1第十二章

統(tǒng)計決策§12.1統(tǒng)計決策概述§12.2以期望值為準則的決策方法§12.3以最大可能性為準則的決策方法§12.4決策樹方法§12.5貝葉斯決策方法案例導入21981年3月30日，一個大學退學生Hinckley企圖對里根總統(tǒng)行刺。他打傷了里根、里根的新聞必輸以及兩個保安人員。在1982年審判他時，Hinckley以精神病為理由作為其無罪的辯護。在18個醫(yī)師中作證的醫(yī)師是DanielR.Weinberger，他告訴法院當給被診斷為精神分裂癥的人以CAT掃描（計算機輔助層析掃描）時，掃描顯示30%的案例為腦萎縮，而給正常人以CAT掃描時，只有2%的掃描顯示腦萎縮。Hinckley的辯護律師試圖拿Hinckley的CAT掃描結(jié)果為證據(jù)，爭辯說因為Hinckley的掃描展示了腦萎縮，他極有可能患有精神病，從而免于受到法院的起訴。一般地，在美國精神分裂癥的發(fā)病率大約為1.5%。利用以上數(shù)據(jù)，運用貝葉斯公式，我們可以算出即使Hinckley的掃描展示了腦萎縮，他也只有18.6%的可能性患有精神分裂癥，因此CAT掃描無法作為其無罪的證據(jù)。學習目標3本章要求掌握統(tǒng)計決策的原理和基本方法，重點掌握期望值決策法和貝葉斯決策方法。4§12.1統(tǒng)計決策概述—如何理解統(tǒng)計決策統(tǒng)計決策是根據(jù)已掌握信息對實現(xiàn)的目標的未來行動所作出的決定。決策的主體、目標、環(huán)境和行動方案構(gòu)成了決策系統(tǒng)的四個基本因素。在管理中，決策者經(jīng)常會遇到各種決策問題，如確定型問題、不確定型問題和對抗型問題。在決策中，就有確定型決策、不確定型決策和對抗型決策等決策類型。無論哪種決策類型，都要經(jīng)過確定決策目標、擬定決策方案、預測方案得失、選擇最優(yōu)方案和實施方案等五個基本決策程序。

5§12.1統(tǒng)計決策概述—狹義的統(tǒng)計決策

一般來說，統(tǒng)計決策有廣義和狹義之分，凡是應(yīng)用統(tǒng)計方法進行的決策稱為廣義的統(tǒng)計決策。狹義的統(tǒng)計決策是指不確定情況下的決策。在不確定情況下進行決策需要具備以下四個條件：

(1)決策人要求達到的一定目標，如利潤最大，損失最小，質(zhì)量最高，等等。從不同的目的出發(fā)往往有不同的決策標準。

(2)存在兩個或兩個以上可供選擇的方案，所有的方案構(gòu)成一個方案的集合。

(3)存在不以決策人主觀意志為轉(zhuǎn)移的客觀狀態(tài)，或稱為自然狀態(tài)。所有可能出現(xiàn)的自然狀態(tài)構(gòu)成狀態(tài)空間。

(4)在不同情況下采取不同方案所產(chǎn)生的結(jié)果是可以計量的。所有的結(jié)果構(gòu)成一個結(jié)果空間。凡符合這四個條件的決策，即稱為狹義的統(tǒng)計決策。6§12.1統(tǒng)計決策概述—概率判斷和抉擇統(tǒng)計決策面對著的是各種不確定性因素，因此，統(tǒng)計決策的最顯著特點是運用概率進行判斷和抉擇。在這個過程中，常用到?jīng)Q策、收益（損失）和風險三個重要的基本概念。決策是對方案的選擇，不同的方案帶來的收益或損失不同，最佳方案是能夠使平均風險達到最小的方案。7§12.1統(tǒng)計決策概述—決策三原則要作出正確的決策，必須遵循可行性、經(jīng)濟性和合理性三條原則決策的首要原則是提供給決策者選擇的每一方案在技術(shù)上、資源條件上必須是可行的。經(jīng)濟性原則也即最優(yōu)化原則。通過多種方案的分析比較，所選定的決策方案應(yīng)能比采取其他方案能獲得更好的經(jīng)濟效益或免受更大的虧損風險。選擇決策方案時，不一定費力去尋求經(jīng)濟上“最優(yōu)”方案，而是選擇使人滿意的方案。也就是說，在某些情況下，應(yīng)該以令人滿意的合理的準則代替經(jīng)濟上最優(yōu)的準則。

§12.2以期望值為準則的決策方法

決策的方法與所選擇的決策準則直接相關(guān)，期望值準則是風險型決策最常用的準則。以期望值為準則進行決策的基本方法是：根據(jù)收益表（或虧損表），計算各行動方案的收益期望值，然后從中選擇期望收益最大（或虧損最?。┑姆桨笧樽顑?yōu)方案。各個方案的期望收益值由以下公式計算得到：式中，為第i個方案的損益期望值；表示在第i個方案在第j種狀態(tài)下的損益值；表示第j種狀態(tài)發(fā)生的概率；n為總共可能發(fā)生的狀態(tài)數(shù)目。決策的方法與所選擇的決策準則直接相關(guān)，期望值準則是風險型決策最常用的準則。以期望值為準則進行決策的基本方法是：根據(jù)收益表（或虧損表），計算各行動方案的收益期望值，然后從中選擇期望收益最大（或虧損最?。┑姆桨笧樽顑?yōu)方案。各個方案的期望收益值由以下公式計算得到：式中，為第i個方案的損益期望值；表示在第i個方案在第j種狀態(tài)下的損益值；表示第j種狀態(tài)發(fā)生的概率；n為總共可能發(fā)生的狀態(tài)數(shù)目。8例12-1，某施工單位對下月是否要開工進行決策。如果開工，天氣好時可獲利10萬元，天氣不好時將賠2萬元；如果不開工，無論天氣好壞都要賠0.4萬元。根據(jù)預測表明，天氣好的概率為0.8，天氣不好的概率為0.2。按期望值決策準則對以上方案進行決策。解

根據(jù)已知資料，可編制收益表如下：表12-1某施工單位的收益表

以上Al代表開工，A2代表不開工，計算得到兩種方案的期望值如下：E(A1)＝10×0.2+(－2)×0.8＝0.4(萬元)；E(A2)＝－0.4×0.2+(一0.4)×0.8＝一0.4(萬元)按期望值準則，應(yīng)選取期望收益最大者：max{0.4，一0.4}=0.4，所以，應(yīng)選擇開工的方案。

方案天氣好天氣壞概率0.8概率0.2開工收益不開工收益10－13－19例12-2

某公司對每件產(chǎn)品進行檢驗的費用是0.1元，而每件產(chǎn)品的退貨損失為1.25元。根據(jù)歷史記錄，各種不合格率發(fā)生的概率資料如表11—2所示。每1000件裝成一箱出售，試用期望值決策準則對整箱檢驗還是不檢驗進行決策。表12-2某公司每箱產(chǎn)品檢驗費用虧損表

解：根據(jù)表11-2提供的數(shù)據(jù)，設(shè)Al為整箱檢驗，A2為整箱不檢驗，計算得到兩種方案的期望費用支付額為

E(A1)＝100(元)，

E(A2)＝62.5×0.6+125X0.3+187.5×0.1＝93.75(元)按期望值準則應(yīng)選取期望支付額最小者

min{100，93.75}＝93.75．所以，應(yīng)選擇整箱不檢驗的方案。10

方案不合格品率

5％10％15%概率0.6概率0.3概率0.1整箱檢驗費用100100100整箱不檢驗費用62.5125187.5§12.3以最大可能性為準則的決策方法

當各種自然狀態(tài)出現(xiàn)的概率相差較大，且有一種狀態(tài)出現(xiàn)的概率明顯地高于其他自然狀態(tài)的概率時，則可以只考慮概率最大的那個自然狀態(tài)下各行動方案的損益值，從中擇優(yōu)選取最佳方案，而這就是以最大可能性為準則的決策方法。

11例12-3，目前市場上正流行羊絨服裝，某服裝廠打算在原有的基礎(chǔ)上增加羊絨大衣的生產(chǎn)?，F(xiàn)有兩種方案：方案一，引進一條新的生產(chǎn)線進行大批量生產(chǎn)；方案二，利用原有設(shè)備挖掘潛力進行小批量試產(chǎn)。通過對市場的調(diào)查、分析測算，得到的收益表如下：表12-3某服裝廠生產(chǎn)羊絨大衣的損益表

根據(jù)期望值準則，“引進新生產(chǎn)線”是最優(yōu)方案，但是從一次性損益考慮，“羊絨服裝熱下降”的概率最大，采用最大可能性為準則進行決策的結(jié)果，應(yīng)該選擇“不引進新生產(chǎn)線”方案，進行小指量試產(chǎn)。方案羊絨服裝熱繼續(xù)羊絨服裝熱下降期望收益(萬元)0.250.75引進新生產(chǎn)線240—5022.5不引進新生產(chǎn)線50102012§12.4決策樹方法決策樹是由決策點□、方案枝

、機會點○、概率枝

和終點●等構(gòu)成的一種類似樹木的決策圖。

例12-4某公司為生產(chǎn)某種新產(chǎn)品而設(shè)計了兩種基本建設(shè)方案，一個方案是建大廠，另一個方案是建小廠，建大廠需投資300萬元，建小廠需投資140萬元，兩者的使用期都是10年，無殘值。估計在壽命期內(nèi)產(chǎn)品銷路好的概率是0.7，產(chǎn)品銷路差的概率是0.3，兩種方案的年度損益值如表11-4所示。試用決策樹進行決策。表12-4年度損益值銷路好銷路差0.70.3建大廠100—20建小廠403013解：

(1)首先根據(jù)資料畫出決策樹，見圖7-1。

圖11-1決策樹

(2)計算各狀態(tài)點的期望收益值。點2：[100×0.7+(一20)×0.3]×10—300=340(萬元)；點3：(40×0.7+30×0.3)×10—140＝230(萬元)。將計算結(jié)果填入決策樹中相應(yīng)的狀態(tài)點．(3)作出抉擇。點2大于點3，即建大廠方案優(yōu)于建小廠方案。在建小廠方案上標志“∥”，表示被淘汰方案。

14§12.5貝葉斯決策方法風險型決策方法依據(jù)概率進行決策，具有一定的風險性。概率分為先驗概率和后驗概率。先險概率是根據(jù)歷史資料或主觀判斷所確定的概率，并未經(jīng)試驗證實。依此進行決策的風險必然很大。為了減少這種風險，就要通過科學試驗、調(diào)查、統(tǒng)計分析等方法獲得較為準確的信息，修正先驗概率，并據(jù)以確定各個方案的期望損益值，擬訂出可供選擇的決策方案。貝葉斯決策方法便是這種以獲得新的信息修正先驗概率，按后驗概率進行分析判斷的決策方法。

15在已具備先驗概率的情況下，一個完整的貝葉斯決策過程包括以下幾個步驟：

（1）進行預后驗分析，決定是否值得搜集補充資料以及從補充資料可能得到的結(jié)果和如何決定最優(yōu)對策；

（2）搜集補充資料，取得條件概率，包括歷史概率和邏輯概率，對歷史概率要加以檢驗，辨明它是否適合計算后驗概率；

（3）用概率乘法定理計算聯(lián)合概率，用概率加法定理計算邊際概率，用貝葉斯定理計算后驗概率；

（4）用后驗概率進行決策分析。在貝葉斯決策中，先驗分析是進行更深入分析的必要條件。決策者常?？紤]是否要搜集和分析追加的信息，并權(quán)衡所需增加的費用及其對決策者的價值，對比這些信息的費用與根據(jù)預后驗分析作出決策的風險和可能結(jié)果。所以，這種預后驗分析主要涉及到兩個問題：一是要不要追加信息，或者說追加信息對決策者有多大的價值；二是如果追加信息應(yīng)采取什么策略行動。所謂預后驗分析，實際上是后驗概率決策分析的一種特殊形式，也即用一套概率對多種行動策略組合，從中擇優(yōu)。16例12-5，某工廠要研制開發(fā)一種新型童車，首要的問題是要研究這種新產(chǎn)品的銷路A及競爭者優(yōu)劣a的情況。他們估計：當新產(chǎn)品銷路好時，采用新產(chǎn)品可盈利X11=8萬元；生產(chǎn)老產(chǎn)品，則因其他競爭者會開發(fā)新產(chǎn)品，而使老產(chǎn)品滯銷，工廠可能虧損X12=－4萬元；當新產(chǎn)品銷路不好時，采用新產(chǎn)品就要虧損X21=－3萬元；不采用新產(chǎn)品，就有可能用更多的資金來發(fā)展老產(chǎn)品，獲利X22=10萬元?，F(xiàn)確定銷路好（A1）的概率為P（A1）=0.6，銷路差（A2）的概率為P（A2）=0.4。

方案新產(chǎn)品銷路好A1新產(chǎn)品銷路差

A2期望收益(萬元)P（A1）概率0.6P（A1）概率0.4開發(fā)新產(chǎn)品U18-33.6采用老產(chǎn)品U2-4101.617采用新產(chǎn)品方案（U1）的期望值：

=X11P（A1）+X12P（A2）=8×0.6+(－3)×0.4=3.6（萬元）不采用新產(chǎn)品方案（U2）的期望值：

=X21P（A1）+X22P（A2）=(－4)×0.6+10×0.4=1.6（萬元）

以上所示的數(shù)據(jù)即為先驗分析，可根據(jù)其中所列出的期望值作為決策標準，選擇行動方案A1。采用新產(chǎn)品方案（U1）的期望值：

=X11P（A1）+X12P（A2）=8×0.6+(－3)×0.4=3.6（萬元）不采用新產(chǎn)品方案（U2）的期望值：

=X21P（A1）+X22P（A2）=(－4)×0.6+10×0.4=1.6（萬元）

以上所示的數(shù)據(jù)即為先驗分析，可根據(jù)其中所列出的期望值作為決策標準，選擇行動方案A1。18為了對先驗概率進行補充和修正，就要進行實際（自然狀態(tài)）調(diào)查。分別在銷路好（A1）和銷路差（A2）兩種情況下進行調(diào)查，結(jié)果如下：第一，在銷路好（A1）的情況（自然狀態(tài)）下進行調(diào)查，其結(jié)果對原來的先驗概率P（A1）=0.6有三種修改：（1）認為銷路好(有競爭優(yōu)勢a1)的概率為P（a1/A1）=0.8，原概率修改為P（A1）P（a1/A1）=0.6×0.8=0.48；（2）認為銷路差(無競爭優(yōu)勢a2)的概率為P（a2/A1）=0.1，原概率修改為P（A1）P（a2/A1）=0.6×0.1=0.06；（3）認為銷路不確定(優(yōu)勢不穩(wěn)定a3)的概率為P（a3/A1）=0.1，原概率修改為P（A1）P（a3/A1）=0.6×0.1=0.06。19第二，在銷路差的情況（自然狀態(tài)）下（A2）進行調(diào)查，其結(jié)果對原來的先驗概率P（A2）=0.4有三種修改：（1）認為銷路好(有競爭優(yōu)勢a1)的概率為P（a1/A2）=0.1，原概率修改為P（A2）P（a1/A2）=0.4×0.1=0.04；（2）認為銷路差(無競爭優(yōu)勢a2)的概率為P（a2/A2）=0.75，原概率修改為P（A2）P（a1/A2）=0.4×0.75=0.3；（3）認為銷路不確定(優(yōu)勢不穩(wěn)a3)的概率為P（a3/A2）=0.15，原概率修改為P（A2）P（a1/A2）=0.4×0.15=0.06。20對以上修改后的概率進行整理，得到3類共6種修改先驗概率：第a1類（1）種：認為銷路有優(yōu)勢而實際上就是好的概率：

=

第a1類（2）種：認為銷路有優(yōu)勢而實際上是差的概率：

=對以上修改后的概率進行整理，得到3類共6種修改先驗概率：第a1類（1）種：認為銷路有優(yōu)勢而實際上就是好的概率：

=

第a1類（2）種：認為銷路有優(yōu)勢而實際上是差的概率：

=21第a2類（1）種：認為銷路無優(yōu)勢而實際上就是好的概率：

=

第a2類（2）種：認為銷路無優(yōu)勢而實際上就是差的概率：

=第a2類（1）種：認為銷路無優(yōu)勢而實際上就是好的概率：

=

第a2類（2）種：認為銷路無優(yōu)勢而實際上就是差的概率：

=22

第a3類（1）種：認為銷路好壞不確定而實際上好的概率：

=

第a3類（2）種：認為不確定而實際上差的概率：

=23根據(jù)以上調(diào)查修改后的概率，針對銷路有優(yōu)勢（a1）、銷路無優(yōu)勢（a2）和銷路優(yōu)勢不確定（a3）分別對行動方案U1和U2計算期望值，并作出決策。第一套銷路好的方案：（1）銷路有優(yōu)勢（a1）時采用新產(chǎn)品方案（U1）的期望值：

E（U1/a1）=X11P（A1/a1）+X12P（A2/a1）

=8×0.923+(－3)×0.077=7.153（萬元）（2）銷路有優(yōu)勢（a1）時不采用新產(chǎn)品方案（U2）的期望值：

E（U2/a1）=X21P（A1/a1）+X22P（A2/a1）

=（－4）×0.923+10×0.077=－2.92（萬元）比較結(jié)果，選擇期望值最大方案E（U1/a1）=7.153（萬元）。24第二套銷路差的方案：（1）銷路無優(yōu)勢（a2）時采用新產(chǎn)品方案（U1）的期望值：

E（U1/a2）=X11P（A1/a2）+X12P（A2/a2）

=8×0.167+(－3)×0.833=－1.16（萬元）（2）銷路無優(yōu)勢（a2）時不采用新產(chǎn)品方案（U2）的期望值：

E（U2/a2）=X21P（A1/a2）+X22P（A2/a2）

=（－4）×0.167+10×0.833=7.66（萬元）比較結(jié)果，選擇期望值最大方案E（U2/a2）=7.66（萬元）。

25第三套銷路不確定的方案：（1）銷路優(yōu)勢不確定（a3）時采用新產(chǎn)品方案（U1）的期望值：

E（U1/a3）=X11P（A1/a3）+X12P（A2/a3）

=8×0.5+(－3)×0.5=2.5（萬元）（2）銷路優(yōu)勢不確定（a3）時不采用新產(chǎn)品方案（U2）的期望值：

E（U2/a3）=X21P（A1/a3）+X22P（A2/a3）

=（