1,-2)的坐標(biāo)代入方程得1+2-4+1=0,點(diǎn)A(1,-2)的坐標(biāo)是方程的解.將點(diǎn)B(2,-3)的坐標(biāo)代入方程得4+6-6+1=5點(diǎn)B(2,-3)的坐標(biāo)不是方程的解,≠0,將點(diǎn)C(3,10)的坐標(biāo)代入方程得9-30+20+1=0,∴點(diǎn)A,C

在方程x2-xy+2y+1=0表示的曲線上,習(xí)題2.1A組1.

點(diǎn)A(1,-2)、B(2,-3)、C(3,10)是否在方程

x2-xy+2y+1=0表示