高中數(shù)學(xué)高三總復(fù)習(xí)教案講義

數(shù)列專題

知識清單

1.數(shù)列的概念

(1)數(shù)列定義：按一定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列；

數(shù)列中的每個數(shù)都叫這個數(shù)列的項。記作4,在數(shù)列第一個位置的項叫

第1項(或首項)，在第二個位置的叫第2項，……，序號為〃的項叫

第〃項(也叫通項)記作4；

數(shù)列的一般形式：％,a2,a”...,an,....,簡記作｛a,,｝。

(2)通項公式的定義：如果數(shù)列0｝的第n項與n之間的關(guān)系可以用

一個公式表示，那么這個公式就叫這個數(shù)列的通項公式。

例如，數(shù)列①的通項公式是％=n(/7<7,”eM),

數(shù)列②的通項公式是%=-(〃eN+)。

n

說明：

①｛叫表示數(shù)列，凡表示數(shù)列中的第九項，a,=/(〃)表示數(shù)列的通項公式；

②同一個數(shù)列的通項公式的形式不一定唯一。例如，a.=(-1)"=

=③不是每個數(shù)列都有通項公式。例如，1,1.4,1.41,

+l,n=2k

1.414,……

(3)數(shù)列的函數(shù)特征與圖象表示：

序號：123456

項：456789

上面每一項序號與這一項的對應(yīng)關(guān)系可看成是一個序號集合到另一個

數(shù)集的映射。從函數(shù)觀點看，數(shù)列實質(zhì)上是定義域為正整數(shù)集M（或它

的有限子集）的函數(shù)/（〃）當(dāng)自變量〃從1開始依次取值時對應(yīng)的一系列

函數(shù)值/⑴J⑵"⑶,，/（〃），通常用凡來代替“〃），其圖象是

一群孤立點。

（4）數(shù)列分類：①按數(shù)列項數(shù)是有限還是無限分：有窮數(shù)列和無窮數(shù)

列；②按數(shù)列項與項之間的大小關(guān)系分：單調(diào)數(shù)列（遞增數(shù)列、遞減數(shù)

列）、常數(shù)列和擺動數(shù)列。

（5）遞推公式定義：如果已知數(shù)列｛叫的第1項（或前幾項），且任一

項氏與它的前一項a,1（或前幾項）間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那

么這個公式就叫做這個數(shù)列的遞推公式。

數(shù)列3J的前〃項和s“與通項冊的關(guān)系：4=|s_s（〃22）

課前預(yù)習(xí)

1.根據(jù)數(shù)列前4項，寫出它的通項公式：

（1）1,3,5,7……；

zx22-132-142-152-1

⑵o『丁丁『

（3）」，-L,」，-Lo

1*22*33*44*5

2.數(shù)列｛4｝中，已知%=士『（〃€乂），

著按圖中箭頭所示方向在x軸、y軸及其平行方向上運動，且每秒移

動一個單位長度。

（1）設(shè)粒子從原點到達點/斗G時，所經(jīng)過的時間分別為

%、b“、c”,試寫出｛““｝、｛b,J、｛c“｝的通相公式；

（2）求粒子從原點運動到點P（16,44）時所需的時間；

（3）粒子從原點開始運動，求經(jīng)過2004秒后，它所處的坐標(biāo)。

4.（1）已知數(shù)列｛4｝適合：%+產(chǎn)含，寫出前五項并寫出其通項

公式；

（2）用上面的數(shù)列｛叫，通過等式%構(gòu)造新數(shù)列出｝,寫出"，

并寫出出｝的前5項。

5.設(shè)平面內(nèi)有〃條直線（〃23）,其中有且僅有兩條直線互相平行，任意

三條直線不過同一點.若用/伽）表示這〃條直線交點的個數(shù)，則/（4）

=；當(dāng)〃>4時，/（〃）=_（用〃表示）o

6.在某報《自測健康狀況》的報道中，自測血壓結(jié)果與相應(yīng)年齡的統(tǒng)

計數(shù)據(jù)如下表.觀察表中數(shù)據(jù)的特點，用適當(dāng)?shù)臄?shù)填入表中空白（）

內(nèi)。

年齡（歲）3035404SS05s6065

收縮壓（水銀柱毫米）110115120125130135（一）145

舒張壓（水銀柱毫米）70737S788083（一）88

等差數(shù)列

知識清單

1、等差數(shù)列定義：一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前

一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做

等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示。用遞推公式表示為

2一%t=”(〃22)或an+]-an=N1)。

2、等差數(shù)列的通項公式：an=al+(n-T)d;

說明：等差數(shù)列(通?？煞Q為AP數(shù)列)的單調(diào)性：d>0為遞增數(shù)列，

d=0為常數(shù)列，d<0為遞減數(shù)列。

3、等差中項的概念：

定義：如果a,A,6成等差數(shù)列，那么4叫做。與。的等差中項。其中

4=叱A,力成等差數(shù)列

22

4、等差數(shù)列的前〃和的求和公式：s“=吆3=叫+皿心〃。

22

5、等差數(shù)列的性質(zhì)：

(1)在等差數(shù)列｛%｝中，從第2項起，每一項是它相鄰二項的等差中

項；

(2)在等差數(shù)列｛4｝中，相隔等距離的項組成的數(shù)列是AP,

女口：,43，，47，；4，%，"13，"|8，；

(3)在等差數(shù)列｛叫中，對任意m,〃eN+,a=a+(n-m)d,d=—~—(mn);

nmn-m

(4)在等差數(shù)列｛a“｝中，若加，n,p,qeM且m+〃=p+q,則am+an=ap+aq;

說明：設(shè)數(shù)列U｝是等差數(shù)列，且公差為d,

（I）若項數(shù)為偶數(shù)，設(shè)共有2〃項，則①S奇T偶=必②盤=%;

S偶an+\

（H）若項數(shù)為奇數(shù)，設(shè)共有21項，則①S偶-S奇=-②&=3。

s偏?-1

6、數(shù)列最值

（1）4>0,d<0時,S,有最大值；O1<0,d>0時,S“有最小值；

（2）S,,最值的求法：①若已知S,,可用二次函數(shù)最值的求法

②若已知凡，則s“最值時〃的值（“CM）可如下確定卜或卜O

1%4。|?，，+|20

課前預(yù)習(xí)

1.（01天津理，2）設(shè)S是數(shù)列｛2｝的前〃項和，且S=4,則｛a｝是

（）

A.等比數(shù)列，但不是等差數(shù)列B.等差數(shù)列，但不是等比數(shù)列

C.等差數(shù)列，而且也是等比數(shù)列D.既非等比數(shù)列又非等差數(shù)列

2.（06全國I）設(shè)｛4｝是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，若q+4+/=15,qa2a3=80,

則41+q2+%=（）

A.120B.105C.90D.75

3.（02京）若一個等差數(shù)列前3項的和為34,最后3項的和為146,

且所有項的和為390,則這個數(shù)列有（）

A.13項B.12項C.11項D.10項

4.（01全國理）設(shè)數(shù)列｛2｝是遞增等差數(shù)列，前三項的和為12,前三

項的積為48,則它的首項是（）

A.1B.2C.4D.6

5.（06全國H）設(shè)S是等差數(shù)列｛4｝的前〃項和，若稱=2，則委

563工

6.（00全國）設(shè)｛2｝為等差數(shù)列，S為數(shù)列｛2｝的前〃項和，已知

S=7,S5=75,北為數(shù)列｛與｝的前〃項和，求北。

n

7.（98全國）已知數(shù)列｛bn｝是等差數(shù)列，*1,61+-+…+全o=lOO.

（I）求數(shù)列｛4｝的通項bn：

（II）設(shè)數(shù)列｛4｝的通項區(qū)二lg（l+,），記S是數(shù)列｛&｝的前〃項

b.

和，試比較S與;1雙癡的大小，并證明你的結(jié)論。

8.（02上海）設(shè)｛4｝（〃6N*）是等差數(shù)列，S是其前〃項的和，且

&=S>W,則下列結(jié)論?？险`的是（）

A.dVOB.&=OC.￡>WD.&與S均為S的最大值

9.（94全國）等差數(shù)列｛a｝的前/項和為30,前2/項和為100,則

它的前3勿項和為（）

A.130B.170C.210D.260

等比數(shù)列

知識清單

1.等比數(shù)列定義

一般地，如果一個數(shù)列從第？事用，每一項與它的前一項的比等于同一

個單藜，那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比;

公比通常用字母夕表不（q。0）,即：a“+i:an=q（qW0）數(shù)列對于數(shù)列（1）（2）

（3）都是等比數(shù)列，它們的公比依次是2,5,-1°（注意：”從第二項

2

起”、“常數(shù)””等比數(shù)列的公比和項都不為零）

2.等比數(shù)列通項公式為：=q01（%*0）。

說明：（1）由等比數(shù)列的通項公式可以知道：當(dāng)公比d=l時該數(shù)列既

是等比數(shù)列也是等差數(shù)列；（2）等比數(shù)列的通項公式知：若｛叫為等比

數(shù)列，則%=亡"。

3.等比中項

如果在a與。中間插入一個數(shù)G,使a,G,6成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的

等比中項（兩個符號相同的非零實數(shù)，都有兩個等比中項）。

4.等比數(shù)列前n項和公式

一般地，設(shè)等比數(shù)列4，。2，。3，-、凡，-?的前1^項和是5,=4+42+。3+,-+4，當(dāng)

它1時，S—空匕g或S,,=&4;當(dāng)q=l時，s“=〃q（錯位相減法）。

\-q\-q

說明：（1）a/,〃,S“和“各已知三個可求第四個；（2）注意求和

公式中是4",通項公式中是武不要混淆；（3）應(yīng)用求和公式時”1,

必要時應(yīng)討論4=1的情況。

5.等比數(shù)列的性質(zhì)

①等比數(shù)列任意兩項間的關(guān)系：如果%是等比數(shù)列的第〃項，《“是等差

數(shù)列的第項，且加＜〃，公比為q，則有a"=a"F；

②對于等比數(shù)列｛%｝，若n+m=u+v，則an-a,?=au-av,也就是：

，..6一4人.、

/.m=叱%="3乜12=……，如圖所示：佝，"，為，…，。-，。"-〃”。

a2'an-l

③若數(shù)列｛冊｝是等比數(shù)列，s“是其前n項的和，丘N*,那么最,s2k-sk,

Svs,*成等比數(shù)列。

ywww

如下圖所示：

。]+〃2+%+,.?++以+1+?.?++a2k+\+,.?+%&

SkSzk-SkS3k-S2k

課前預(yù)習(xí)

1.在等比數(shù)列｛%｝中，/=12過=痣，則49=-

2.2+6和2-6的等比中項為().

(A)l(B)-l(C)±l(0)2

3.在等比數(shù)列｛%｝中，a2=-2,a5=54,求4，

4.在等比數(shù)列｛4｝中，4和即)是方程2f+5x+l=0的兩個根，則%,%=()

(A)—g(B)與(C)-1(D)|

5.在等比數(shù)列｛%｝,已知q=5,。9〃]0=100,求為8.

6.(2006年遼寧卷)在等比數(shù)列｛叫中，《=2,前〃項和為s.，若數(shù)列血+1｝

也是等比數(shù)列，則S”等于()

A.2"+'-2B.3〃C.2nD.3"-1

7.(2006年北京卷)設(shè)/(〃)=2+24+27+2|。+…+23"叫〃GN),則/⑺等于()

799?

A.-(8n-l)B.-(8,,+l-l)C.-(8,,+3-1)D.-(8,,+4-1)

7777

8.(1996全國文，21)設(shè)等比數(shù)列｛2｝的前〃項和為S,若S+&

=2W,求數(shù)列的公比Q；

9.(2005江蘇3)在各項都為正數(shù)的等比數(shù)列｛a｝中，首項2=3,前

三項和為21,則&+a+a=()

(A)33(B)72(C)84(D)189

10.(2000上海，12)在等差數(shù)列｛3｝中,若ao=O,則有等式a+包+…

+&尸己+4+—\-a^-n(/?<19,〃￡N)成立.類比上述性質(zhì)，相應(yīng)地：在等

比數(shù)列(G中，若從=1,則有等式一成立。

數(shù)列通項與求和

知識清單

1.數(shù)列求通項與和

(1)數(shù)列前n項和和與通項須的關(guān)系式：2啟4一%

4n-1

(2)求通項常用方法

①作新數(shù)列法。作等差數(shù)列與等比數(shù)列；

—

②累差疊加法。最基本的形式是：an=(anan-i)+(an-i+an-2)+,,,+(a2—

3i)+ai；

③歸納、猜想法。

(3)數(shù)列前n項和

①重要公式：1+2+…+n='n(n+1)；

2

l2+2J+,?*+n2=-n(n+1)(2n+l)；

6

l”+…+/=(1+2+…+n)2=-n2(n+l)2；

4

②等差數(shù)列中，Sm+n=Sm+Sn+mnd；

nm

③等比數(shù)列中，Sffl+n=Sn+qSm=Sm+qSn;

④裂項求和

將數(shù)列的通項分成兩個式子的代數(shù)和，即&尸f(n+l)—f(n),然后累加

抵消掉中間的許多項，這種先裂后消的求和法叫裂項求和法。用裂項法

求和，需要掌握一些常見的裂項，如：

——----...、n?n!=(n+1)!

n{n+1)nn+1

n_11

-n!、Cn-/lzzCn'—Cn-!\等。

(〃+1)!n\(n+1)!

⑤錯項相消法

對一個由等差數(shù)列及等比數(shù)列對應(yīng)項之積組成的數(shù)列的前n項和，常

用錯項相消法。an=b“0,其中也｝是等差數(shù)列，上｝是等比數(shù)列，記

S"=優(yōu)，+%。2+…+3*+bncn,則qSn=bxc2+……+如c“+bncn+1,…

⑥并項求和

把數(shù)列的某些項放在一起先求和，然后再求S”。

數(shù)列求通項及和的方法多種多樣，要視具體情形選用合適方法。

⑦通項分解法：an=bn±cn

2.遞歸數(shù)列

數(shù)列的連續(xù)若干項滿足的等量關(guān)系an+k=f(an+i,a『”2,…，a)稱為數(shù)列

的遞歸關(guān)系。由遞歸關(guān)系及k個初始值可以確定的一個數(shù)列叫做遞歸

數(shù)列。如由aX2an+l,及a=1,確定的數(shù)列｛2"-1｝即為遞歸數(shù)列。

遞歸數(shù)列的通項的求法一般說來有以下幾種：

(1)歸納、猜想、數(shù)學(xué)歸納法證明。

(2)迭代法。

(3)代換法。包括代數(shù)代換，對數(shù)代數(shù)，三角代數(shù)。

(4)作新數(shù)列法。最常見的是作成等差數(shù)列或等比數(shù)列來解決問題。

課前預(yù)習(xí)

1.已知數(shù)列?｝為等差數(shù)列，且公差不為0,首項也不為0,求和：f。

MaiaM

2.求1+L—^―+—1—+??■+--,---,(“小)。

1+21+2+31+2+3+41+2+3+-+/1

3.設(shè)a為常數(shù)，求數(shù)列a,2a2,3a3,…，nan,…的前n項和。

4.已知a〉O,aHi,數(shù)列｛4｝是首項為a,公比也為a的等比數(shù)列，令

bn=an-1gan(neN),求數(shù)列也J的前"項和S.。

5.求。

6,設(shè)數(shù)列同｝是公差為d,且首項為a0=d的等差數(shù)列，

求和:S“M=a°C：+aC+：.+a“C；

7.求數(shù)列1,3+5,7+9+11,13+15+17+19,…前n項和。

典型例題

一、有關(guān)通項問題

1、利用Q求通項.

[S,—Si(n>2)

EG：數(shù)列｛風(fēng)｝的前〃項和s.=1+1.(1)試寫出數(shù)列的前5項;(2)數(shù)

列以｝是等差數(shù)列嗎？(3)你能寫出數(shù)列0｝的通項公式嗎？

變式題1、(2005湖北卷)設(shè)數(shù)列0｝的前n項和為Sn=2n2,求數(shù)列a｝

的通項公式;

變式題2、(2005北京卷)數(shù)列｛2｝的前〃項和為S,且8二1,%=卜，

爐1,2,3,.....,求&,4的值及數(shù)列｛4｝的通項公式.

變式題3、(2005山東卷)已知數(shù)列｛q｝的首項4=5,前”項和為s“，且

S"+i=S.+〃+5(〃eN*),證明數(shù)列｛%+1｝是等比數(shù)列.

2、解方程求通項：

EG：在等差數(shù)列｛”“｝中，(1)已知Sg=48,5]2=168,求生和d;(2)已知

T=10,5$=5,求小和,；(3)已知《+%=40,求S0.

變式題1、｛4｝是首項4=1,公差d=3的等差數(shù)列，如果%=2005,則序號

〃等于

(A)667(B)668(C)669(D)670

3、待定系數(shù)求通項：

EG：寫出下列數(shù)列｛4｝的前5項：(1)q=4%+1(”>1).

變式題1、(2006年福建卷)已知數(shù)列｛&“｝滿足q=1,《川=2q,+l(〃eN*).

求數(shù)列｛叫的通項公式；

4、由前幾項猜想通項：

EG：根據(jù)下面的圖形及相應(yīng)用點數(shù)，在空格及括號中分別填上適當(dāng)?shù)膱D

形和數(shù)，寫息點數(shù)的通項公絮.

??

(1)(4)(7)()()

變式題1、（2007年深圳理科一模）.如下圖，第（1）個多邊形是由

正三角形”擴展”而來，第（2）個多邊形是由正方形“擴展”而來，……，

如此類推.設(shè)由正〃邊形“擴展”而來的多邊形的邊數(shù)為⑸，

貝（］《=；—+—+—+???+——.

變式題2、觀察下列各圖，并閱讀下面的文字，像這樣，10條直線相

交，交點的個數(shù)最多是（），其通項公式為

A.40個B.45個C.50個D.55個

2條直線相3條直線相4條直線相

交，最多有1交，最多有3交，最多有6

個交點個交點個交點

二、有關(guān)等差、等比數(shù)列性質(zhì)問題

EG：一個等比數(shù)列前〃項的和為48,前2〃項的和為60,則前3”項的和

為（）

A.83B.108C.75D.63

變式1、一個等差數(shù)列前〃項的和為48,前2〃項的和為60,則前3〃項

的和為_。

變式2、（江蘇版第76頁習(xí)題1）等比數(shù)列｛叫的各項為正數(shù)，且

a5a64a7=電貝（hog3q+log3a2+…+log3aio=（）

A.12B.10C.8D.2+iog35

EG：設(shè)數(shù)列U｝是單調(diào)遞增的等差數(shù)列，前三項的和為12,前三項的積

為48,則它的首項是（）

A.1B.2C.4D.8

變式題1、在各項都為正數(shù)的等比數(shù)列他“｝中，首項q=3,前三項和為

21,貝（］%++“5=

A33B72C84D189

三、數(shù)列求和問題

EG:已知｛怎｝是等差數(shù)列，其中q=31,公差d=-8。（1）求數(shù)列｛《,｝的通

項公式，并作出它的圖像；（2）數(shù)列以｝從哪一項開始小于0?（3）

求數(shù)列｛%｝前〃項和的最大值，并求出對應(yīng)〃的值.

變式題1、已知0｝是各項不為零的等差數(shù)列，其中q>0,公差d<0,若

=0,求數(shù)列｛a“｝前〃項和的最大值.

變式題2、在等差數(shù)列｛%｝中，?,=25,St7=S9,求S”的最大值.

EG：求和：Sn=l+2x+3%2+..?+HX〃T

變式題1、已知數(shù)列。“=4〃-2和a==，設(shè)c“=?,求數(shù)列｛g｝的前〃項和

邛h?

變式題2、（2007全國1文21）設(shè)口｝是等差數(shù)列，依｝是各項都為正

數(shù)的等比數(shù)列，且4=4=1,%+么=21,%+&=13（I）求｛叫，｛%｝的通項

公式；(H)求數(shù)列5的前〃項和s..

b”

變式題2.設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為q,前n項和為若時$,Sn+2

成等差數(shù)列，則q

的值為

3、利用等比數(shù)列的前〃項和公式證明

+i

〃"+1—h"

EG:a"+a"-'b+a'"2b2+???+ab'"'+b"=-———(〃eN*,a>0力>0)

a-b

n22nn

變式題、(05天津)已知"“=，+a"-'b+a~b+---+ab-'+b(nGN*,a>0,b>0].

當(dāng)a=b時,求數(shù)列｛““｝的前n項和S”.

EG：(1)已知數(shù)列｛4｝的通項公式為％=」一，求前〃項的和；(2)已

及(〃+1)

知數(shù)列｛%｝的通項公式為凡=/1/,求前〃項的和.

變式題1、已知數(shù)列(??｝的通項公式為/=等，設(shè)

變式題2、數(shù)列｛aj中，&=8,加=2,且滿足：an+2—2an+i+an=0(n￡N*),

(I)求數(shù)列｛&J的通項公式；

(H)設(shè)一(〃GN*),s“=4+%+……+與，是否存在最大的整數(shù)勿，使

”(12-%)

得任意的〃均有S,,〉生總成立？若存在，求出勿；若不存在，請說明理

32

由.

實戰(zhàn)訓(xùn)練A

1.(07重慶文)在等比數(shù)列｛劣｝中，&2=8,a=64,,則公比q為

(A)2(B)3(C)4(D)8

2.(07重慶理)若等差數(shù)列｛%｝的前三項和邑=9且q=l,則4等于()

A.3B.4C.5D,6

3.設(shè)｛4｝為公比q>l的等比數(shù)列，若的004和%期是方程418x+3=O的兩根,

4.(07天津理)設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差d不為0,q=9d.若％是％與％

的等比中項，貝1U=()A.2B.4C.6D.8

5.設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差d是2,前〃項的和為S.，則

?

?l—i>m00--S---=

6.等差數(shù)列｛a｝中，,31=1,.33+35=14,其前〃項和5=100,則爐

(A)9(B)10(Oil(D)12

5.等差數(shù)列列J的前〃項和為S”若邑=2,邑=10,則￡等于

(A)12(B)18(C)24(D)42

6.(全國2文)已知數(shù)列的通項4=-5〃+2,則其前〃項和

7.(07全國1理)等比數(shù)列｛4｝的前〃項和為S",已知加，2邑，3邑成等

差數(shù)列，則｛4｝的公比為.

8.已知｛q｝是等差數(shù)列，%0=10，其前10項和=70,則其公差4=()

A.--B.--C.-D.-

3333

9.已知ab,c,d成等比數(shù)列,且曲線丁=/-2尤+3的頂點是(bc),則ad等

于()A.3B.2C.1