高考塞指對(duì)三角函數(shù)比較大小10類題型

解題方法與技巧

目錄

一、十大題型精講

【題型一】臨界值比較：0、I臨界

【題型二】臨界值比較：選取適當(dāng)?shù)某?shù)臨界值（難點(diǎn)）

【題型三】差比法與商比法

【題型四】利用對(duì)數(shù)運(yùn)算分離常數(shù)比大小

【題型五】構(gòu)造函數(shù)：lnx/x型函數(shù)

【題型六】構(gòu)造函數(shù)綜合

【題型七】放縮（難點(diǎn)）

【題型八】函數(shù)奇偶性和單調(diào)性等綜合

【題型九】三角函數(shù)值比較大小

【題型十】數(shù)值逼近

二、最新模擬試題精練

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一、十大題型精講

【題型一】臨界值比較：0、1臨界

【典例分析】

1設(shè)a=log54,0=log[4,c=0.5s,則。也c的大小關(guān)系是（）

5

A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.c<a<b

【分析】

根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和對(duì)數(shù)的運(yùn)算可得到0<。<1,-1<Z?<O；根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得到C>1,

從而可得出答案.

【詳解】

g]^0=log5l<log54<log55=l,所以0<°<1；

因?yàn)榉?1以4=log5T4=4,所以

5

又c=0.542>0.5。=1,所以b<a<c.

故選：B.

【提分秘籍】

基本規(guī)律

因?yàn)槟恢笇?duì)函數(shù)的特殊性，往往比較大小，可以借助于臨界值0與1（或者-1）比較大小.

【變式演練】

_!_1

2.已知a=20222。212021,c=log2（）22丞五丁則小b），的大小關(guān)系為（）

A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.a>c>b

【分析】

利用指數(shù)函數(shù)及對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即得.

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【詳解】

2021

,**a_2022>2022°=1,°=^°§20221<b=log20222021<log20222022=1,

C=l°g2022202]<l°g20221=°，

a>h>c.

故選：A.

3.若。=2"',6=1082（）.3,。=（）.32,1=1080.32,則a,b,c,d的大小關(guān)系為（）

A.a<h<c<dB.d<b<c<aC.b<d<c<aD.d<c<b<a

【分析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；

【詳解】

解：20-3>20=1>0<0,32<0.3°=1，即a>l,0<c<l；

11,

因?yàn)?0821<1082。.3<1082]，所以log22-2<log2（）.3<log22T,即一2<1（出0.3<-1,即

,一111

-2<b<-\,又,所以一l<k）go32<——，即一1<4<—一，即a>c>d>6,

log?0.30-22

故選：C

9

4.a=log。70.8,b=log110.9,c=1.1°的大小關(guān)系是

A.c>a>bB.a>b>cC.b>c>aD.c>b>a

【詳解】

09

因?yàn)?<。=1080.7（）.8<1,/?=loglt0.9<0,c=l.l>1?所以c>a>h,故選A.

【方法點(diǎn)評(píng)】（1）比較兩個(gè)指數(shù)幕或?qū)?shù)值大小的方法：①分清是底數(shù)相同還是指數(shù)（真數(shù)）相

同；②利用指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性或圖像比較大??；③當(dāng)?shù)讛?shù)、指數(shù)（真數(shù)）均不相同時(shí)，可

通過中間量過渡處理；（2）多個(gè)指數(shù)哥或?qū)?shù)值比較大小時(shí)，可對(duì)它們先進(jìn)行0』分類，然后在

每一類中比較大小.

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【題型二】臨界值比較：選取適當(dāng)?shù)某?shù)臨界值（難點(diǎn)）

【典例分析】

5.已知4=6力=24,。=108，0，則。，b,c的大小關(guān)系為（）

A.a>c>bB,a>h>cC.h>a>cD.b>c>a

【分析】

首先求出/、b4,即可判斷。>人，再利用作差法判斷獷>（g）,即可得到/）>|,再判斷。,

即可得解；

【詳解】

由。一所以/=9,/=8，可知”>6,又由/一仁1=8--=—>0,有6>3，又

U-73,?！?6162

由e?<8,有e<2上=2晨可得log2e<5，即cc^,故有a>〃>c.

故選：B

【提分秘籍】

基本規(guī)律

尋找中間變量是屬于難點(diǎn)，可以適當(dāng)?shù)目偨Y(jié)積累規(guī)律

1.估算要比較大小的兩個(gè)值所在的大致區(qū)間

2.可以對(duì)區(qū)間使用二分法（或者利用指對(duì)轉(zhuǎn)化）尋找合適的中間值

【變式演練】

6.已知a=61n〃，b=3n\n2,c=4"In1.5,則q、b、c大小關(guān)系為（）

A.c<b<aB.c<a<bC.b<a<cD.b<c<a

【分析】

根據(jù)事函數(shù)卜=乂°（&>0）在（0,+8）上是增函數(shù),對(duì)數(shù)函數(shù)^=111》在（0,+8）上是增函數(shù)可得答案.

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【詳解】

a=61n%=In，/?=3;rln2=In2，",c=4^In1.5=In1.54;r,

因?yàn)?3k=8">1.5知=5.0625",所以匕=3%ln2>c=4%lnl.5,即6>c,

因?yàn)榱?=(任『>=.286.29⑸了,

6

/￡\/必、6/g\6_6

2凱=27<2T=V=(*)=(^256)，

\\J\J

(V286.29151)6>(V256)6.所以/$>23",所以a=61n萬>人=3乃ln2,即a>。，

所以CVb<Q.

故選：A.

7.已知a=log2,b=------—,c=0.7°\則a,b,c的大小關(guān)系為()

1嗚」°-7

A.a<c<bB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b

【分析】

利用0,g,0.7,1等中間值區(qū)分各個(gè)數(shù)值的大小.

【詳解】

log51<Iog52<log5#),?**0<a<g,

。.，

,-'b=bg。：0.7=kg70.1log0.70.1>log070.7,

Z.b>\,

0.71<0.703<0.7%故0.7<c<L

所以avcvA.

故選：A.

8.若a=0.5°6,V=0.6°s,c=k)g93,則a,瓦c的大小關(guān)系是()

A.a<h<cB.c<a<b

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C.c<b<aD.h<c<a

【分析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)和毫函數(shù)的單調(diào)性分別比較0.5°，6,0.5°S和0.5°3,0.6°5的大小，即可比較。力，再根據(jù)

c=log93=1,即可得出答案.

【詳解】

因?yàn)楹瘮?shù)y=0.5’是減函數(shù)，

所以0.5<0.5°6<0.5°5,

又函數(shù)丁=a5在（0,+8）上是增函數(shù)，

所以05°5<06°5,

所以0.5°E<0.6°5，即」<。<6,

2

,\1

c=叱93=晨

所以C<Q<b.

故選：B.

【題型三】差比法與商比法

【典例分析】

9.已知實(shí)數(shù)久權(quán)c滿足a=63,b=k>g,3+log64,5"+12”=13。，則大權(quán)c的關(guān)系是（）

A.b>a>cB.c>b>a

C.b>c>aD.c>a>b

【分析】

利用基函數(shù)的性質(zhì)知。<2,利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)及作差法可得〃-2>0,再構(gòu)造13:13J根據(jù)指

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數(shù)的性質(zhì)判斷其符號(hào)，即可知上C的大小.

【詳解】

a=63<83=2；

2log,3-(log,3-1)

。=1暇3+1%4=1幅3+「一b—2=巳：。-』>0,h>2；

1+log,3l+log23

13c=5"+12〃>52+12?=132,c>2；

13°-13&=5"+12"-13"=52?5b-2+122-12b-2-132-13b-2<5212b-2+122-126-2-13213b~2

=12*2(52+12?)-132?133=132(12h-2-13*2)<0,

b>c,

綜上，h>c>a.

故選：C

【提分秘籍】

基本規(guī)律

1.一般情況下，作差或者做商，可處理底數(shù)不一樣的的對(duì)數(shù)比大小

2.作差或者做商的難點(diǎn)在于后續(xù)變形處理，注意此處的常見技巧和方法解

【變式演練】

10.已知a=0.824,b=iog53,c=l0gti5,則()

A.a<b<cB.b<c<aC.c<h<aD.a<c<b

【分析】

應(yīng)用作商法，由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、基本不等式可得2=嗎*<期過坐匚可知仇。的大小，再

cIn2541n25

結(jié)合指對(duì)數(shù)的性質(zhì)可知。、c的大小.

【詳解】

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22

blog,3In31n8(In3+ln8)lnV24,nr1,

一=6=——j—<--------5--------=——;-<1,即8<C

22

clog85In541n25In5

Vc<l<a=0.8-04,

綜上，b<c<a.

故選：B

11.已知〃=5陛”4/=51％3.6,C=1，則

A.a>b>cB.b>a>cC.a>c>bD.c>a>b

【詳解】

因?yàn)閏=5幅與，又1。823.4>1/0843.6<1,

10Ig3.41g3-lg21g^

log23.4-log,—=----------------------t」

233Ig21g3

所以log23.4>log3y>1>log43.6,

即〃>c>b

12.己知3"=6〃=10,則2,abfa+b的大小關(guān)系是（）

A.ab<a+b<2B.ab<2<a+h

C.2<a+b<abD.2/<ab<a+h

【分析】

先將指數(shù)式化為對(duì)數(shù)式，再根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性以及運(yùn)算法則比較大小，確定選項(xiàng).

【詳解】

a=log310>log39=2,/?=Iog610>1,

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ah>2；

「a+b11Ti-ci

又----=—+—=lg3+lg6=Igl8>1

ahah

a+b>ab,.=a+/?>">2.故選：D.

【題型四】利用對(duì)數(shù)運(yùn)算分離常數(shù)比大小

【典例分析】

13.已知,"=10g4n7C,〃=10g4ee,2=，則機(jī)，〃，〃的大小關(guān)系是(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))

()

A.p<n<mB.m<n<pC.n<m<pD.n<p<m

【分析】

根據(jù)已知條件，應(yīng)用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、對(duì)數(shù)的換底公式，可比較“，〃，g的大小關(guān)系，再由指

-11

數(shù)的性質(zhì)有〃=e3>5,即知〃?，n,p的大小關(guān)系.

【詳解】

由題意得，H=10g4笠:g：-=]一]:g：

lg41lg4+lg/r1g4+1-g

]IgeIgelg4

n=loge==——----=1t----------,

4t,lg4e1g4+1ge1g4+1ge

Vlg4>IgTc>Ige>0,則Ig4+lg4>lg4+lg兀>lg4+lge,

...l__>1__lg4)]_lg4,

lg4+lg4lg4+lglg4+lge'

.IK411

..n<m<—,而p=e3=b>一,

2&2

.,.n<m<p.

故選：C.

【提分秘籍】

基本規(guī)律

這是對(duì)數(shù)值所獨(dú)有的技巧，類似于分式型的分離常數(shù)，借助此法可以把較復(fù)雜的數(shù)據(jù)，轉(zhuǎn)化為某

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一單調(diào)區(qū)間，或者某種具有單調(diào)性的形式，以利于比較大小

【變式演練】

14.log23,Iog812,1g15的大小關(guān)系為（）

A.Iog23<log812<lgl5B.Iog812<lgl5<log23

C.Iog23>log812>lgl5D.Igl5>log23>log812

【分析】

先把log23,log812,lgl5分別轉(zhuǎn)化為l0g23=l+昌萬，l°g812=l+￡^,Igl5=l+荻

222

利用>=1Og3X的單調(diào)性判斷出0<1Og32<l°g,8<1O§310,即可得到結(jié)論.

2222

【詳解】

log3=lo[2x|）=llog|=l-^（3、31

2g2+2+llog812=log8^x-J=l+log8rl+—

22

=i+ig3=i+―-—

lgl5=lg

2log,10-

因?yàn)榱薚°g廠在（0,+“）上為增函數(shù)，所以。<1電2<1受8<1電10,

所以1。823>108812>坨15.

故選：C.

b1

15.已知a>b>0,ab=l,x=—,y=\og2（a+b）,z=a+-,則log,（3x）,log,.（3y）,log=（3z）

的大小關(guān)系為（）

A.logv（3x）>logv（3y）>log2（3z）B.logv（3y）>log,（3%）>logz（3z）

C.log、（3x）>logz（3z）>logv（3y）D.log,（3y）>log2（3z）>logA（3x）

【分析】

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先化簡(jiǎn)log,(3幻=?式3幻=1+—,log,(3y)=1+,log-(3z)=1+,

log3xlog3xlog3ylog3z

再根據(jù)x,y,z的大小關(guān)系，利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得到其大小關(guān)系.

【詳解】

11

因?yàn)閘og、.(3%)=?'(*)=1+-—Jog、.(3y)=1+—-,logz(3z)=l+—^―,

log3xlog3xlog3ylog3z

函數(shù)y=丁匚在(o,i)和(i,位)上均單調(diào)遞減，

10g3X

b1

又?！礲〉O,〃b=l,所以。fnx=—,y=log2(6K+/?),z=tz+—,

所以0<x<g,y>l,z>2,即y>x,z>x,可知log,(3x)最小.

2a

^^-y=log2(cz+ZJ)=log,a+^,z=2?=log22=log24°,所以比較真數(shù)

a+J_與4"的大小關(guān)系.當(dāng)。>1時(shí)，。+_1<4",所以z>y>l,

aa

即1+7^—>1+1^一?綜上Jog、，(3y)>log：(3z)>log、.(3x).

log3ylog3Z

故選：D.

16.已知a=logal5,b=log440,2,=3,則（）

A.d>c>bB.c>d>bC.b>d>cD.a>b>c

【分析】

把c用對(duì)數(shù)表示，根據(jù)式子結(jié)構(gòu)，轉(zhuǎn)化為比較1%5、1。84工1。821的大小，分別與1和1?比較即可.

【詳解】

a=log315=log33+log35=1+log35,b=log440=log44+log410=1+log410,

3

由2'=3得，c=log23=1+log2—.

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因?yàn)?>3,10>4，T<2,所以Iog35>l>log23,log410>l>log2-,即a>c,b>c.

下面比較46的大小關(guān)系:

之3-3、

2

log35<log33=-（其中￥=36x5.2），

23

2

log410>log48=log44=-1,所以log35<log410

所以心a

所以

故選：C.

【點(diǎn)睛】指、對(duì)數(shù)比較大?。?/p>

（1）結(jié)構(gòu)相同的，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性比較大??；

（2）結(jié)構(gòu)不同的，尋找“中間橋梁”，通常與0、1比較.

【題型五】構(gòu)造函數(shù)：lnx/x型函數(shù)

【典例分析】

4—In41in2

17.設(shè)a=——，b」,。=乎，則a,b,。的大小關(guān)系為（）

e2e2

A.a<c<bB.c<a<bC.a<b<cD.b<a<c

【分析】

]n丫-

設(shè)=」,利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，利用對(duì)數(shù)化簡(jiǎn)a=7—e,h=/（e）,c=/（2）=/（4）,

xI2,

再根據(jù)單調(diào)性即可比較a，b,。的大小關(guān)系.

【詳解】

設(shè)小卜竽則小卜二^二審，

當(dāng)x?l,e）,r（x）>0,〃x）單調(diào)遞增，

第12頁共41頁

當(dāng)xe(e,+8),/,(x)<0,/(x)單調(diào)遞減,

3

2(lne2-In2)

i4-ln4_2_

因?yàn)椤?;—-)

e.

方=L叱=〃e),c=^="2),所以“〃e)最大,

ee2

2

又因?yàn)閏=/(2)=/(4),e<1p-<4,

所以〃=/yj>/(4)=c,所以/?>a>c,

故選：B.

【提分秘籍】

基本規(guī)律

學(xué)習(xí)和積累“構(gòu)造函數(shù)比大小”，要先從此處入手，通過這個(gè)函數(shù)，學(xué)習(xí)觀察，歸納，總結(jié)“同構(gòu)”

規(guī)律，還要進(jìn)一步總結(jié)“異構(gòu)”規(guī)律，為后續(xù)積累更復(fù)雜的“構(gòu)造函數(shù)”能力做訓(xùn)練.

【變式演練】

18.已知a=31n2",b=21n3",c=31n/,則下列選項(xiàng)正確的是

A.a>b>cB.c>a>bC.c>b>aD.h>c>a

【分析】

由旨=牛，;=竽?=皿,則c的大小比較可以轉(zhuǎn)化為牛，竽啊的大小比較.設(shè)

6萬26萬36萬723%

/(x)則/(x)=工竺，根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性，即可比較.

XX

【詳解】

a_ln2b_Inic_ln/r

67r267r36兀兀

V6TT>0,

???mAc的大小比較可以轉(zhuǎn)化為咚，中，”IHTI的大小比較.

237r

設(shè)/(x)=蛆

X

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則，(x)=上坐，

X

當(dāng)x=e時(shí)，f(x)=0,當(dāng)時(shí)，f(x)>0,當(dāng)OVxVe時(shí)，f(x)<0

工/(x)在(e,+8)上，f(x)單調(diào)遞減，

「eV3Vli<4

.Iri3、InTi、ln4ln2

??—>--->---=---,

3萬42

.\h>c>af

故選D.

19.以下四個(gè)數(shù)中，最大的是()

.八In兀厲In15

A.Inv3B.-C.---

e兀30

【分析】

令〃X)=雪，利用導(dǎo)數(shù)得到/(X)在(e,+o。)上遞減，求得ine(>ln3(〉lnU>ln/

>lnl5^>lnl5^f即可求解，得到答案?

【詳解】

由題意，令〃x)=岑，則/(力=寧，

所以x>e時(shí)，7(6<0,.?./(X)在(e,+8)上遞減，

又由0<3<乃<15,工/(e)>/(3)>f⑺>/(15),

mil11111巫

'Inee>ln33>ln^3>In乃">In1515>In1530'

E|J->InV3>In15，

en30

故選B.

【方法點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，以及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中利

用導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)/(x)=史」的單調(diào)性，再利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推

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理與運(yùn)算能力.

20.下列命題為真命題的個(gè)數(shù)是(

兀

①ln3<風(fēng)2；②km<③2屈<15;@3eln2<472

【分析】

本題首先可以構(gòu)造函數(shù)/(x)=—,然后通過導(dǎo)數(shù)計(jì)算出函數(shù)/(力=一的單調(diào)性以及最值，然

后通過對(duì)①②③④四組數(shù)字進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，通過函數(shù)/(x)=—的單調(diào)性即可比較出大小.

【詳解】

構(gòu)造函數(shù)/(x)=—,導(dǎo)數(shù)為r(x)=W竺，

當(dāng)0<x<e時(shí),/'(x)>0,“X)遞增，x>e時(shí),f\x)<0,/(%)遞減,

可得當(dāng)光=e時(shí)/(1)取得最大值1.

/〃3<6勿2=2/〃G〈瘋”20色’〈㈣，由百<2<e可得/(6)</(2),故①正確；

132

/〃萬<[02^<竽，由&<正<6,可得/(&)</(五)，故②錯(cuò)誤；

由/(16)</(15)可推導(dǎo)出卷<禁，即華<嗤，M2〈禁，所以呼<舞，可得

/(2)</(15),故③正確；

3e/〃2<40。媽<變<L由的最大值為L(zhǎng)故④正確，

82eee

綜上所述，故選C.

【方法點(diǎn)評(píng)】本題考查如何比較數(shù)的大小，當(dāng)兩個(gè)數(shù)無法直接通過運(yùn)算進(jìn)行大小比較時(shí)，如果兩

個(gè)數(shù)都可以轉(zhuǎn)化為某個(gè)函數(shù)上的兩個(gè)函數(shù)值，那么可以構(gòu)造函數(shù)，然后通過函數(shù)的單調(diào)性來判斷

兩個(gè)數(shù)的大小，考查函數(shù)思想，是難題.

第15頁共41頁

【題型六】構(gòu)造函數(shù)綜合

【典例分析】

21.已知實(shí)數(shù)a、b,滿足a=logs6+k)g3625,3"+4"=5"，則關(guān)于。下列判斷正確的是()

A.a</?<2B.b<a<2C.2<a<bD.2<b<a

【分析】

先根據(jù)a=logs6+*25判斷a接近2,進(jìn)一步對(duì)a進(jìn)行放縮,a>log56+log3625,進(jìn)而通過對(duì)

數(shù)運(yùn)算性質(zhì)和基本不等式可以判斷a>2；

根據(jù)6的結(jié)構(gòu)，構(gòu)造函數(shù)〃x)=(|)Ol”R,得出函數(shù)的單調(diào)性和零點(diǎn)，進(jìn)而得到岫

的大小關(guān)系，最后再判斷6和2的大小關(guān)系，最終得到答案.

【詳解】

2

a=log,6+log,625>log,6+log,625=log,6+log:5=log,6+log65=log,6+

log56

Wk.康=2

構(gòu)造函數(shù)：/(x)=-l,xeR,易知函數(shù)/(x)是R上的減函數(shù)，且/(2)=0,由a>2,

可知：/(a)=(|)+(1]-1<0"3"+4"<5",又3"+4"=5"，5"<5°,貝Ua>b.

又5'=3"+4">3?+4?=25=〃>2,/.a>b>2.

故選：D.

【方法點(diǎn)評(píng)】對(duì)數(shù)函數(shù)式比較大小通常借助中間量，除了0和1之外，其它的中間量需要根據(jù)題

目進(jìn)行分析，中間會(huì)用到指對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和放縮法；另外，構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)的單調(diào)性比較大

小是比較常用的一種方法，需要我們對(duì)式子的結(jié)構(gòu)進(jìn)行仔細(xì)分析，平常注意歸納總結(jié).

【提分秘籍】

基本規(guī)律

第16頁共41頁

構(gòu)造函數(shù)，.觀察總結(jié)“同構(gòu)”規(guī)律，許多時(shí)候，三個(gè)數(shù)比較大小，可能某一個(gè)數(shù)會(huì)被刻意的隱藏了

“同構(gòu)”規(guī)律，所以可以優(yōu)先從結(jié)構(gòu)最接近的兩個(gè)數(shù)規(guī)律.

【變式演練】

22.若2020、-2020V<202L-202「'(eR),則()

A.in(y-x+l)>0B,ln(^-x+l)<0

C.ln|x-^|>0D.ln|x-^|<0

【分析】

將不等式變?yōu)?020,-202L<2020y-2021^,根據(jù)/(x)=202()'-202廣的單調(diào)性知》<>,以此

去判斷各個(gè)選項(xiàng)中真數(shù)與1的大小關(guān)系，進(jìn)而得到結(jié)果.

【詳解】

由2020'-2020'<202-202rJ,可得2020'-2021T<2020、-202『，

令〃x)=2()2O'-202L,則〃力在R上單調(diào)遞增，且〃x)<2(y),

Qy-x>0,.-.y-x+l>l,.,.ln(^-x+l)>0,則A正確，B錯(cuò)誤；

Q|x-y|與1的大小不確定，故CD無法確定.

故選：A.

【方法點(diǎn)評(píng)】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查對(duì)數(shù)式的大小的判斷問題，解題關(guān)鍵是能夠通過構(gòu)造函數(shù)的

方式，利用函數(shù)的單調(diào)性得到X，)'的大小關(guān)系，考查了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想.

23.已知。+2"=2/+3''=2,則引ga與Hg。的大小關(guān)系是()

A.b\ga<a\gbB.b\ga-a\gb

C.b\ga>aigbD.不確定

【分析】

令/(x)=x+2*,g(x)=x+3，,結(jié)合題意可知0<匕<<1,進(jìn)而有Y>及>6",再利用對(duì)數(shù)函數(shù)的

第17頁共41頁

單調(diào)性和運(yùn)算性質(zhì)即可求解

【詳解】

令〃x)=x+2*,g(x)=x+3",

則當(dāng)x>0時(shí)，g(x)>/(x),當(dāng)％<0時(shí)，g(x)<，(x)；

由a+2"=2/+3〃=2,得/(a)=2,g0)=2

考慮到/(a)=g(0)=2得

:.ah>bh>ba

由得1g(叫>lg(b"),

即biga>algb

故選：C

24.已知a=61n%,b=3%ln2,c=4zrlnl.5,則a、b、c大小關(guān)系為()

A.c<b<aB.c<a<bC.b<a<cD.h<c<a

【分析】

根據(jù)幕函數(shù)y=￡(a>0)在(0,+。)上是增函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)y=lnx在(0,+。)上是增函數(shù)可得答案.

【詳解】

a-6ln/r=In,Z?=3^1n2=ln23/r,c=4^In1.5=In1.54;r,

因?yàn)?3%=8尸>1.5物=5.0625萬,所以b=3"ln2>c=4〃lnl.5,即〃〉c,

(V286.29151)6>(V256)6，所以乃‘>23%，所以a=61n?:>〃=3%ln2,即〃>/?,

所以c<b<。.故選：A.

【題型七】放縮(難點(diǎn))

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【典例分析】

25.若a=log23,Z?=log34,c=log45,貝］a、b、c的大小關(guān)系是（）

A.a<b<cB.b<c<a

C.b<a<cD.c<b<a

【分析】

根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得c>\,然后利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算化為同底并結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)

性，可比較出。的大小關(guān)系，分別與中間值;比較，得出。>仇c分別與中間值;

224

比較，得出>>2>c,綜合即可選出答案.

4

【詳解】

由題意，log23>log22=1,log34>log33=1,log45>log44=1,

即,c>\,

2

c=log45=log2,5=^log25=log25=log2石，

而a=log23>log,石，所以a>c>1,

33

a=log23>log22>/2=；,而b=log34<log33>/3=-,

3

a>—>b>\,

2

又，=log33^=log3,h=log34=log3,

而下>35,則log?舛>10g3療，即

4

同理，=log44=log4,C=log45=log4V?'

而45>5%貝hog&標(biāo)>log4痂，即:〉c,

35

綜上得：a>->b>->c>\,

24

所以c<h<a.

故選：D.

【方法點(diǎn)評(píng)】本題考查對(duì)數(shù)的大小比較，考查對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，與中間

第19頁共41頁

值1,I，1■比較，以及運(yùn)用公式勺。g'=log“肅=log〃版進(jìn)行化簡(jiǎn)是解題的關(guān)鍵，考查學(xué)

24n

生的化簡(jiǎn)運(yùn)算和推理能力.

【提分秘籍】

基本規(guī)律

1、對(duì)數(shù)，利用單調(diào)性，放縮底數(shù)，或者放縮真數(shù)

2、指數(shù)和幕函數(shù)結(jié)合來放縮。

3、利用均值不等式等不等關(guān)系放縮

【變式演練】

26.設(shè)a=log2019V^麗=log202o/^，c=2019^，則。也。的大小關(guān)系是（）

A.a>b>cB.a>c>b

C.c>a>bD.c>b>a

【分析】

分別求出。、AC的范圍，即可得到答案.

【詳解】

a=log20l9V2020=llog20l92020>^log20l92019=；,即;<a<1,

b=log2020^019=llog20202019<1log20202020=g,即b<g,

I

c=2O192mo>2019°=l-

所以C>Q>力.

故選：c

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27.設(shè)。=log43,b=log52,c=log85,則()

A.a<b<cB.b<c<a

C.h<a<cD.c<a<h

【分析】

12271Q25I

由。=log43="^￡>0=10885=^^比較。、C的大小，利用中間量k比較。、c,從而得解.

1g641g642

【詳解】

1g27lg25

。=啕3=畸c=log85=log^

1g64lg64

.■.log：>log：,即。>c,

2<V5,5>次，

c=log；>log『=T〃=log；<log；'5=；,

.,.log；>logs,即C>Z?,

，log；>log；>log；,即a>c>匕.

故答案選B.

28.已知口=2百，b=%,c=log,5,[=2后，則下列大小關(guān)系正確的為（）

A.c>a>d>bB.a>c>d>hC.a>d>c>hD.a>d>b>c

【分析】

利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行比較即可.

【詳解】

3

d=2^/^=2^<2*=a

第21頁共41頁

b=-=log22?-log2732>log2V25-log25=c

2

.\a>d>b>c,

故選：D

【題型八】函數(shù)奇偶性和單調(diào)性等綜合

【典例分析】

29.已知/(x)為R上的奇函數(shù)，g(x)=A/'(x),若g(x)在區(qū)間(-。,0)上單調(diào)遞減若a=g(21,

b=g(26)，c=g⑴，則a,h,c的大小關(guān)系為()

A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a

【分析】

判斷g(x)為偶函數(shù)，且在(o,+8)上為增函數(shù)，又2">26>1，根據(jù)單調(diào)性即可判斷?

【詳解】

<28(%)=獷(%)定義域?yàn)槲?/(x)為奇函數(shù)，

g(-X)=—MX—x)=-x[-/(x)]=xf(x)=g(x),所以g(x)為偶函數(shù)，

又g(x)在區(qū)間(-8,0)上單調(diào)遞減，故g(x)在(0,+8)上為增函數(shù)，

又2">2代>1，，g(2")>g(2G)>g(l),所以a>A>c,

故選：B.

【提分秘籍】

基本規(guī)律

1.對(duì)于抽象函數(shù)，可以借助中心對(duì)稱、軸對(duì)稱、周期等性質(zhì)來“去除f()外衣''比較大小；

2.有解析式函數(shù)，可以通過函數(shù)性質(zhì)或者求導(dǎo)等，尋找函數(shù)單調(diào)性對(duì)稱性，以用于比較大小.

【變式演練】

第22頁共41頁

30.己知函數(shù)/(x)=x-JT7,若a=/(3°2)]=/(0.23),c=/(logo23),則。也c的大小關(guān)系

是()

A.a>b>cB.b>a>c

C.c>a>hD.c>h>a

【分析】

3

根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性確定3°-2>0.2>log023,再由函數(shù)/(X)的單調(diào)性即可

求解.

【詳解】

3

因?yàn)?>3°-2>3°=1，0<0,2<0.2°=1,log023<log021=0,

所以3°2>023>logo.23

由〃x)=x-知，函數(shù)在(-8,3]上單調(diào)遞增，

所以a=/(3°2)"=/(0.23)>c=/(log(j23)

故選：A

31.已知函數(shù)滿足/(x)+/(r)=0,且當(dāng)工口―8,0)時(shí)，/(工)+礦(同<0成立，若

a=(2°6)./(2°6),0=(In2)"(In2),c=(log2-I-/Ilog2-I,則a,b,c的大小關(guān)系是

()

A.a>b>cB.c>b>aC.a>c>bD.c>a>h

【分析】

構(gòu)造函數(shù)g(x)=x?/(x),利用奇函數(shù)的定義得函數(shù)g(x)是偶函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)

性，結(jié)合In2<l<2°-6<-log2：,再利用單調(diào)性比較大小得結(jié)論.

O

第23頁共41頁

【詳解】

因?yàn)楹瘮?shù)“X)滿足/(x)+f(—x)=0,BP/(x)=-/(-x),且在R上是連續(xù)函數(shù)，所以函數(shù)“X)

是奇函數(shù)，

不妨令g(x)=x"(x)，則g(-X)=T"(-X)=X./(X)=g(X),所以g(x)是偶函數(shù),

則g(x)=/(x)+x-f(x),因?yàn)楫?dāng)X€(T?,0)時(shí)，/(x)+礦(x)<0成立，

所以g(尤)在xe(y),0)上單調(diào)遞減，

又因?yàn)間(x)在R上是連續(xù)函數(shù)，且是偶函數(shù)，所以g(x)在(0，+8)上單調(diào)遞增，

則a=g(2°6),b=1g(ln2),c=gflog21j=(gf-log2^'j,

因?yàn)?0-6〉1，0<ln2<l,

所以In2<l<2°6<—log2：,所以c>a>力，

o

故選：D.

32.已知〃x)=〃2—x),xeR,當(dāng)x?L+8)時(shí)，〃x)為增函數(shù).設(shè)。=/(1),b=f(2),

c=/(T)，則。、b、。的大小關(guān)系是()

A.a>b>cB.b>a>c

C.c>a>bD.c>b>a

【分析】

分析得出/(-1)=/⑶，利用函數(shù)“X)在［1,4W)上的單調(diào)性可得出。、b、C的大小關(guān)系.

【詳解】

/(力=/(2-力，.-../(-1)=/(3).當(dāng)時(shí)，“X)為增函數(shù)，

所以,/(3)>/(2)>/(1),因此，c>b>a.

故選：D.

第24頁共41頁

【題型九】三角函數(shù)值比較大小

【典例分析】

317

33.三個(gè)數(shù)co1>—,sin—,sin^的大小關(guān)系是（）

31.73.7.1

A.cos—>sin—>sin—B.cos—>sin—>sin

210424To

c3.1.7、.73.i

C.cos—<sin—<sin—D.sin—>cos—>sin—

21044210

【分析】

誘導(dǎo)公式化余弦為正弦，然后由正弦函數(shù)的單調(diào)性比較大小.

【詳解】

7.(7、

sin—=sin7t——

4I4j

V---?0.07,—=0.1,

22104

.￡>7r_Z>￡_3>0,

2422

又?.?y=sinx在上是增函數(shù),

317

/.cos—<sin—<sin—.

2104

故選：C.

【提分秘籍】

基本規(guī)律

1.三角函數(shù)值比大小，主要是利用周期性，把角化到一個(gè)單調(diào)區(qū)間里

2.利用正余弦的有界性和正負(fù)值，結(jié)合函數(shù)性質(zhì)，比較大小.

【變式演練】

44343

34.已知a=sin—力=-sin—,c=-cos—，則a,己c的大小關(guān)系為()

53434

A.a<h<cB.b<c<aC.a<c<bD.b<a<c

第25頁共41頁

【分析】

根據(jù)sin:<sin/=cos3<cos;比較。，c的大小關(guān)系，構(gòu)造函數(shù)/(x)=L』-sinx,xe］』］比較

4444Xy

a,b的大小關(guān)系，即可得解.

【詳解】

1.71.3.71713

—=sm—<sin—<sin—=cos—<cos—,所以,

264444

1-r「3、

構(gòu)造函數(shù)〃x)=-J?sinx,x￡-,1I,

,、ii_r-sinx+(x-x2)cosx

fr(x)=——-sinx+------cosx=--------------------------

x7xx

sinx>sin—>—,所以一sinx<——,

422

,3、33

必有0<x-x2〈京，cosx<1,所以(x-f)cosx〈立

所以-sinx+(x-f)cosx<0,

2

口門i1_v—sinx+(x-x)cosx

即廣(x)=——sinx+------cosx=-------工--------<0

v7x2xx2

1_r「3、

所以/(1)=------sinx,xe單調(diào)遞減，

ucI，⑶1.41.3

所以/匕1，產(chǎn)二寸,

,44.3

即sin—<—sin—,

534

所以4<Z?<C

故選：A

【點(diǎn)睛】此題考查比較三角函數(shù)值的大小，常利用中間值比較，或構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)單調(diào)性比較