福州市2020屆高三畢業(yè)班適應(yīng)性練習(xí)卷

數(shù)學(xué)(理科)詳細(xì)解答及評分細(xì)則

評分說明：

i.本解答給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試

題的主要考查內(nèi)容比照評分標(biāo)準(zhǔn)制定相應(yīng)的評分細(xì)則。

2.對計(jì)算題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯誤時，如果后繼部分的解答未改變該題

的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的給分，但不得超過該部分正確解答應(yīng)給分

數(shù)的一半；如果后繼部分的解答有較嚴(yán)重的錯誤，就不再給分。

3.解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù)。

4.只給整數(shù)分?jǐn)?shù)。選擇題和填空題不給中間分。

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的.

7

1.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)Z對應(yīng)的點(diǎn)與1+i對應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對稱，則—=

i

A.-1-iB.-1+iC.1+iD.1-i

【命題意圖】本題主要考查復(fù)數(shù)的概念、運(yùn)算及其幾何意義等基礎(chǔ)知識，意在考查直

觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

【答案】A.

【解析】由題得2=1—i,所22±1二1=-1-1.故選A.

T~T~K

2.已知集合A={(尤,y)|2x+y=0},B={(x,y)|x+ay+l=0}.若4口2=0,則=

1「1

A.-2bRC._D.2

22

【命題意圖】本題主要考查集合的概念與運(yùn)算、解方程等基礎(chǔ)知識，意在考查邏輯推

理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

【答案】C.

【解析】因?yàn)锳nB=0,所以直線2x+y=o與直線尤+my+l=0平行，所以加三L

2

故選C.

3.已知兩個單位向量6,e2,若(q-2e?)_Le1,則?,e2的夾角為

2兀兀7171

A，3BCD

D.3c.4u.6

【命題意圖】本題主要考查平面向量的概念及運(yùn)算等基礎(chǔ)知識，意在考查邏輯推理，

數(shù)學(xué)運(yùn)算，直觀想象的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

【答案】B.

【解析】因?yàn)椋?-2e2），4,所以（％-Ze?>％=0,所以e:=2e??ei,

[71

所以cos〈"2）=一，又因?yàn)椋ㄍ猗樾⊥?所以｛4勺）=—，故選B.

23

4,一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為m,方差為n，將這組數(shù)據(jù)的每個數(shù)都乘以?（?>0）得到一組新

數(shù)據(jù)，則下列說法正確的是

.這組新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為mB.這組新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為。+機(jī)

A.

C.這組新數(shù)據(jù)的方差為mD.這組新數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為。訪

【命題意圖】本題主要考查統(tǒng)計(jì)和統(tǒng)計(jì)量的理解等基礎(chǔ)知識，意在考查數(shù)據(jù)分析等數(shù)

學(xué)核心素養(yǎng).

【答案】D.

【解析】由題意知：這組新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為mz,方差為a2n,標(biāo)準(zhǔn)差為。礪.故選D.

5.已知平面c八平面尸，直線mta,a^f3=l,貝I]“m人/”是“加入月”的

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【命題意圖】本題主要考查直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系及其相互轉(zhuǎn)化等基礎(chǔ)

知識，意在考查直觀想象、邏輯推理與數(shù)學(xué)抽象的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

【答案】C.

【解析】若根人/,則根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可得機(jī)"?；若H”0,則由/U/?,

可得相人/.故選C.

6.右a=,匕=log.e,c=-’則

A.a>b>cB.c>a>bC.a>c>bD.c>b>a

【命題意圖】本題主要考查指數(shù)、對數(shù)、暴的運(yùn)算及性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，意在考查邏輯

推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

【答案】B.

/1、―11

【解析】〃=(9卜=23>2°=1，c=[]'=e+>2>=a,所以l<a<c,

b=log(3e<lo、g33=1,故c>a>b.故選B.

7.若tann-a=3cos(a—7i),則cos2a二

bJ

v7777

A_1B._C.。或.D.—1或一

999

【命題意圖】本題主要考查三角恒等變換等基礎(chǔ)知識，意在考查邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算

的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

【答案】D.

sinJ匹一(Z]

【解析】由tanp-cLscosS-T^―——3cosc，所以上吧=-3cosc所

(2)cos7-?Isine

IJ

j7

以cosa=0或sina=-_，故cos2a=2cos?a-1=-1或cos2a=1-2sin2a三D.

39

8.拋物線C:^=2尤的焦點(diǎn)為E,點(diǎn)尸為C上的動點(diǎn)，點(diǎn)M為C的準(zhǔn)線上的動點(diǎn)，當(dāng)

△EPM為等邊三角形時，其周長為

A.JiB.2C.3jlD.6

【命題意圖】本題主要考查拋物線的概念與性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知

識，意在考查直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

【答案】D.

【解析】方法一、因?yàn)椤鱁PM為等邊三角形，所以PM垂/

直C的準(zhǔn)線于M,易知1PMi=4|。5，因?yàn)榇蝲=5,所?

以|=2,所以的周長為3x2=6,故選D.

方法二、因?yàn)闉榈冗吶切?，|?尸|=回|

2

(m、1m2

所以PM垂直。的準(zhǔn)線于M,設(shè)明，根則產(chǎn)以y=產(chǎn)

IFI

又因?yàn)閭€；oj,且所以1_+*b+lj+m2,解得蘇=3,所以

|?=2,所以的周長為3x2=6,故選D.

9.在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出三個函數(shù)/(無)=sin2x+cos2x,

g(x)=sin2x+,h(x)=cosx-'的部分圖象如圖所不，則

!5!!7I

A.a為f(x),b為g(x),c為h(x)B.a為h(x),b為/(x),c為g(x)

C.。為g(x),b為f(x),c為h(x)D.a為h(x),b為g(x),c為f(x)

【命題意圖】本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，意在考查邏輯推理、

直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

【答案】A.

【解析】/(無)=*1力2尤+-|,g(x),〃⑴的最大值分別為，1,1,由于圖象。

J(4)J2

的最大值最大，故。為；g(x),g)的最小正周期分別為兀,2兀，圖象b的最小

正周期比c小，故6為g。)，c為〃(x),故選A.

10.射線測厚技術(shù)原理公式為/=/e-。"，其中/,/分別為射線穿過被測物前后的強(qiáng)度，e

00

是自然對數(shù)的底數(shù)，f為被測物厚度，0為被測物的密度，〃是被測物對射線的吸收

系數(shù).工業(yè)上通常用銷241(241Am)低能/射線測量鋼板的厚度.若這種射線對鋼板

的半價層厚度為0.8,鋼的密度為7.6,則這種射線的吸收系數(shù)為

(注：半價層厚度是指將已知射線強(qiáng)度減弱為一半的某種物質(zhì)厚度，In2?0.6931,

結(jié)果精確到0.001)

A.0.110B.0.112C.0.114D.0.116

【命題意圖】本題主要考查函數(shù)的概念與性質(zhì)，在物理背景下考查學(xué)生的創(chuàng)新意識和

應(yīng)用意識，意在考查邏輯推理，數(shù)學(xué)運(yùn)算，數(shù)學(xué)建模的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

【答案】C.

【解析】依題意得」=丁76小。$,所以ln2=6.08〃，所以〃二m2,0.6931『0]]4,故

26.0860.8

選C.

C-X2-y2=>>x-2y=0A,B

11.已知雙曲線后戶1(。o,b0)的一條漸近線方程為，是C上關(guān)

于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，M是C上異于的動點(diǎn)，直線的斜率分別為《,白,若

1口眉口2,貝IJe的取值范圍為

A「11]R「11]「nr_l_n

?/A.?—,—I-D(I—,—IL?I-9-I-L**I------9-I

怙41忖21J481J24I

【命題意圖】本題主要考查雙曲線的概念與性質(zhì)、直線和雙曲線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知

識，意在考查邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

【答案】A.

【解析】?..雙曲線.戶R130,60)的一條漸近線方程為，.??

則雙曲線的方程為：二一1=1(6>0),

4Z?2/?

設(shè)A(x,y),M(x,y),則鞏t),所以I皿=4,

110011]22

Ab2b2

,￡.4+^OK4=^O)=OL±^O10L=^O.).I=GL±^O.1￡JL=I^O)

4b2愣*+xo)(xi-%o)'

即h左J,VID^D2,：.kJ'".故選A.

?2z12LHJ

12.在三棱錐P-ABC中，PA1JR?ABC,AB1AC,AB=6,AC=8,D是線段AC上一

點(diǎn)，且AD=3OC.三棱錐P-ABC的各個頂點(diǎn)都在球。表面上，過點(diǎn)。作球。的截

面，若所得截面圓的面積的最大值與最小值之差為16兀，則球。的表面積為

A.72兀B.86兀C.112KD.1287r

【命題意圖】本題主要考查直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系，球體與截面等基礎(chǔ)

知識，意在考查直觀想象、邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

【答案】C.

【解析】將三棱錐P-ABC補(bǔ)成直三棱柱，且三棱錐和該直

三棱柱的外接球都是球。，記三角形ABC的中心為。1,設(shè)

球的半徑為R,PA=2x,則球心。到平面ABC的距離為了,

即。。尸x,連接QA,則。3=5,解=/+25.

中，取AC的中點(diǎn)為E,連接。。,。石，則OE=/8=3,

1112

DE=；AC=2,所以。1D=屈.在Rt^OOQ中，0。=療K，由題意得到當(dāng)截

面與直線。。垂直時，截面面積最小，設(shè)此時截面圓的半徑為r,則

產(chǎn)=R2-=/+25-（x2+13）=12,

所以最小截面圓的面積為12兀，當(dāng)截面過球心時，截面面積最大為兀r2,所以

兀比_12兀=16兀，7?2=28，球的表面積為4兀爐=1127r.

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分.

13.曲線“X）=xsinx在點(diǎn)（兀,0）處的切線方程為.

【命題意圖】本題主要考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)和導(dǎo)數(shù)幾何意義等基礎(chǔ)知識，意在考查邏輯推

理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

【答案】nx+y-兀2=0.

【解析】因?yàn)槭▁）=sinx+xcosx,所以/''（兀）=sin7i+7rcos兀=-兀，

所以在點(diǎn)（兀,。）處的切線方程為y=-7t（x-兀），即兀x+y-7?=o.

14.勒洛三角形是具有類似圓的“定寬性”的曲線，它是由德國機(jī)械工程專家、機(jī)構(gòu)運(yùn)動

學(xué)家勒洛首先發(fā)現(xiàn)，其作法是：以等邊三角形每個頂點(diǎn)為圓心，

以邊長為半徑，在另兩個頂點(diǎn)間作一段弧，三段弧圍成的曲邊三

角形就是勒洛三角形.如圖中的兩個勒洛三角形，它們所對應(yīng)的

等邊三角形的邊長比為1:3,若從大的勒洛三角形中隨機(jī)取一點(diǎn)，

則此點(diǎn)取自小勒洛三角形內(nèi)的概率為.

【命題意圖】本題主要考查概率與幾何概型、平面幾何等基礎(chǔ)知識，考查閱讀能力與

應(yīng)用意識和創(chuàng)新能力，意在考查數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

1

【答案】「

9

【解析】設(shè)圖中的小的勒洛三角形所對應(yīng)的等邊三角形的邊長為則小勒洛三角形

的面積為S,=3x_____2x必/='―二一，因?yàn)榇笮蓚€勒洛三角形，它們所對

642

應(yīng)的等邊三角形的邊長比為1：3,所以大勒洛三角形的面積為

（兀_.）（3ay9（兀-廣

s==__.,若從大的勒洛三角形中隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自小

222

si

勒洛三角形內(nèi)的概率為p=」=_.

S29

15.已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為0,4c.若cosA（sinC-cosC）=cos8,

a=2,c=j2,則角C大小為.

【命題意圖】本題主要考查解三角形、三角恒等變換等基礎(chǔ)知識，意在考查邏輯推理、數(shù)學(xué)

運(yùn)算、直觀想象的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

兀

【答案】f

6

【解析】因?yàn)閏osA（sinC-cosC）=cosB,所以cosA（sinC-cosC）=-cos（A+C）,

所以cosAsinC=sinAsinC,所以sinC（cosA-sinA）=0,

因?yàn)镃￡（0,7i）,「.sinCwO,所以cosA=sinA,則tanA=l,所以A=_］,

4

又。=W,則sinC=）,因?yàn)閏<a,所以0<C<：,故C=）.

sinAsinC246

16.已知函數(shù)/（無+1）是定義在R上的偶函數(shù).也,々?1，+8）,且都有

（不一心）［/（右）一/（乙）1<0,則不等式了（一2，+1+1）</（5）的解集為.

【命題意圖】本題主要考查函數(shù)的概念與性質(zhì)及其應(yīng)用、解不等式等基礎(chǔ)知識，意在

考查邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算和直觀想象的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

【答案】（7,1）.

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)/（x+i）是定義在R上的偶函數(shù)，所以/（x+1）關(guān)于y軸對稱，

由>=/（無）向左平移1個單位得到/（X+1）,所以y=/（x）關(guān)于直線X=1對稱.

Vx,,x2G［1,+OO）,且占w/，都有（%-%）［/（%）-

所以y="x）在［1,+co）上單調(diào)遞增，所以y=/（x）在（-%1）上單調(diào)遞減，

因?yàn)?（一2再+1）</（5）,且/（5）=/（-3）,-27+1<1,

所以-2川+1>-3,所以2㈤<4，解得x<1,所以原不等式的解集為（一右1）.

三、解答題：本大題共6小題，共70分.

17.（本小題滿分12分）

已知數(shù)列｛。｝滿足a=2,na一(〃+1)〃=2〃(〃+1),設(shè)。="〃.

n1n+1nn

n

(1)求數(shù)列｛%"｝的通項(xiàng)公式；

(2)若c“=2%-w,求數(shù)列｛c,｝的前兀項(xiàng)和.

【命題意圖】本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列等基礎(chǔ)知識，意在考查邏輯推理、數(shù)

學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).滿分12分.

【解析】方法一：(1)因?yàn)?=且""-(?+l)a=2n(jt+1),

所以2+i="用一"=2，......................................................................................2分

n+1n

又因?yàn)閆?i=〃i=2,..........................................................................................................3分

所以｛為｝是以2為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列........................4分

所以4=2+2(〃-1)=2及..............................................6分

2nn

(2)由(1)及題設(shè)得，cn=2-n=4-n,........................................................7分

所以數(shù)列｛弓｝的前"項(xiàng)和$=(取-1)+(42-2)+…+(4"-

=(41+42+---+4")-(1+2+---+H)..........................9分

4-4nx4H(1+.)_________________________]]分

1-42

4〃+1/+〃4.....................................................12分

一^"-f-3

方法二：(1)因?yàn)椤?上，所以a=nb,

nnn

n

又因?yàn)閚an+i-(n+1)=In(n+1),

所以及+八+i+=2〃(〃+l),...................................................................1分

即a+1一a=2，...............................................................................................................3分

又因?yàn)?=〃i=2,..........................................................................................................3分

所以｛瓦｝是以2為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列........................4分

所以為=2+2(〃-1)=2〃............................................................................................6分

(2)略，同方法一.

18.(本小題滿分12分)

為抗擊新型冠狀病毒，普及防護(hù)知識，某校開展了“疫情

防護(hù)”網(wǎng)絡(luò)知識競賽活動.現(xiàn)從參加該活動的學(xué)生中隨機(jī)抽取

了100名學(xué)生，將他們的比賽成績(滿分為100分)分為6

組：[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],得到如圖

所示的頻率分布直方圖.

(1)求。的值，并估計(jì)這100名學(xué)生的平均成績(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中

點(diǎn)值為代表);

⑵在抽取的100名學(xué)生中，規(guī)定：比賽成績不低于80分為“優(yōu)秀”，比賽成績低于

80分為“非優(yōu)秀”.請將下面的2x2列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并判斷是否有99%的把握認(rèn)為“比賽

成績是否優(yōu)秀與性別有關(guān)”？

優(yōu)秀非優(yōu)秀合計(jì)

男生40

女生50

合計(jì)100

參考公式及數(shù)據(jù)：片=,n=a+b+c+d.

(〃+b)(c+d)(a+c)(/?+d)

P(K2Mj0.050.010.0050.001

k03.8416.6357.87910.828

【命題意圖】本題主要考查概率與統(tǒng)計(jì)等基礎(chǔ)知識，意在考查數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)抽象、

數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).滿分12分.

【解析】(1)由題可得(0.005+0.010+0.020+0.030+a+0.010)xl0=l,……2分

解得a=0.025........................................................3分

因?yàn)?5x0.05+55x0.1+65x0.2+75x0.3+85x0.25+95x0.1=74,

所以估計(jì)這100名學(xué)生的平均成績?yōu)?4..................................5分

(2)由(1)知，在抽取的100名學(xué)生中，比賽成績優(yōu)秀的有

100X(0.25+0.1)=100X0.35=35人，由此可得完整的2x2歹(J聯(lián)表：

優(yōu)秀非優(yōu)秀合計(jì)

男生104050

女生252550

合計(jì)3565100

......................................................................7分

100x(10x25-25x40/900

：K2的觀測值上==a9,890>6.635,...........10分

35x65x50x5091

???有99%的把握認(rèn)為“比賽成績是否優(yōu)秀與性別有關(guān)”.....................12分

19.(本小題滿分12分)

在底面為菱形的四棱柱ABCO-AbBCiA中，AB=AAX=2,AiB=A{D,ZBAD=60°,

ACC\BD=O,AO1平面AxBD.

(1)證明：BiC〃平面AtBO；

(2)求二面角的正弦值.

【命題意圖】本題主要考查直線與直線、直線與平面

的位置關(guān)系，二面角等基礎(chǔ)知識，意在考查直觀想象、邏

輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).滿分12分.

【解析】方法一：(1)依題意，A.BJIAB^ABIICD,

：.A}ByHCD,..........................................................1分

四邊形ASCD是平行四邊形，.........................................2分

BiC//AiD,..........................................................3分

B\C<Z平面A\BD,A\Du平面A\BD,

B\C//平面A\BD....................................................4分

（2）>AOJ_半rfriAiBD，??AO_LA\O>

,?*=且。為8。的中點(diǎn)，???ArOlBD，

AO,BDu平面ABCD且AOPl3。=O，

??A。J_平面ABCD，..................................................5分

以。為原點(diǎn)，分別以為無軸、y軸、z軸的正方向，建立如圖所示的空間

直角坐標(biāo)系。-町z，

貝IJA(耳,0,0)，B(0,1,0),0(0,-1,0),4(0,0/)，

A41=(-<0,l),AB=(-4Tl,0),AD=(-J3,-1,0),

設(shè)平面A|A8的法向量為〃=(x,y,z)，

+z=0n(1,3,3)

分

則I"A41取x=i,則=7

+y=0

[n±AB

設(shè)平面A]A￡>的法向量為m=（X"l，zJ，

卜產(chǎn)+z=。m(1,

取尤則=分

則F?黑，.?.〔-屈-y=。'=1,9

[n_LAD

一一m-n11

cos<m,n>=ITT-I=一尸=一......................................................................11分

m.n6X，7

設(shè)二面角8-44|-。的平面角為c,貝1Jsin（z=

二面角B-AA-￡>的正弦值為4/.......................................................................12分

方法二：（1）證明：連接A4交凡8于點(diǎn)。，

因?yàn)樗倪呅蜛4&4為平行四邊形，所以。為A4中點(diǎn),

又因?yàn)樗倪呅蜛BC。為菱形，所以。為AC中點(diǎn)，..........................2分

二在△ABC中，OQ//BC,^.OQ=_]BC，..................................................................3分

''21

,?*OQu平面A8D，用。（/平面48。，

8?！ㄆ矫?.....................................................4分

（2）略，同方法一.

20.（本小題滿分12分）

已知橢圓C:二+工=1（4>>>0）的離心率為寬，以C的短軸為直徑的圓與直線

cib23

1:3x+4y-5=0相切.

(1)求。的方程;

（2）直線y=x+相交C于,N（X2,y2）兩點(diǎn)，且為＞檢.己知/上存在點(diǎn)P,

使得APMN是以NPMN為頂角的等腰直角三角形，若P在直線MN的右下方，求m的值.

【命題意圖】本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與橢圓的位置關(guān)系，直線和圓的位

置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，意在考查的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是直觀想象、邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算.滿分12

分.

【解析】（1）依題意，61°407二1,....................................................................2分

V32+42

因?yàn)殡x心率e=°=,.-加=森,

aa3

所以2^^=理，解得。=相，........................................4分

a3

所以C的標(biāo)準(zhǔn)方程為=1.....................................................................................5分

（2）因?yàn)橹本€y=x+相的傾斜角為45。，且△PMV是以/PMN為頂角的等腰直角三

角形，尸在直線MN的右下方，

所以N尸〃x軸，........................................................6分

過M作NP的垂線，垂足為。，則。為線段NP的中點(diǎn)，

所以。（陽,丁2）,故尸（2xi—X2/2）,........................................................................................................7分

所以3（2處一%2）+4/一5=0,即3（2處一工2）+4（q+根）-5=0,

12

XX=-1),③.......................................................................................................10分

124

由①-②得，x=l-，n,?

12

將④代入②得％=T-機(jī)，⑤............................................11分

將④⑤代入③得””一「(%+1)=3(1)(m+1),解得m=-1.

7J4

綜上，加的值為—1.....................................................12分

21.(本小題滿分12分)

已知函數(shù)/(%)=IneX-ax,g(x)=X,

2x

(1)求函數(shù)/(x)的極值點(diǎn)；

(2)當(dāng)。〉0時,當(dāng)函數(shù)/i(x)=/(x)-g(x)恰有三個不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)Q的取值范圍.

【命題意圖】本題主要考查函數(shù)和導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用、函數(shù)零點(diǎn)等基礎(chǔ)知識，意在考查直

觀想象、邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).滿分12分.

【解析】(1)因?yàn)?(%)-〃羽所以/(x)、ln'-QX+1,

52

所以r(])=2x|一〃=1一〃=1(x>0),.................................i分

x2xx

當(dāng)〃口0時，-(x)>0,所以函數(shù)“X)無極值點(diǎn)；..........................2分

當(dāng)。>0時，令/(x)=0,解得x=l.

a

由「‘(X)>。,解得°<x<L油y'⑴<°,解得%>1.

[x>0a[x>0a

故函數(shù)/(x)有極大值點(diǎn)1,無極小值點(diǎn)..................................4分

a

綜上，當(dāng)°口0時，函數(shù)/(X)無極值點(diǎn)；

當(dāng)。>0吐函數(shù)/(x)有極大值點(diǎn)1,無極小值點(diǎn)...........................5分

a

(2)當(dāng)〃>0時,/?(x)=/(x)—g(尤)^lnX-ax+^a(x>0),

2x

所以，14。-ax2+x-4。

h(無)=x-a-^=(x>°)

設(shè)A(x)=-ar+尤-4a,則A=1-16a2,

fAU0i

①當(dāng)〈即a□，時,"(x)DO,所以/?(x)在(0,+8)單調(diào)遞減，

|tz>0A

所以不可能有三個不同的零點(diǎn)；.....6分

01

②當(dāng)即時，有兩個零點(diǎn)

17-16層1+d-16標(biāo)

ja>0<Q<一左（不）

04X]—%

2a2a

所以x>0,x>0.又因?yàn)?-ax1+x—4"開口向下,

12

當(dāng)0＜%〈再時，無（%）＜0,.\hr（x）＜0,所以〃（％）在（0,%i）上單調(diào)遞減；

當(dāng)王＜尤時"（X）＞0,「."（X）＞0,所以/z（X）在（2,％2）上單調(diào)遞增;

當(dāng)X〉馬時，%（x）＜。，「?"（X）＜0，所以"（X）在（％，+°°）上單調(diào)遞減............7分

因?yàn)?⑵=In1—2a+^a=0＞又xx=4，所以x＜2＜x，

1212

/z（M）＜/z（2）=0＜用（工2）....................................................8分

7⑴[114。-3

.h—In—ci,+=—In2—2In?！?4。,

2

l?J2a2a2Xa

“2

令m⑷=-In2-2Ing1+4〃，

a

jjlljf21212〃4-2〃+11-2a

相⑷T+/+12"一導(dǎo)>才>0

所以m(a)在'0,1、單調(diào)遞增,

I口

、m門、MY1門、

所以機(jī)(Q)<I=_In2_24n|彳|-.4|=31n2-4+<0，(鼠h\|<0.

由零點(diǎn)存在性定理知，〃(無)在區(qū)間/尤2":1上有唯一的一個零點(diǎn)期..........10分

I

h(x)+/z=In%°-ax,114、44a

v7++ln-\-a-+=0,

o|一IT。十12Al.4

弋(J0I0J0

X。

又7z(%)=0,所以j4]=0...............................................11分

44

所以0<_<x,所以/z(x)在區(qū)間(0,x)上有唯一的一個零點(diǎn)_,

%i1%

i4

故當(dāng)0<a<Ji,h（x）存在三個不同的零點(diǎn)一,2,X.

4%

故實(shí)數(shù)a的取值范圍是「0,11..........................................................................................12分

（二）選考題：共10分.請考生在第22,23兩題中任選一題作答.如果多做，則按所做

第一個題目計(jì)分，作答時請用2B鉛筆在答題卡上將所選題號后的方框涂黑.

22.（本小題滿分10分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

\x——3+t,

已知直角坐