靜力學(xué)

1-3試畫(huà)出圖示各結(jié)構(gòu)中構(gòu)件AB的受力圖

(b)

(C)(C)

1-4試畫(huà)出兩結(jié)構(gòu)中構(gòu)件ABCD的受力圖

1-8在四連桿機(jī)構(gòu)的ABCD的較鏈B和C上分別作用有力FI和F2,機(jī)構(gòu)在圖示位置平衡。

試求二力Fi和F2之間的關(guān)系。

解：桿AB,BC,CD為二力桿，受力方向分別沿著各桿端點(diǎn)連線的方向。

解法1（解析法）

假設(shè)各桿受壓，分別選取銷釘B和C為研究對(duì)象，受力如圖所示:

由共點(diǎn)力系平衡方程，對(duì)B點(diǎn)有：

Z&=0Fo-F^QCOS450=0

對(duì)C點(diǎn)有：

Z&=。F&?"cos30°=0

解以上二個(gè)方程可得:

七二牛尸2=1?63"

解法2（幾何法）

分別選取銷釘B和C為研究對(duì)象，根據(jù)匯交力系平衡條件,作用在B和C點(diǎn)上的力構(gòu)成封

閉的力多邊形，如圖所示，

對(duì)B點(diǎn)由幾何關(guān)系可知：

F?=FRCCOS45°

對(duì)C點(diǎn)由幾何關(guān)系可知：

FRC=Acos30°

解以上兩式可得：再二L63七

2-3在圖示結(jié)構(gòu)中，二曲桿重不計(jì)，曲桿AB上作用有主動(dòng)力偶M。試求A和C點(diǎn)處的約束

力。

解：BC為二力桿（受力如圖所示），故曲桿AB在B點(diǎn)處受到約束力的方向沿BC兩點(diǎn)連線的

方向。曲桿AB受到主動(dòng)力偶M的作用，A點(diǎn)和B點(diǎn)處的約束力必須構(gòu)成一個(gè)力偶才能使曲

桿AB保持平衡。AB受力如圖所示，由力偶系作用下剛體的平衡方程有（設(shè)力偶逆時(shí)針為正）:

￡M=0FA.7ibf/-sin(^+45°)-M=0

F=0.354—

Aa

其中：tan(9=-o對(duì)BC桿有：

3

FC=FH=FA=0.354^-0A,C兩點(diǎn)約束力的方向如圖所示。

2-4四連桿機(jī)構(gòu)在圖示位置平衡，已知0A=60cm,BC=40cm,作用在BC上力偶的力偶矩邊=

1N-mo試求作用在0A上力偶的力偶矩大小曲和AB所受的力尸質(zhì)。各桿重量不計(jì)。

解：

機(jī)構(gòu)中AB桿為二力桿，點(diǎn)A,B出的約束力方向即可確定。由力偶系作用下剛體的平衡條件,

點(diǎn)0,C處的約束力方向也可確定，各桿的受力如圖所示。對(duì)BC桿有：

ZM=0^-BCsin30°-Af2=0

對(duì)AB桿有：FB=FA

對(duì)0A桿有：

M=0

XM]-FAOA=0

求解以上三式可得：M=3N?叫FAH=FO=FC=5Nf方向如圖所示。

2-6等邊三角形板ABC,邊長(zhǎng)為a,今沿其邊作用大小均為F的力耳，/?，K，方向如圖a,b

所示。試分別求其最簡(jiǎn)簡(jiǎn)化結(jié)果。

先將力系向A點(diǎn)簡(jiǎn)化得（紅色的）：

FR=Fi+43Fj,MA=—Fak

方向如左圖所示。由于戶&_1而，，可進(jìn)一步簡(jiǎn)化為一個(gè)不過(guò)A點(diǎn)的力（綠色的），主矢不變,

其作用線距A點(diǎn)的距離d=無(wú)位置如左圖所示。

4

2-6b

同理如右圖所示，可將該力系簡(jiǎn)化為一個(gè)不過(guò)A點(diǎn)的力（綠色的），土矢為：FR=-2Fi

其作用線距A點(diǎn)的距離4=走。，位置如右圖所示。

4

簡(jiǎn)化中心的選取不同，是否影響最后的簡(jiǎn)化結(jié)果？

2-13圖示梁AB一端砌入墻內(nèi)，在自由端裝有滑輪，用以勻速吊起重物D。設(shè)重物重為P,AB

長(zhǎng)為/,斜繩與鉛垂方向成。角。試求固定端的約束力。

法1

解：

整個(gè)結(jié)構(gòu)處于平衡狀態(tài)。選擇滑輪為研究對(duì)象，受力如圖，列平衡方程（坐標(biāo)一般以水平向

右為x軸正向，豎直向上為y軸正向，力偶以逆時(shí)針為王）：

FB$

Z%=0+FBX=0

2Fy=0FSy-P-Pcosa=0

選梁AB為研究對(duì)象，受力如圖，列平衡方程:a

2&=oFALFBX=O

=0FAy~FBy=°

2用4=0MA-FBy-l=O

求解以上五個(gè)方程，可得五個(gè)未知量乙“匕，‘尸以‘0"0八分別為:

乃卜=/氏=_Psina（與圖示方向相反）

K，=b8,y=?（l+cosa）（與圖示方向相同）

〃A=P（l+cos。）/（逆時(shí)針?lè)较颍?/p>

法2

解：

設(shè)滑輪半徑為R.選擇梁和滑輪為研究對(duì)象，受力如圖，列平衡＞

“人工+Psina=0

26=°

M-P(l-R)-Pcosa(l-/?)-Psina

E^=°A

求解以上三個(gè)方程，可得FAX，匕，，“人分別為：

心.丫=-Psina（與圖示方向相反）

%，=P（l+cosa）（與圖示方向相同）

MA=P（l+cos?）/（逆時(shí)針?lè)较颍?/p>

2-18均質(zhì)桿AB重G,長(zhǎng)/,放在寬度為a的光滑槽內(nèi)，桿的B端作用著鉛垂向下的力凡

如圖所示。試求桿平衡時(shí)對(duì)水平面的傾角。。

解：

選AB桿為研究對(duì)象，受力如圖所示，列平衡方程:

乙MA—ODcosa2

2尸產(chǎn)二°N［）coscz-G-F=0

求解以上兩個(gè)方程即可求得兩個(gè)未知量其中:

I

2(F+G)^p

a=arccos[

(2F+G)l'

未知量不一定是力。

2-27如圖所示，已知桿AB長(zhǎng)為/，重為P,A端用一球較固定于地面上，8端用繩索CB拉

住正好靠在光滑的墻上。圖中平面408與。戶夾角為。，繩與軸Ox的平行線夾角為°,

3

已知a=0.7〃z,c=0.4/n,tana=二,夕=45",P=200N。試求繩子

4

的拉力及墻的約束力。

解：

選桿AB為研究對(duì)象，受力如下圖所示。列平衡方程：

P—rtanfr—cos9?c—FsinG-cfana=0

Z%=。2wen/>rc

用c=Q6N

P-a-F-c-FsinOa=0七二100N

z%=。BBC

由2尸丫二°和WZ二?？汕蟪鍪奘∑胶夥匠蘘M二°可用來(lái)校核。

思考題：對(duì)該剛體獨(dú)立的平衡方程數(shù)目是幾個(gè)？

2-29圖示正方形平板由六根不計(jì)重量的桿支撐，連接處皆為錢鏈。已知力戶作用在平面

BDEH內(nèi),并與對(duì)角線80成45"角，OA=A。。試求各支撐桿所受的力。

解：

桿1,2,3,4,5,6均為二力桿，受力方向沿兩端點(diǎn)連線方向，假設(shè)各桿均受壓。選板ABCD

為研究對(duì)象，受力如圖所示，該力系為空間任意力系。采用六矩式平衡方程：

^-COS45°=06=（）

ZMAO=°-6cos45°-a-Fcos45°cos45°??=0

2（受

拉）

.M8”=0-%cos45°a-Ffycos450-a=0=——F

2（受

壓）

=0%-6/+/^cos450??-Fsin450a=02（受

壓）

戶1萬(wàn)

CD=。

￡MF1?a+-a-Fsin450-a=0（受

拉）

ZMBC=。F^a-COS450-A=0民=0

本題也可以采用空間任意力系標(biāo)準(zhǔn)式平衡方程，但求解代數(shù)方程組非常麻煩。類似本題

的情況采用六矩式方程比較方便，適當(dāng)?shù)倪x擇六根軸保證一個(gè)方程求解一個(gè)未知量，避免

求解聯(lián)立方程。

2-31如圖所示，欲轉(zhuǎn)動(dòng)一置于V形槽中的棒料，需作用一力偶，力偶矩M=15OON?C”7。

已知棒料重o=400N,直徑0=25cm.試求棒料與v形槽之間的靜摩擦因數(shù)人。

解：

取棒料為研究對(duì)象，受力如圖所示。

列平衡方程：

（）

F,+/9COS45-/V2=0

F-psin450+7V,=0

NK=。2

IX=。（FX^F2）--M=0

補(bǔ)充方程：

F'=fN

五個(gè)方程，五個(gè)未知量￡,可得方程:

2M.我-桓.p.D.人+2M=0

解得Ai=0.223,/52=4.491。當(dāng)啟=4491時(shí)有：

N\=詈1呵〈°

^2（14-/j2）

即棒料左側(cè)脫離v型槽，與題意不符，故摩擦系數(shù)八"。？23。

2-33均質(zhì)桿AB長(zhǎng)40cm,其中人端靠在粗糙的鉛直墻上，并用繩子CD保持平衡，如圖所

示。設(shè)“C=15c〃2,AO=25cm,平衡時(shí)a角的最小值為45"。試求均質(zhì)桿與墻之間的靜

摩擦因數(shù),。

解：

當(dāng)a=45°時(shí)，取桿AB為研究對(duì)象，受力如圖所示。

列平衡方程：

F一7sin。=0

v

F+Tcos?！猵=0

s

______八§

Tcos。?ACCsina-TsmO-ACcosa-p----sina=0

2

附加方程:FS=fsFN

四個(gè)方程，四個(gè)未知量Ev，吊，了，￡,可求得力二0?646。

2-35在粗糙的斜面上放著一個(gè)均質(zhì)棱柱體，4,4為支點(diǎn)，如圖所示。若A3=3C=AC,

人和B干斜而間的靜摩擦因數(shù)分別為和＜2.試求物體平衡時(shí)斜面與水平面所形成的最

大傾角ao

解：選棱柱體為研究對(duì)象，受力如圖所示。假設(shè)棱柱邊長(zhǎng)為a,重為P,列平衡方程

rFM-a-Pcosa?—+Psina—=0

M-0

.八NB22A/3

，

—

—M-0

TI,8-Fv&,a+Pcosa-+Psina-^==0

F3附

?-2273

LK

+FB-Psina=0

如果棱柱不滑動(dòng),則滿足補(bǔ)充方程"=3A時(shí)處于極限平衡狀態(tài)。

=

“8f$2^NB

V

解以上五個(gè)方程,可求解五個(gè)未知量6耳小品，尸其中:

亞人十九)

tana=

⑴

當(dāng)物體不翻倒時(shí)O,則:

a<60°⑵

即斜面傾角必須同時(shí)滿足(1)式和(2)式,棱柱才能保持平衡。

3?1048工。和。七三桿連接如圖所示。桿OE上有一插銷”套在桿AC的導(dǎo)槽內(nèi)。試求在水

平桿DE的一端有一鉛垂刀尸作用時(shí)，桿AB所受的力。設(shè)4。=DB,DH=HE,BC=DE,

桿重不計(jì)。

解：

假設(shè)桿AB,DE長(zhǎng)為2a。取整體為研究對(duì)象，受力如右圖所示,

2>c=0F^y-2t/=0

皈，二。

取桿DF.為研究對(duì)象.受力如圖所示，列平衡方程：

a-F-a=0F[)y=F

=2F

0FDX

取桿AB為研究對(duì)象,受力如圖所示，列平衡方程：

￡Fy=0后1，+/小，+尸件=0

“?"一/（與假設(shè)方向相反）

2>A=。FDxa+FBx'2a=^

口84二一/（與假設(shè)方向相反）

-f7Ax?2a-A，”0

&X二一尸（與假設(shè)方向相反）

3.124民4仁4。和8（7四桿連接如圖所示。在水平桿A8上作用有鉛垂向下的力尸。接觸

面和各錢鏈均為光滑的，桿重不計(jì)，試求證不論力尸的位置如何，桿AC總是受到大小等于

產(chǎn)的壓力。

解：

取整體為研究對(duì)象，受力如圖所示，列平衡方程：

ZMc=0FD-b-Fx=0

取桿AB為研究對(duì)象，受力如圖所示，列平衡方程：尸0

=°FBb-Fx=O

FB=-F

b

桿AB為二力桿，假設(shè)其受壓。取桿AB和AD構(gòu)成的組合體為研究對(duì)象，受

列平衡方程：

2加￡二0（FR+FD）T+F.，-X）_FAC?；=U

解得=命題得證。

注意：銷釘A和C聯(lián)接三個(gè)物體。

3?14兩塊相同的長(zhǎng)方板由較鏈C彼此相連接，且由錢鏈A及B固定，如圖所示，在每一平

板內(nèi)都作用一力偶矩為M的力偶。如忽略板重，試求較鏈支座A及8的約束力。

解：

取整體為研究對(duì)象，由于平衡條件可知該力系對(duì)任一點(diǎn)之矩為零，

因此有：

=0MA（FB）-M+M=0

即弓必過(guò)A點(diǎn)，同理可得匕必過(guò)B點(diǎn)。也就是&和F"是大小相等,

方向相反且共線的一對(duì)力，如圖所示。

取板AC為研究對(duì)象，受力如圖所示，列平衡方程：

!>c=0

FASin45°-a-FAcos45°b-M=0

解得：

吊=』1"■（方向如圖所示）

3?20如圖所示結(jié)構(gòu)由橫梁A3,和三根支承桿組成，載荷及尺寸如圖所示。試求A處的約

束力及桿1,2,3所受的力。

解：

支撐桿1,2,3為二力桿，假設(shè)各桿均受壓。選梁BC為研究對(duì)象，受力如圖所示。其中均

布載荷可以向梁的中點(diǎn)簡(jiǎn)化為一個(gè)集中力，大小為2qa,作用在BC桿中點(diǎn)。列平衡方程：

B=07*3sin450.a-2qaa-M=0

氏=血i-（一M+2網(wǎng)）（受壓）

a

選支撐桿銷釘D為研究對(duì)象，受力如右圖所示。列平衡方程:

￡久=0E-Ecos45°=0

Fj=—+2qa（受壓）

a

一七一七在（受拉）

Z4=osin45°=0F2=-（—+2）

選梁AB和BC為研究對(duì)象，受力如圖所示。列平衡方程：

YFV=0FX+FCOS45°=0F^=-（—+2qa）（與假設(shè)方向相反）

X3a

例

ZPy-0^Ay+%+乃sin45°-P-4qa=0FAy=P+a

=0MA+7*2-a-P2a-4qa?2。+丹sin45°3a-M=0

MA=4q〃2+2Pa-M（逆時(shí)針）

3-21二層三較拱由和EG四部分組成，彼此間用較鏈連接，所受載荷如圖所

示。試求支座A8的約束力。

解?:g-

選整體為研究對(duì)象，受力如右圖所示。列平衡方程：

EMA-o

F^y-2a—F2a=0F^y=F

EMO

8--F^-2a—F-2a=0F^=-F

Zyy

今=O

尸Ar十尸叢十尸=°（1）

由題可知桿DG為二力桿，選GE為研究對(duì)象，作用于其上的力匯及

受力如圖所示，畫(huà)出力的三角形，由幾何關(guān)系可得:

口叵口

Fp=----卜

2。

取CEB為研究對(duì)象，受力如圖所示。列平衡方程：

=。

?a+Fgy?。一生sin45°-a=0^Bx=

代入公式（1）可得：

「F

FAX=--

FB.

3?24均質(zhì)桿A3可繞水平軸A轉(zhuǎn)動(dòng)，并擱在半徑為，?的光滑圓柱上，圓柱放在光滑的水平面

上，用不可伸長(zhǎng)的繩子AC拉在銷釘A上，桿重16N,AB=3f\AC=2ro試求繩的拉力

和桿A8對(duì)銷釘A的作用力。

\//rAx

解：

取桿AB為研究者豪7飾r量必依力如思廝示。列平衡方程：

23=0M.百一P^cosi60°=0..

N]=6.9n3o(zN)

Z"二0/加-州5抽60°=()FA.X=6(N)

￡Fy=0F^,+N\cos600-」P=0%=12.5(N)

取圓柱C為研究對(duì)象，受力如圖所示。列平彳衡方程：

WX=。Nicos300-Tcos3Cl°=0T=6.93(N)

注意：由于繩子也拴在銷釘上，因此以整體;為研究對(duì)象求得的A處的約束力不是桿AB對(duì)

銷釘?shù)淖饔昧Α?/p>

3-27均質(zhì)桿/W和BC完全相同，A和B為8?鏈連接，C端靠在粗糙的墻上，如圖所示。設(shè)

靜摩擦因數(shù)￡二0353。試求平衡時(shí)夕角的；范圍。

解：

取整體為研究對(duì)象，設(shè)桿長(zhǎng)為L(zhǎng),重為P,Q9力如圖所示。列平衡方程：

p

yM、=0F.-2Lsin^-2P--cos^=0FM=-------

=八八2八2tang

(1)

取桿BC為研究對(duì)象，受力如圖所示。列平衡方程：

±MB=0K/Usine+P*|cose-EZ.cos6=()Fs=P

(2)

E'JA

尸砂

N'

ACF

F<FN1

補(bǔ)充方程：$一*

將(1)式和(2)式代入有:tan"”,即0K10%

2

3?30如圖所示機(jī)構(gòu)中，已知兩輪半徑量R=10c〃?，各重P=9N,桿AC和AC重量不計(jì)。

輪與地面間的靜摩擦因數(shù)人二02,滾動(dòng)摩擦系數(shù)5=O.lcvn.今在桿中點(diǎn)加一垂直力

F。試求：平衡時(shí)尸的最大值％ax：

當(dāng)尸=Enax時(shí)，兩輪在。和￡點(diǎn)所受到的滑動(dòng)摩擦力和滾動(dòng)摩擦力偶矩。

解：

取整體為研究對(duì)象，受力如圖所示，列平衡方程：

JE心=oJFSD-FSE=（）

|EF.y=°\FND+FNE-F_2P=0

由題可知，桿AC為二力桿。作用在桿BC上的力有主動(dòng)力產(chǎn)，以及B和C處的約束力七

取輪A為研究對(duì)象，受力如圖所示，設(shè)'4的作用線與水平面交于F點(diǎn)，列平衡方程

FSD?R_M。=0

=o(FND-F),R-MD=0

取輪B為研究對(duì)象,受力如圖所示，設(shè)盤的作用線與水平面交于G點(diǎn),

EMB=0M￡—FSE?R=o

1>G=。ME+(P—FNE),Rtan<9=0

解以上六個(gè)方程，可得：

13

FND=P+不FNE=P+'F

FSD=FSE=:尸MD==；FR

4,4

若結(jié)構(gòu)保持平衡，則必須同時(shí)滿足：

MD&5FND,ME^BFNE,FSDW"FND,FSEfsFNE

即：

R-5A-3bi-fs\-3fsR-5

因此平衡時(shí)產(chǎn)的最大值A(chǔ)?=6%,此時(shí)：

FSD=FSE=0.091(N)M[)=ME=0.91(Ncm)

3?35試用簡(jiǎn)捷的方法計(jì)算圖中所示桁架1,2.3桿的內(nèi)力。

解：

由圖可見(jiàn)桿桁架結(jié)構(gòu)中桿CF,FG,EH為零力桿。用剖面SS將該結(jié)構(gòu)分為兩部分，取上面

部分為研究對(duì)象，受力如圖所示，列平衡方程：

2>c=o

—/sin。一FH=0用=-31.3（受拉）

F?+Fjcos。一%二06=41.67（受壓）

3-38如圖所示桁架中，A8COEG為正八角形的一半，4E,GC,G8各桿相交但不連接。

試求桿4c的內(nèi)力。

解?：假設(shè)各桿均受壓。取三角形BCG為研究對(duì)象，受力如圖所示。列平衡方程：

=0FCD=/（受壓）

一9J+」

其中：2+拒，解以上兩個(gè)方程可得：戶*?=6586/（受壓）

3?40試求圖中所示桁架中桿1和2的內(nèi)力。

解：

取整體為研究對(duì)象，受力如圖所示。列平衡方程:

ZMA=OF8-2a-F-2a-F-3a=0FB=2.5F

用截面S-i殳力如圖所

示。列平衡方程：

7

=0F-a+F-a-F-3a=0F,二一/（受拉）

B26

=*"（受拉）

Z&=02F_F「F?=0F,

6

4-1力船垂地作用于桿AO上,A°=68O,CO|=5DOi9在圖示位置上杠桿水平，桿。。與

。石垂直。試求物體M所受的擠壓力戶”的大小。

解：

1.選定由桿OA,O.C,DE經(jīng)成的系統(tǒng)為研究對(duì)象，該系統(tǒng)具有理想約束。作用在系統(tǒng)上的主

動(dòng)力為F，F(xiàn)M。

2.該系統(tǒng)的位置可通過(guò)桿OA與水平方向的夾角0完全確定，有一個(gè)自由度。選參數(shù),為

廣義坐標(biāo)。

3.在圖示位置，不破壞約束的前提下，假定桿0A有一個(gè)微小的轉(zhuǎn)角陰，相應(yīng)的各點(diǎn)的虛

位移如下：

3r

SrA=OA^f&衛(wèi)=百豆?陽(yáng)，C=0x0d0

=Q\D?dB,,3r力=

代入可得：&人=

4.由虛位移原理匯"（片）=°有:

F^rA-FM?5%=（30/一加）加后二0

對(duì)任意雕工。有：FM=^F,物體所受的擠壓力的方向豎直向下。

4-4如圖所示長(zhǎng)為/的均質(zhì)桿A-其A端連有套簡(jiǎn)，乂可沿鉛垂桿滑動(dòng)。忽略摩擦及套筒重

量，試求圖示兩種情況平衡時(shí)的角度°。

解：4a

1.選桿AB為研究對(duì)象，該系統(tǒng)具有理想約束。設(shè)桿重為P,作用在桿上的主動(dòng)力為重力。

2.該系統(tǒng)的位置可通過(guò)桿AB與z軸的夾角e完全確定，有一個(gè)自由度。選參數(shù)e為廣義

坐標(biāo)。

由幾何關(guān)系可知：

桿的質(zhì)心坐標(biāo)可表示為:

=-------------------------cos^

3.在平衡位置，不破壞約束的前提下，假定桿AB逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)微小的角度〃，則質(zhì)心

C的虛位移：

&C=-----------+-sin<9-6^

si"2

4.由虛位移原理匯刖（e）=°有:

一P?&c=-P(-------^―+—sin<9)宓=0

sin"2

對(duì)任意&9H。有：

--------------F—sin<9=0

sin"2

即桿AB平衡時(shí)：

0=arcsin(-^-)3

解：4b

1.選桿AB為研究對(duì)象，該系統(tǒng)具有理想約束。設(shè)桿重為P,作用在桿上的主動(dòng)力為重力。

2.該系統(tǒng)的位置可通過(guò)桿AB與z軸的夾角e完全確定，有一個(gè)自由度。選參數(shù)e為廣義

坐標(biāo)。

由幾何關(guān)系可知：

R

ZA=-----------

sin0

桿的質(zhì)心坐標(biāo)可表示為：

RI八

----------------cost/

cSing2

3.在平衡位置，不破壞約束的前提下，假定桿AB順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)微小的角度必，則質(zhì)心

C的虛位移：

R

cos。?必-4-—sin0?30

sin26?2

4.由虛位移原理\"（耳）=°有:

-P=一尸（——cos夕+,sin。）彭=0

sin292

對(duì)任意49大。有：

---------=-cos3H—sin夕=0

sin26^2

即平衡時(shí)夕角滿足：2RcosJ-/sin3e=0。

Cl

4-5被抬起的簡(jiǎn)化臺(tái)式打字機(jī)如圖所示。打字機(jī)和擱板重p,彈簧原長(zhǎng)為5,試求系統(tǒng)在e角

保持平衡時(shí)的彈簧剛度系數(shù)值。

解：

1.選整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象，此系統(tǒng)包含彈簧。設(shè)彈簧力耳，入，且月=八,將彈簧力視

為主動(dòng)力。此時(shí)作用在系統(tǒng)上的主動(dòng)力有石，鳥(niǎo)，以及重力產(chǎn)。

2.該系統(tǒng)只有一個(gè)自由度，選定J為廣義坐標(biāo)。由幾何關(guān)系可知：

z4=z^=62-sin<9

3.在平衡位置，不破壞約束的前提下，假定有一個(gè)微小的虛位移加，則質(zhì)心的虛位移為：

SZQ=應(yīng)4=5ZB=acosO-60

/c?夕

/=2asm一0八

彈簧的長(zhǎng)度2,在微小虛位移四下：

況=accsJ?68

2

4.由虛位移原理\"(6)=°有：

/□

P?8zc-F2S/=(Pa-cosd-F2a-=()

=k(J2asin———)

其中22,代入上式整理可得：

[2尸cos。一Z：67(2sin0—cos—)ly(^<9=0

由于aw。，對(duì)任意刈工?？傻闷胶鈺r(shí)彈簧剛度系數(shù)為：

.2Pcos6?

k=----------------------百

a(2sin夕—cos—)

4-6復(fù)合梁AD的一端砌入墻內(nèi)，B點(diǎn)為活動(dòng)較鏈支座，C點(diǎn)為較鏈，作用于梁上的力

￡=5ZMF2=4KV，K=3AN,以及力偶矩為M=2&N-〃z的力偶，如圖所示。試求固

定端4處的約束力。

解:

解除A端的約束，代之以《心，入門"A,并將其視為主動(dòng)力，此外系統(tǒng)還受到主動(dòng)力

F{7F2,F^M的作用。系統(tǒng)有三個(gè)自由度，選定A點(diǎn)的位移X八，％和梁AC的轉(zhuǎn)角0為

廣義坐標(biāo)。

1.在不破壞約束的前提下給定一組虛位移"八#°，為八=°，9=°,如圖所示。由

虛位移原理工甌（耳）=°有：

FAx=O

對(duì)任意及A*?？傻茫?0

2.在不破壞約束的前提下給定一組虛位移&A=°，》A=°，麗=°,如下圖所示。

由虛位移原理￡區(qū)"（百）一0有：

由幾何關(guān)系可得各點(diǎn)的虛位移如卜:

=?3==:今八

代入⑴式：

（_7%,+耳+；己—行+：/）,柒4=0

對(duì)任意血工0可得：外=4（"）,方向如圖所示。

3.在不破壞約束的前提下給定一組虛位移及八=°，今入=°，初如上圖所示。

由虛位移原理工*（耳）=°有：

—M八??F、?6y+F-6y—F-Sy4-M?^3—0

x22x3⑵

有幾何關(guān)系可得各點(diǎn)的虛位移如下：

砌=28cp?3=力C=3&P

30=B(p今2=母=(ip

代入(2)式：

C-MA+2巧+乃一3入+")仔=0

對(duì)任意6。工°可得：M八=個(gè)"〃1),逆時(shí)針?lè)较颉?/p>

4?7圖示結(jié)構(gòu)上的載荷如下：q=2kN，n；力F】=4kN；力Fz^kN,其方向與水平成

60”角；以及力偶，其力懦矩為M=18ZN-〃2°試求支座處的約束力。

解：

解除B點(diǎn)處的約束，代之以力心，并將其視為主動(dòng)力，系統(tǒng)還受到主動(dòng)力片，

的作用，如圖所示。在不破壞約束的前提下，桿AC不動(dòng)，梁CDB只能繞C點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)。系統(tǒng)有

一個(gè)自由度，選轉(zhuǎn)角夕為廣義坐標(biāo)。給定虛位移加，由虛位移原理￡.(月)=°有:

FB?SrBcos45°+A7?6J+乃?@篤cosl50°一八今3=。

(1)

各點(diǎn)的虛位移如下：

5rB=672?用今2=9?宓?3=3?9

代入⑴式整理可得：

9A/3

(6FB+M三一3巧)母=0

對(duì)任意Mx?？傻茫簭?fù)=18.6(4%),方向如圖所示。

2.求固定端A處的約束力

解除A端的約束，代之以尸叱尸2rM八，并將其視為主動(dòng)力，系統(tǒng)還受到主動(dòng)力

居，聞的作用.系統(tǒng)有三個(gè)自由度，選定A點(diǎn)的位移x2乃和梁AC的轉(zhuǎn)角夕為廣

義坐標(biāo)。

2a.求又

在不破壞約束的前提下給定一組虛位移屆八"°，⑦'A=°，彭=°,此時(shí)整個(gè)結(jié)構(gòu)平移，如

上圖所示。由虛位移原理2*(耳)=°有：

F4r,&A+再?&2cos1200=0②

各點(diǎn)的虛位移如下：

&]=&2=&A

代入(2)式整理可得：

—巧一。s&A》"。

F

對(duì)任意及人工°可得：AX=2(",方向如圖所示。

2b.求仁

在不破壞約束的前提下給定一組虛位移&A=O,X0,9=0,此時(shí)梁AC向上平

移，梁CDB繞D點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，如上圖所示。由虛位移原理Z"(5)=°有：

FAy^yA-乃.?3+&e'2cos30°-MM=()八

,(3)

各點(diǎn)的虛位移如下：

為2=?3M==<aA

2236

代入⑶式整理可得:

Ici

（FAy一萬(wàn)&+~F2一5“）,冷〃=°

對(duì)任意風(fēng)會(huì)0可得：/=3.8(XJV),方向如圖所示。

2c.求知人

在不破壞約束的前提下給定一組虛位移&八=°，⑦?=°，數(shù)工°，此時(shí)梁AC繞A點(diǎn)轉(zhuǎn)

動(dòng)，梁CDB平移，如上圖所示。由虛位移原理笈)=°有：

—MA,B9+/*],&■]+/*2,cosl200=0(4)

各點(diǎn)的虛位移如下：

物=3do杰2=&C=6箔

代入⑷式整理可得：

(-MA+3Fl-3F2)^=0

對(duì)任意加工?？傻茫焊?-24伏M〃z),順時(shí)針?lè)较颉?/p>

4.8設(shè)桁架有水平力K及鉛垂力尸2作用其上，且AD=DC=CE=BE=DK=KE,

a=30"。試求桿1,2和3所受的力。

解：

假設(shè)各桿受拉，桿長(zhǎng)均為a。

1.求桿1受力

去掉桿1,代之以力身，系統(tǒng)有一個(gè)自由度，選AK與水平方向的夾角夕為廣義坐標(biāo)，如

上圖所示。在不破壞約束的條件下給定一組虛位移，此時(shí)三角形ADK形狀不變，繞A點(diǎn)轉(zhuǎn)

動(dòng)，因此有際上AD,“AK,且：

=a-dO3伏—\f3a?SO

滑動(dòng)支座B處只允許水平方向的位移，而桿BK上K點(diǎn)虛位移沿鉛垂方向，故B點(diǎn)不動(dòng)。

三角形BEK繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)電上BE,且：

^rE=Bp=69

對(duì)剛性桿CD和桿CE,由于防-LCDy3rE_LCE,因此西7=°。由虛位移原理

匯汕（e）=o有：

（巧+勺）?而CQS600+6左cos60°=0

代入各點(diǎn)的虛位移整理可得：

（g+2弓）口箔=0

P、=一五

對(duì)任意加工0可得：2（受壓）。

2.求桿2受力

去掉桿2,代之以力己，系統(tǒng)有一個(gè)自由度，選BK與水平方向的夾角夕為廣義坐標(biāo)，如

上圖所示。在不破壞約束的條件下給定一組虛位移，桿AK繞A點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，因此有

^±AKf且：

SrK=yf3a?SO

同理可知B點(diǎn)不動(dòng)，三角形BEK繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)外,耳石，且：

5rE=。?題=^rD=a

桿AD繞A點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)孤±ADf由剛性桿DE上點(diǎn)E的虛位移可確定D點(diǎn)位移方向如圖

所示，且：

=a、SO

同理可知%=°。由虛位移原理￡m（月）=°有：

7*1?6ri）cosl20°+Py?血）cosl50°+Fh'^rKcos120°=0

代入各點(diǎn)的虛位移整理可得：

（g+2行生）a彭=0

一巫

對(duì)任意eX?？傻茫?6（受壓）。

3.求桿3受力

去掉桿3,代之以力G,系統(tǒng)有一個(gè)自由度，選AK與水平方向的夾角9為廣義坐標(biāo)，如

上圖所示。在不破壞約束的條件下給定一組虛位移，三角形ADK繞A點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，

砌）±AD,^rK±AK且：

=V3cz-SO

同理可知B點(diǎn)不動(dòng)，S7'BE,且：

5力=§9—a■密6丫c~0

由虛位移原理￡附（耳）=°有：

Fx?e>rDcos60°+F^3rEcosl500+八?風(fēng)cosl20°=0

代入各點(diǎn)的虛位移整理可得：''

（F]一20七）々詡=0

P

對(duì)任意9工0可得：36（受拉）。

4?12桿長(zhǎng)2b,重量不計(jì)，其一端作用鉛垂常力尸，另一端在水平滑道上運(yùn)動(dòng)，中點(diǎn)連接彈

簧，如圖所示。彈簧剛度系數(shù)為匕當(dāng)y=0時(shí)為原長(zhǎng)。不計(jì)滑塊的重量和摩擦，試求平衡

位置）'，討論此平衡位置的穩(wěn)定性。

解：

F大小和方向不變，常力也是有勢(shì)力。取桿和彈簧構(gòu)成的系統(tǒng)為研究對(duì)象。該系統(tǒng)為保守系

統(tǒng)，有一個(gè)自由度，選夕為廣義坐標(biāo)，如圖所示。取e=。為零勢(shì)能位置，則系統(tǒng)在任意

位置的勢(shì)能為：

V=%單+Vp

19

=—k（b——F（2b—2/?cos（9）

=；加（1—cos。/-2Fb（\—cos。）

dV

=0

由平衡條件de可得:

6伙伙l-cos0）—2尸]sin，=0

有：sin0=O和左/1一。。5夕）一2尸=0

7F

即：9=0和cos〃=l--------

kb

也就是：y=0和v=二dF（kb—尸）兩個(gè)平衡位置。

k

為判斷平衡的穩(wěn)定性，取勢(shì)能V的二階導(dǎo)數(shù)：

d2V

------=（kb-2F）〃cos￡—k?2cos2^

d02

當(dāng)。=0時(shí)，

之衛(wèi)=-2Fbv0,即y=0時(shí)是不穩(wěn)定立衡。

de2,

oF

當(dāng)cos。=1-----時(shí)，

kb

2

dV=、F(kb-F)

dO1

由卜式可知：

1.當(dāng)cos9=l-?且姑,尸時(shí),等>0即）,[/（kb—F）是穩(wěn)定平衡位置:

kb

2.當(dāng)cosO=l—?且妨《尸時(shí),祿W0即y=,F（kb—尸）是不穩(wěn)定平衡位置。

kb

4-15半徑為，?的半圓住在另一半徑為R的半圓柱上保持平衡，如圖所示。試討論對(duì)無(wú)滑動(dòng)

的滾動(dòng)擾動(dòng)的穩(wěn)定性。

解：

取半在為??的半圓柱為研究對(duì)象，圓心為

Co半圓柱作純滾動(dòng)，有一個(gè)自由度，取兩個(gè)

半圓心連線與y軸夾角0為廣義坐標(biāo)。作用在

半圓柱上的主動(dòng)力為重力，系統(tǒng)為保守系統(tǒng)，

如圖所示，其中〃=生。由于半圓柱作純滾

3冗

動(dòng),有:

加=%⑴

取坐標(biāo)原點(diǎn)為零勢(shì)能位置，則半圓柱在任意位

置的勢(shì)能為：

4尸

V=mgzc=mg[{R+r)cos6?-----cos(/?+J)]

3九

代入(1)式有：

,r/c、八4r,R+r八、、

VT=r)cos/9-----cos(------9)]

3兀r

dV1I"

=mg(R+r)f---sin(------9)一sin9]

~ae3兀r

由平衡條件把=o可得。=o為平衡位置。勢(shì)能V的二階導(dǎo)數(shù):

de

d2V、14(R+廠),R+rA、4

-----=mg(7?+r)[cos(。)一cos〃]

d。-3"---------