數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)專題練習(xí)題（及答案）

一、單選題

1.

設(shè)/（X）是可導(dǎo)函數(shù)，且lim/（J2AX）/（1）=2,則/，（]）=（）

goM

A.LB.-1C.0D.-2

2

2.關(guān)于乂的不等式以＞。1（穌-0）-。恒成立的一個(gè)必要不充分條件是（）

A.ae（-e2,0）B.ae（0,e2）

C.ae（0,e）

3.已知實(shí)數(shù)Q，b,c滿足Q<2,alna-21n2=fl-2,bvgblnb-泥Tn0=b-血,

c>L,clnc-J_lnl=c-L則（）

2222

A.c<b<aB.b<c<a

C.a<c<bD.a<b<c

4f（x）-xsinx+cosxf'TT~

.已知函數(shù)，則,（巴）（）

2

A.0B.1C.D.-

?2

函數(shù)/（x）=

5.X3-3X在區(qū)間（-2,m）上有最大值,則m的取值范圍是（）

（-1,73）

B.（-1,31

A.

C.（-1,句D.（-1,2]

6.函數(shù)y-/（X）的圖象如圖所示，/'G）是函數(shù)/（X）的導(dǎo)函數(shù)，則下列數(shù)值排序正確的是

A.2/f（4）＜2//（2）＜/（4）-/（2）

B.2/,（2）＜/（4）-/（2）＜2/（4）

C.2/1（2）＜2/'（4）＜/（4）-/（2）

D./（4）-/（2）＜2r（4）＜2/,（2）

7.下列各式中正確的是（）

A.（in2/=lB.G）=3X

2

C.若f（x）=L則C，（3）=-2D.（logx）=Hn2

2721

8.函數(shù)/（x）的定義域?yàn)殚_(kāi)區(qū)間Q?）,導(dǎo)函數(shù)/x在（。/）內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù)

/（x）在開(kāi)區(qū)間（〃，〃）內(nèi)有極小值點(diǎn)（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

9.已知函數(shù)/（J=t+4+x+l在（e,0）,（3,+8）上單調(diào)遞增，在（1,2）上單調(diào)遞

32

減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）

1051B.（-oo,-2]

10.若函數(shù)尸的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間w〃上是減函數(shù)，則函數(shù)尸/Q）在區(qū)間〃，方上的

圖象可能是（）.

11.函數(shù)/Q）=k—2入+芻在（0,+8）上的最小值為（）.

A.2B.3C.4D.5

12.若關(guān)于K?的不等式ex+sinxN（l-/）*+l在[O,#C）上恒成立，則實(shí)數(shù)"的取值范圍為

（）

A.t-e,+oo）B.t-1,+oo）

C.「-7

D.[-2,+8）

UI

13.如圖，算函數(shù)y=/G）的部分圖象

且關(guān)于直線x=2對(duì)稱，則（)

,r（i）=r（3）＜r（2）

A.r(i)<r(2)</(3)B.

c.r(i)>r(2)>/<3)r（i）=r（3）＞/（2）

D.

14.函數(shù)f（x）=2/'（1）x+xlnx在x=l處的切線方程為（）

A.y=2x-2B.y=2x+\C.y=-x-\D.y=x-\

15.如圖為宜昌市至喜長(zhǎng)江大橋，其纜索兩端固定在兩側(cè)索塔頂部，中間形成的平面曲線

稱為懸鏈線.當(dāng)微積分尚未出現(xiàn)時(shí)，伽利略猜測(cè)這種形狀是拋物線，直到1691年萊布尼茲

A

和伯努利借助微積分推導(dǎo)出懸鏈線的方程片…e代乩其中c為參數(shù).當(dāng)c=l時(shí)，函

2-1）

數(shù)cosh（x）=3+e7稱為雙曲余弦函數(shù)，與之對(duì)應(yīng)的函數(shù)?描（。=⑦-€7稱為雙曲正弦函

數(shù).關(guān)于雙曲函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（)

A.[sinh(x)]2-[cosh(x)]2=IB.(cosh(x))'=-sinh(x)

C.cosh(-!)>cosh(2)D.sinh(-x)=-sinh(x)

二、填空題

16.已知函數(shù)/（x）=?＞（））的定義域?yàn)椋?,+8）,若x=l時(shí)，f（x）取得最小

"nx

值，則”L+二工的取值范圍是

+2+2-----------------

17.寫出一個(gè)同時(shí)具有性質(zhì)①②的函數(shù)/（*）=.（/（。不是常值函數(shù)），

①r（x）為偶函數(shù)；②（（x+兀）=r（x）.

18.已知函數(shù)〃M的導(dǎo)函數(shù)為八X),且滿足/晨)=2M(1)十Inx,則/'(1)=------

/(2+Ax)-/(2-A.X-)

19-設(shè)lim----------------------------二-2,則曲線/(X)在點(diǎn)(2，/⑵)處切線的斜率為

A7Ax

20.已知函數(shù)/(。的定義域?yàn)镽,圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，其導(dǎo)函數(shù)為/'Q),若當(dāng)”>0時(shí)

/(x)+xlnx-/(x)<0,則不等式4卜/(x)>4/(x)的解集為.

三、解答題

21.已知函數(shù)/(x)=<7Inx+x2-(r/4-?.)x?其中〃wR.

⑴討論函數(shù)/(M的單調(diào)性；

(2)若函數(shù)/(M的導(dǎo)函數(shù)/⑺在區(qū)間(19上存在零點(diǎn)，證明：當(dāng)X￡(l,e)時(shí)，f(x)>-e2.

22.已知函數(shù)f(X)=&

X

⑴填寫函數(shù)/(.、)的相關(guān)性質(zhì):

八2定義域值域零點(diǎn)極值點(diǎn)聿調(diào)性

性質(zhì)

(2)通過(guò)(1)繪制出函數(shù)/(*)的圖像，并討論In乂=心方程解的個(gè)數(shù).

23.已知函數(shù)/(*)=e、cR.

(1)若〃=L,求函數(shù)/(J的極小值.

2

。存在X』2,31，使得_/Q)K0成立，求實(shí)數(shù)〃的取值范圍.

o0

24.已知函數(shù)=-S+(Z>—1)A-+1

a

⑴當(dāng)〃〃時(shí)，求曲線(在點(diǎn)

=L,=-ij=/D(0,f(0))處的切線方程;

4

(2)當(dāng)〃=1時(shí)，/(.x)N2恒成立，求b的值.

25.2020年9月22日，中國(guó)政府在第七十五屆聯(lián)合國(guó)大會(huì)上提出：“中國(guó)將提高國(guó)家自主

貢獻(xiàn)力度，采取更加有力的政策和措施，二氧化碳排放力爭(zhēng)于2030年前達(dá)到峰值，努力爭(zhēng)取

2060年前實(shí)現(xiàn)碳中和.”為了進(jìn)一步了解普通大眾對(duì)“碳中刃”及相關(guān)舉措的認(rèn)識(shí)，某機(jī)構(gòu)進(jìn)行

了一次問(wèn)卷調(diào)杳，部分結(jié)果如下：

小學(xué)初高大學(xué)及大學(xué)以60歲以下的社60歲及以上的

生中生上在校生會(huì)人士社會(huì)人士

不了解"碳中和''及

4030805570

相關(guān)措施

了解"碳中和'’及相208015019085

關(guān)措施

⑴根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2x2列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表，判斷是否有95%的把握認(rèn)為“是

否了解‘碳中和'及相關(guān)措旅”與“學(xué)生”身份有關(guān)？

學(xué)生比會(huì)人士合計(jì)

不了解"碳中和'’及相關(guān)措施

了解"碳中和'’及相關(guān)措施

合計(jì)

〃(Qd-兒)

：K(a+27)(c+dXa+c)(b+d)

PVK2>k)

0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

⑵經(jīng)調(diào)查后，有關(guān)部門決定加大力度宣傳“碳中和”及相關(guān)措施以便讓節(jié)能減排的想法深入

人心.經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后，計(jì)劃先隨機(jī)從社會(huì)上選10人進(jìn)行調(diào)查，再根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果決定后續(xù)的

相關(guān)舉措.設(shè)宣傳后不了解“碳中和”的人概率都為P（。每個(gè)被調(diào)查的人之間相互

獨(dú)立.

①記10人中恰有3人不了解"碳中和"的概率為/（p）,求/（P）的最大值點(diǎn)P；

0

②現(xiàn)對(duì)以上的10人進(jìn)行有獎(jiǎng)答題，以①中確定的P0作為答錯(cuò)的概率P的值.已知回答正

確給價(jià)值。元的禮品，回答錯(cuò)誤給價(jià)值b元的禮品，要準(zhǔn)備的禮品大致為多少元？（用

a,b表示即可）

【參考答案】

一、單選題

1.B

2.D

3.D

4.A

5.D

6.B

7.C

8.A

9.A

10.A

11.C

12.B

13.C

14.C

15.D

二、填空題

16.「上+二

IJJ

17.Jsin2x（答案不唯一）

2

18.-i

19.t

20.（^-l）u（0,l）

三、解答題

21.(1)答案不唯一，具體見(jiàn)解析

⑵證明見(jiàn)解析

【解析】

【分析】

(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論a的范圍，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

即可；

(2)根據(jù)導(dǎo)函數(shù)在(1〉上存在零點(diǎn)，則/'3)=0在(1〉上有解，則有即

2

x2

2<〃<2e,得到函數(shù)/(M的最小值，構(gòu)造函數(shù)幺3)=乂皿乂一一一(1+M2)乂，2<x<2e,

4

利用導(dǎo)數(shù)判斷出其單調(diào)性，結(jié)合不等式傳遞性可證.

(1)

函數(shù)/(*)的定義域是(0，—)，/3)二2*—(〃+2)=(2、-〃)仃T),

XX

①同時(shí)，2x-a>0,令/'(必>0,解得：x>l,令/'(x)<0,

解得：0<x<l,故/(*)在(0,1)遞減，在(L*o)遞增；

②0<〃<2時(shí)，令/'3)>0,解得：*>1或0vx<2,

2

令f\x)<0?解得：vxv1,

2

故/⑶在遞增，遞減，在(l，x°)遞增:

③Q=2時(shí)，f'(x詡，/(X)在Q”)遞增；

④。＞2時(shí)，令/'(x)＞0，解得：*?"或0＜乂＜1,

2

令m＜o(jì),解得：1vx1,

2

故/(x)在(0,1)遞增，在卜.：遞減，在，，+/遞增;

綜上：詢時(shí)，/(x)邢0,?遞減,在(4+8轡增，

減0,6遞增,在巴。遞減,

0VQ＜2時(shí)，/(x)；遞增,在(：,+8)遞增;

22

。=2時(shí)，/(X)在(0,+8)遞增；

。＞2時(shí)，/(X)在(0,1)遞增，在、,6遞減，在‘0,+8、遞增;

I2)I2)

⑵

因?yàn)閒\x)=上+以一(a+2)=(2X-G(XT),

XX

又因?yàn)閷?dǎo)函數(shù)r(x)在(1,e)上存在零點(diǎn)，所以,(x)=0在(l,e)上有解,

則有l(wèi)<f<e,即2<Q<2e,

2

且當(dāng)1<xv士時(shí)，Hx)<0,/(x)單調(diào)遞減，

2

當(dāng)fvx<e時(shí)，r(x)>0,/(x)單調(diào)遞增，所以

2

/(X)溝(9=Qln-+-(a+2)=aIna---(1+In2)a,

x2

設(shè)g(x)=xlnx——-(l+ln2)x,2<x<2e,則

4

XX11

g'(x)=lnx+1___(1+In2)=Inx=一In2,貝Ug'(x)j=_r<0,

22x2

所以g'(x)在(2,2c)上單調(diào)遞減，所以g(x)在(2,2c)上單調(diào)遞減，

則g(2e)=2e/〃2e-e2-2e(1+In2)=-ez<g(2),

所以9G)>-e2,則根據(jù)不等式的傳遞性可得，

當(dāng)xe(l,e)時(shí)，/G)>-e2.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用導(dǎo)數(shù)表示曲線上某點(diǎn)處的斜率，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用以

及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，屬于難題.

22.(1)詳見(jiàn)解析

⑵詳見(jiàn)解析

【解析】

【分析】

(1)利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的性質(zhì)；

(2)由函數(shù)性質(zhì)繪制函數(shù)的圖象，并將方程轉(zhuǎn)化為〃=上二即轉(zhuǎn)化為J=〃與)=吧’的

XX

交點(diǎn)個(gè)數(shù).(1)

函數(shù)/Q)=Ex的定義域是(。，內(nèi))，

當(dāng)0<x<e時(shí)，/x0,函數(shù)單調(diào)遞增，

當(dāng)乂>。時(shí)，/J函數(shù)單調(diào)遞減，

所以當(dāng)x=e/,函激取得極大值，同時(shí)也是函數(shù)的最大值，

當(dāng)》->()時(shí)，/(乂)——8,當(dāng)xf”時(shí)，/Q)f0,

函數(shù)的值域是'-SJL

Iei

/G)=lnx=0,得x=l,所以函數(shù)的零點(diǎn)是x=1,

13定義域-----單調(diào)性

點(diǎn)

(0,e)

（il

-00,,1單倜或I普區(qū)間，單倜

（0,+co）x=e

性質(zhì)X=1()

k:」遞減區(qū)間e+8

(2)

函數(shù)/3)的圖象如圖,

lnx=^,g|J^=—,方程解的個(gè)數(shù)，即J=〃與產(chǎn)』1”的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，

XX

當(dāng)〃>5寸，無(wú)交點(diǎn)，即方程lnx=〃x無(wú)實(shí)數(shù)根；

e

當(dāng)。=1■或“WO時(shí)，有一個(gè)交點(diǎn)，即方程In、=公有一個(gè)實(shí)數(shù)根；

當(dāng)〃1(),f時(shí)，有兩個(gè)交點(diǎn)，即方程坨乜=心有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.

23.(1)1；

「C2、

⑵夕古巧.

【解析】

【分析】

(1)利用導(dǎo)數(shù)求/(、)的單調(diào)性，即可求極值.

(2)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在“/2,3］上2c(曰)，再應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求式。=上的最小值，即可求〃

Xminx

的范圍.

⑴

當(dāng)〃=!_?寸/(x)=e、-x,則/'(x)=e、T,令/x=o,得乂=0

2

乂>0時(shí)/x>0,函數(shù)fQ)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+8),

x<0時(shí)/A-<0,函數(shù)/Q)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-叫0)；

所以函數(shù)/(D的極小值為/(())=eO-()=1.

⑵

由題設(shè)，在”/2,3］上2心(匚),

Xmin

設(shè)￡(")=12.，則/(')='"，顯然當(dāng)Xe［2,3］時(shí)gx>0恒成立，

XX2

所以g(x)在［2,3】單調(diào)遞增,則心)=￡(2)=￡，

mm2

e2C2「e2)

綜上，2aN——naN—，故〃同了葉口

24L4)

24.(山=2?I5

(2)。=0

【解析】

【分析】

(1)利用切點(diǎn)和斜率求得切線方程.

(2)由?/Q)N2恒成立構(gòu)造函數(shù)g(Q=/Q)-2,對(duì)方進(jìn)行分類討論，結(jié)合g(x)研究

￡(、)的最小值，由此求得〃的值.

(1)

1

當(dāng)。=一，匕=-1時(shí)，/(x)=4ex-2x+l,則f'(x)=4ex-2

4

又因?yàn)?(0)=5,/(0)=2

所以曲線y=/(x)在點(diǎn)(o,f(0))處的切線方程為y-5=2(x-o),

即y=2x+5.

⑵

當(dāng)Q=1時(shí)，令函數(shù)g(x)=/(x)-2=ex+(b-l)x-l,

則/G)>2恒成立等價(jià)于gG)>。恒成

立.又g(x)=ex+b-1,.

當(dāng)bNl時(shí),g(x)=e^+b-l>0,,g(x)在R上單調(diào)遞增，顯然不合題意；

當(dāng)bvl時(shí)，令夕(x)=ex+<0,,得x<ln(l-b).令g(x)=仃+bT>0,得

x>In(l-b),

所以函數(shù)g(x)在(-8]n(l-b))上單調(diào)遞減，在(ln(l-b),+8)上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)x=ln(l-b)時(shí)，函數(shù)g(x)取得最小值.

又因?yàn)?(0)=0,所以x=0為g(x)的最小值

點(diǎn).所以ln(?b)=0,解得b=().

25.(1)列聯(lián)表見(jiàn)解析，沒(méi)有95%的把握認(rèn)為“是否了解，破中和，及相關(guān)措施”與“學(xué)生〃身份有

關(guān)；

(2)①