有理系數(shù)多項(xiàng)式的有理根的求法研究目錄TOC\o"1-3"\h\u0引言 摘要：多項(xiàng)式是代數(shù)學(xué)的一個(gè)基本概念，它與高階方程的討論有關(guān)，它在代數(shù)的進(jìn)一步研究中起著重要的作用，是學(xué)習(xí)許多數(shù)學(xué)分支的工具。在多項(xiàng)式理論中，人們有興趣理解有理系數(shù)多項(xiàng)式的概念及性質(zhì)，進(jìn)一步掌握有理系數(shù)多項(xiàng)式的有理根的計(jì)算方法，關(guān)于有理系數(shù)多項(xiàng)式的有理根的研究一直是人們感興趣的問題。有理系數(shù)多項(xiàng)式在多項(xiàng)式的研究中起著越來越重要的作用。本文介紹有理系數(shù)多項(xiàng)式的概念及性質(zhì)，有理系數(shù)多項(xiàng)式的有理根的求法與整系數(shù)多項(xiàng)式的有理根的求法關(guān)系，有理系數(shù)多項(xiàng)式的有理根的求法。關(guān)鍵詞：本原多項(xiàng)式，可約，有理系數(shù)多項(xiàng)式。0引言有理系數(shù)多項(xiàng)式是高等代數(shù)里面多項(xiàng)式因式分解討論的一個(gè)特例。每一個(gè)次數(shù)大于等于1的有理系數(shù)多項(xiàng)式都能唯一地分解成不可約的有理系數(shù)多項(xiàng)式的乘積。但是對(duì)于任意一個(gè)給定的多項(xiàng)式，要具體地寫出它的分解式卻是一個(gè)很復(fù)雜的問題，即使要判別一個(gè)有理系數(shù)多項(xiàng)式是否可約也不是一個(gè)容易解決的問題，有理系數(shù)多項(xiàng)式的因式分解問題，可以歸結(jié)為整系數(shù)多項(xiàng)式的因式分解問題，并進(jìn)一步解決有理系數(shù)多項(xiàng)式的有理根的求法，并且，在有理系數(shù)多項(xiàng)式環(huán)中有任意次數(shù)的不可約多項(xiàng)式。有理系數(shù)多項(xiàng)式的有理根的研究工作，可以轉(zhuǎn)化為討論整系數(shù)多項(xiàng)式的有理根，由于系數(shù)的整數(shù)性導(dǎo)致了研究的相對(duì)困難，多項(xiàng)式這一傳統(tǒng)課題的繼續(xù)研究意義重大，無論是對(duì)于多項(xiàng)式理論知識(shí)的完善。還是對(duì)于學(xué)生對(duì)多項(xiàng)式知識(shí)的進(jìn)一步的理解深化都具有一定的意義。1有理系數(shù)多項(xiàng)式的概念及性質(zhì)1.1有理系數(shù)多項(xiàng)式的概念定義1設(shè)，其中，每一個(gè)系數(shù)屬于有理數(shù)，則稱為有理系數(shù)多項(xiàng)式。特別的，若每一個(gè)系數(shù)屬于整數(shù)，則稱為整系數(shù)多項(xiàng)式。1.2有理系數(shù)多項(xiàng)式的性質(zhì)引理1設(shè)是有理數(shù)域上的多項(xiàng)式，若，其中為有理數(shù)，為整系數(shù)多項(xiàng)式，則在有理數(shù)域上可約在有理數(shù)域上可約。定義2若是一個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式的系數(shù)互素，即設(shè)多項(xiàng)式是整系數(shù)多項(xiàng)式，若每一個(gè)系數(shù)的最大公約數(shù)為1，那么稱為一個(gè)本原多項(xiàng)式。引理2（高斯引理）兩個(gè)本原多項(xiàng)式的乘積仍是一個(gè)本原多項(xiàng)式。證設(shè)給了兩個(gè)本原多項(xiàng)式，，并且設(shè)。有，則最大公約數(shù)是1，若不是。設(shè)是的公約素?cái)?shù)，且，所以，且，而是素?cái)?shù)，從而或。不妨設(shè)，而是本原多項(xiàng)式。存在，且，使得，但不能整除。同理存在，且，使得，但不能整除。所以中除外，所有項(xiàng)均可被整除，而是的公約數(shù)，所以，而，又是素?cái)?shù)，故或，但不能整除且不能整除，所以矛盾。則這樣的不存在，從而是一個(gè)本原多項(xiàng)式。引理3若是本原多項(xiàng)式，是非整數(shù)的有理數(shù)，則是非整系數(shù)多項(xiàng)式。定理1整系數(shù)多項(xiàng)式在有理數(shù)域上可約在整數(shù)上可約。證必要性顯然成立。充分性設(shè)，是有理數(shù)系數(shù)多項(xiàng)式，，則，是本原多項(xiàng)式。同理，是本原多項(xiàng)式。則，由引理3可知為整數(shù)，因?yàn)楹褪潜驹囗?xiàng)式，由引理2可知是本原多項(xiàng)式。則在整數(shù)上可約。定理2若是一個(gè)整系數(shù)次多項(xiàng)式在有理數(shù)域上可約，那么總可以分解成次數(shù)都小于的兩個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式的乘積。證設(shè)，這里與都是有理數(shù)域上的次數(shù)小于的多項(xiàng)式。令的系數(shù)的公分母是。那么，這里是一個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式。又令的系數(shù)的最大公因數(shù)是。那么，這里是一個(gè)有理數(shù)而是一個(gè)本原多項(xiàng)式。同理，這里是一個(gè)有理數(shù)而是一個(gè)本原多項(xiàng)式。于是，其中與是互素的整數(shù)，并且。由于是一個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式，所以多項(xiàng)式的每一系數(shù)與的乘積都必須被整除。但與互素，所以的每一系數(shù)必須被整除，這就是說，是多項(xiàng)式的系數(shù)的一個(gè)公因數(shù)。但是一個(gè)本原多項(xiàng)式，因此，而。和顯然各與和有相同的次數(shù)，這樣，可以分解成次數(shù)都小于的兩個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式的乘積。定理3（艾森斯坦法）設(shè)是一個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式。若是能夠找到一個(gè)素?cái)?shù)，使最高次項(xiàng)系數(shù)不能被整除；其余各項(xiàng)的系數(shù)都能被整除；常數(shù)項(xiàng)不能被整除，那么多項(xiàng)式在有理數(shù)域上不可約。證若是多項(xiàng)式在有理數(shù)域上可約，那么由定理2，可以分解成兩個(gè)次數(shù)較低的整系數(shù)多項(xiàng)式的乘積：這里，，并且。由此得到。因?yàn)?，而是一個(gè)素?cái)?shù)，所以或。但不能整除，所以不能同時(shí)整除與。不妨假設(shè)而不能整除?？稍O(shè)，有，不能整除，因?yàn)椋?，有，其中，從而，即或，又因?yàn)椴荒苷c假設(shè)矛盾，所以這樣的不存在。即多項(xiàng)式在有理數(shù)域上不可約。證明下列多項(xiàng)式在有理數(shù)域上不可約：（i）；（ii）；（iii）；證（i），。素?cái)?shù)不能整除，而能整除其他系數(shù)。但不能被整除。由定理3（艾森斯坦法）可知，多項(xiàng)式在有理數(shù)域上不可約。（ii），。素?cái)?shù)不能整除，而能整除其他系數(shù)。但不能被整除。由定理3（艾森斯坦法）可知，多項(xiàng)式在有理數(shù)域上不可約。（iii）設(shè)。，。素?cái)?shù)不能整除，而能整除其他系數(shù)。但不能被整除。由定理3（艾森斯坦法）可知，在有理數(shù)域上不可約，則多項(xiàng)式在有理數(shù)域上也不可約。證明對(duì)任意的，多項(xiàng)式在有理數(shù)域上不可約。證設(shè)，。素?cái)?shù)不能整除，而能整除其他系數(shù)。但不能被整除。由定理3（艾森斯坦法）可知，對(duì)任意的，多項(xiàng)式在有理數(shù)域上不可約。2有理系數(shù)多項(xiàng)式的有理根及求法2.1有理系數(shù)多項(xiàng)式的有理根定義1設(shè)有理系數(shù)多項(xiàng)式，其中為整數(shù)且，如果當(dāng)（是有理數(shù)）時(shí)，的值，那么叫做的一個(gè)有理根。其中，令，則為整系數(shù)多項(xiàng)式，令，則，即與有相同的根，從而求有理系數(shù)多項(xiàng)式的有理根可以轉(zhuǎn)化為求整系數(shù)多項(xiàng)式的有理根。2.2有理系數(shù)多項(xiàng)式的有理根的求法定理1設(shè)是一個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式。若是有理數(shù)是的一個(gè)根，這里和是互素的整數(shù)，那么整除的最高次項(xiàng)系數(shù)，而整除的常數(shù)項(xiàng)；，這里是一個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式。證由于是的一個(gè)根，所以，這里是一個(gè)有理系數(shù)多項(xiàng)式。我們有，這里是一個(gè)本原多項(xiàng)式，因?yàn)楹突ニ?。另一方面，可以寫成，這里是一個(gè)有理數(shù)而是一個(gè)本原多項(xiàng)式。這樣，這里和是互素的整數(shù)并且，而和都是本原多項(xiàng)式。由此，和定理1的證明一樣，可以推得，而（3），這里是一個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式。令。那么由（3）得。比較系數(shù)，得和，這就是說整除而整除。另一方面，比較（2）和（3），得，所以也是一個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式。定理2設(shè)整數(shù)是整系數(shù)多項(xiàng)式的根，則都是整數(shù)。證由整系數(shù)多項(xiàng)式，有理系數(shù)多項(xiàng)式，且，得到，則，得所以為整系數(shù)多項(xiàng)式。因?yàn)椋?，所以，。證畢。定理3（綜合除法）設(shè)，。若，則為的有理根。通過以上的三個(gè)定理得到有理系數(shù)多項(xiàng)式的有理根的求法：第一步：求出的最高次項(xiàng)系數(shù)的所有因數(shù)，常數(shù)項(xiàng)的所有因數(shù)，得到所有可能的有理根；第二步：算出和，同時(shí)判斷是否為的有理根，再把所有可能的有理根進(jìn)行檢驗(yàn)，如果與都是整數(shù)，那么得到的所有都可能是的有理根；第三步：用綜合除法試驗(yàn)第二步得出的是否為的有理根，如果除得的余數(shù)為0，那么是的有理根。第四步：令，判斷是否為的有理根，若是則為重根，再次用綜合除法，判斷為幾重根，若不是則為的有理單根。求下列多項(xiàng)式的有理根：（i）（ii）（iii）（iv）（i）第一步：令。；第二步：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，與都是整數(shù)；第三步：取進(jìn)行試驗(yàn)，由綜合除法得是多項(xiàng)式的一個(gè)有理根；第四步：同時(shí)可得，容易看出不是多項(xiàng)式的有理根，所以不是的重根，綜上所述，是多項(xiàng)式的唯一的有理單根。（ii）第一步：令。，；第二步：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，與都是整數(shù)；第三步：取進(jìn)行試驗(yàn)，由綜合除法得是多項(xiàng)式的一個(gè)有理根。第四步：同時(shí)可得，容易看出不是多項(xiàng)式的有理根，所以不是的重根，綜上所述，是多項(xiàng)式的唯一的有理單根。（iii）第一步：，令，由定義1知與的有理根相同。，；第二步：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，與都是整數(shù)；第三步：取進(jìn)行試驗(yàn)，由綜合除法，，得是多項(xiàng)式的一個(gè)有理根。第四步：同時(shí)可得，容易看出不是多項(xiàng)式的有理根，所以不是的重根，綜上所述，是多項(xiàng)式的唯一的有理單根。（iv）第一步：，令，由定義1知與的有理根相同。，則，令，易知的有理根也是的有理根，，；第二步：僅當(dāng)時(shí)，與都是整數(shù)；第三步：取進(jìn)行試驗(yàn)，由綜合除法，得是多項(xiàng)式的一個(gè)有理根；第四步：同時(shí)可得，容易看出不是多項(xiàng)式的有理根，所以不是的重根，則是多項(xiàng)式的唯一的有理單根。從而的有理單根為，綜上所述-1和2是的兩個(gè)有理單根。證明沒有有理根。證，，不存在，使得與都是整數(shù)，則沒有有理根。證明在有理數(shù)域上不可約。證如果可約，那么至少有一個(gè)一次因式，也就是有一個(gè)有理根。，，不存在，使得與都是整數(shù)，則沒有有理根。則在有理數(shù)域上不可約。求的有理根。第一步：。令，由定義1知與的有理根相同。，；第二步：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，與都是整數(shù)；第三步：取進(jìn)行試驗(yàn)，由綜合除法，，得是多項(xiàng)式的有理根。第四步：同時(shí)可得，容易看出和不是多項(xiàng)式的有理根，所以和都不是的重根，綜上所述，和是的兩個(gè)有理單根。3小結(jié)有理系數(shù)多項(xiàng)式的有理根的求法是多項(xiàng)式理論中非常重要的內(nèi)容之一。人們對(duì)有理系數(shù)多項(xiàng)式的有理根的求法的研究有非常大的興趣，目前對(duì)于有理系數(shù)多項(xiàng)式的有理根的求法已經(jīng)有了許多的研究，也得到了許多有意義的研究結(jié)果，本文較為系統(tǒng)的敘述了有理系數(shù)多項(xiàng)式的概念及有理系數(shù)多項(xiàng)式的可約性，有理系數(shù)多項(xiàng)式的有理根的求法與整系數(shù)多項(xiàng)式的有理根的求法關(guān)系，最后總結(jié)了有理系數(shù)多項(xiàng)式的有理根的求法。求有理系數(shù)多項(xiàng)式的有理根可以轉(zhuǎn)化為求整系數(shù)多項(xiàng)式的有理根，我們可以用定理簡潔的整理求解有理系數(shù)多項(xiàng)式的有理根的求解過程，盡可能的將有理根的范圍縮小，接著再用綜合除法進(jìn)行試驗(yàn)，得出有理系數(shù)多項(xiàng)式的有理根，再判斷是否為重根，最后總結(jié)有理系數(shù)多項(xiàng)式的全部有理根。但在有理系數(shù)多項(xiàng)式中理論知識(shí)還是不夠完善，以及有理系數(shù)多項(xiàng)式有理根的求法還是比較單一，還需要轉(zhuǎn)化為整系數(shù)多項(xiàng)式，沒有直接求有理系數(shù)多項(xiàng)式的有理根的方法，以上的方面都有待我們?cè)俅紊钊胙芯?。參考文獻(xiàn)：[1].程云鵬,張凱院.矩陣論[M].西安:西北工業(yè)大學(xué)出版社,2001[2].北京大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等代數(shù)[M].北京:北京大學(xué)出版社,2003[3].R.A.合恩，C.R.約翰遜.矩陣分析[M].天津:天津大學(xué)出版社,1989[4].謝國瑞.線性代數(shù)及其應(yīng)用[M].北京:高等教育出版社,2000[5].黃廷祝，楊傳勝.特殊矩陣分