2024—2025年中學生能力訓練數(shù)學階段練習（四）（本試卷共23道題滿分120分考試時間共120分鐘）第一部分選擇題（共30分）一、選擇題（本題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.關于的方程的一個根為，則另一個根為（）A. B. C. D.答案：C解：設方程的兩個根分別為、，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關系可得：，設，則有，．故選：C．2.下列標志中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A. B. C. D.答案：B解：A選項：既不是軸對稱圖形又不是中心對稱圖形，故A選項不符合題意；B選項：既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，故B選項符合題意；C選項：是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故C選項不符合題意；D選項：既不是軸對稱圖形，又不是中心對稱圖形，故D選項不符合題意；故選：B．3.下列事件是隨機事件的是（）A.打開電視機正在播放廣告B.水蒸氣液化時會放熱C.地球上，太陽從東方升起D.在一個僅裝著白球的袋中摸球，摸出紅球答案：A解：A、打開電視機正在播放廣告，是隨機事件，符合題意；B、水蒸氣液化時會放熱，是必然事件，不符合題意；C、地球上，太陽從東方升起，是必然事件，不符合題意；D、在一個僅裝著白球的袋中摸球，摸出紅球，是不可能事件，不符合題意；故選：A．4.下列函數(shù)關系式中，①，②，③，④，⑤，⑥，是的反比例函數(shù)的個數(shù)是（）A2個 B.3個 C.4個 D.5個答案：C解：是的反比例函數(shù)的是①，②，④，⑤，共4個．故選：C．5.《九章算術》“勾股”章有一道題：“今有戶高多于廣六尺八寸，兩隅相去適一丈，問戶高、廣各幾何．”大意是說：已知長方形門的高比寬多尺寸，門的對角線長丈，那么門的高和寬各是多少（丈尺，尺寸）？若設門的寬為寸，則所列方程符合題意的是（）A. B.C. D.答案：B解：設長方形門的寬為寸，則門的高為寸，門的對角線長丈，1丈=10尺=100寸，根據(jù)題意可得：．故選：B．6.在一個不透明的盒子中裝有個白球，其余為黃球，它們除顏色不同外，其余都相同，若從中隨機摸出一個球，顏色是白球的概率為，則黃球的個數(shù)是（）A. B. C. D.答案：C解：設黃球的個數(shù)為個，根據(jù)題意可得：，解得：，經(jīng)檢驗，是原分式方程的解，，即：黃球的個數(shù)是個，故選：C．7.將拋物線向左平移個單位，再向上平移個單位，得到的拋物線的解析式是（）A. B.C. D.答案：A解：將拋物線向左平移個單位，再向上平移1個單位，得到的拋物線的解析式為．故選：A．8.為的弦，為的中點，將沿翻折，翻折后的弧恰好經(jīng)過圓心為上一點，連接，則的度數(shù)是（）A. B. C. D.答案：B解：如圖，連接交于，連接，由對折可得：，∵為的中點，∴，∴，∴，∴；故選：B9.如圖，矩形的頂點分別在直線上，直線且相鄰兩直線間距離相等．若，直線與的夾角，則的長為（）A. B. C. D.答案：D解：作于點，于點，設相鄰兩直線的距離為，由題意得，在中，，，∴，∴，在矩形中，，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，故選：

D．10.二次函數(shù)（為常數(shù)），當時，的最大值為，則的值為（）A. B. C.或 D.或答案：D解：二次函數(shù)的對稱軸為，當時，二次函數(shù)有最大值，解得：，當時，二次函數(shù)有最小值，二次函數(shù)的對稱軸為，，當時，有最大值，可得：，解得：，綜上所述的值為或．故選：D．第二部分非選擇題（共90分）二、填空題（本題共5小題，每小題3分，共15分）11.關于x的一元二次方程有實數(shù)根，則的取值范圍是______．答案：且由題意可知：，∴，∵，∴且，故答案為：且．12.若點，在同一個反比例函數(shù)的圖像上，則的值為______．答案：解：設反比例函數(shù)解析式為，將代入，得：，∴，∴，將代入中，得：，∴，故答案為：．13.如圖所示的網(wǎng)格中每個小正方形的邊長都是，，，，的頂點都在小正方形的頂點，其中與相似的三角形是______．答案：解：在中，，，，的三邊之比為：；在中，，，，的三邊之比為：，與相似；在中，，，，的三邊之比為：，與不相似；在中，，，，的三邊之比為：，與不相似；故答案為：．14.是繞點旋轉后得到的，點恰好落在上，若，，則的度數(shù)是______．答案：解：，，，由旋轉可得：，，，，故答案為：．15.菱形的邊長為12，，點為邊的中點，點從點向點運動，點從點向點運動，點的運動速度是點運動速度的2倍，連接，過點作，垂足為，連接，則的最小值是______．答案：##解：如圖，連接交于點M，連接，，設中點O，連接和，∵菱形的邊長為12，，∴和都是等邊三角形，∴，，∵點E為邊的中點，∴，，∴，∵，∴，∴四邊形內(nèi)接于為直徑的，∴當點在線段上時，有最小值，作于點，∴，∵，∴是的中位線，∵點F的速度為每秒1個單位，點G的速度為每秒2個單位，∴，∵，∴，∴，∴，，∴，，∴，，∴，，∴，∴的最小值是．故答案為：．三、解答題（本題共8小題，共75分．解答應寫出文字說明、演算步驟或推理過程）16.用適當?shù)姆椒ń庖辉畏匠蹋?）（2）答案：（1）（2）【小問1詳解】解：；【小問2詳解】解：或17.如圖，在邊長為的小正方形組成的網(wǎng)格中建立平面直角坐標系，小正方形的頂點為格點，與的頂點都在格點上．（1）是由繞點順時針旋轉得到的，請直接寫出點的坐標．（2）作，使與關于軸對稱；（3）與關于直線對稱，請畫出直線，直接寫出直線的解析式．答案：（1）（2）見解析（3）圖見解析，【小問1詳解】解：由題意可得：為旋轉中心，與、與是對應點，如圖，分別作、的垂直平分線、，則、的交點即為點，；【小問2詳解】解：如圖，即為所求；【小問3詳解】解：如圖，直線為所求，由圖可知，直線過點和，設直線的解析式為，將點和代入得：，解得：，直線的解析式為．18.四邊形為平行四邊形，點和點分別為邊，的中點，連接、，交對角線于點．（1）若，求的長；（2）如果，求證：．答案：（1）（2）證明見解析【小問1詳解】解：如圖，連接交于點，∵點和點分別為邊，中點，∴是中位線，∴，∴，∴，∵四邊形為平行四邊形，，∴，∴，∴的長為；【小問2詳解】證明：∵為邊的中點，∴，∵，∴，∵∴，∴，∵，∴．19.已知拋物線的解析式為（為常數(shù)）（1）當時，求拋物線與軸的兩個交點分別為和之間的距離；（2）求證：拋物線與軸必有兩個交點．答案：（1）（2）證明見解析【小問1詳解】解：∵，∴，令，得：，解得：，，∴；【小問2詳解】證明：令，則：，∵，，，∴，∵，∴，∴拋物線與軸必有兩個交點．20.如圖，中，，，點為的中點，以為原點，所在直線為軸，建立平面直角坐標系，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，交于點．（1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）直線的解析式為，請根據(jù)圖象寫出不等式的解集答案：（1）（2）或【小問1詳解】解：如圖，取的中點E，連接，∵C為的中點，E為的中點，∴，，，∴，∴，∵的圖象經(jīng)過點C，∴，∴；【小問2詳解】解：將代入得，∴，∴結合圖象，得不等式的解集是或．21.如圖，在中，為的直徑，與相交于點，過點作于點延長線交于點．（1）求證：與相切；（2）若，求的長答案：（1）見解析（2）【小問1詳解】證明：如圖，連接，，∵為的直徑，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵是半徑，∴與相切；【小問2詳解】解：如圖，連接，∵為的直徑，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，，在中∵，，∴，∴∴，∴，∴．22.如圖1，將繞著直角頂點按順時針方向旋轉得到，點落在點處，點落在點處，連接．（1）求證：；（2）如圖2，取的中點，連接，求證：；（3）如圖3，過點作垂足為，交于點，若，求的面積答案：（1）見解析（2）見解析（3）【小問1詳解】證明：如圖，過點A作垂足為E，過點C作垂足為F，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴；【小問2詳解】證明：如圖，延長到點F，使，連接，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，，∴，∴；【小問3詳解】解：如圖，過點C作垂足為G，過點C作垂足為N，過點B作垂足為M，∵，，∴，∴，在中，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴①同理②①×②得∴∴．23.【概念感知】在平面直角坐標系中，關于點和函數(shù)圖象，給出如下定義：過點作軸的垂線交函數(shù)圖象于點，點與點的縱坐標之差稱為點到函數(shù)圖象的有向量．【概念理解】（1）如圖1，點在直線上，函數(shù)圖像對應的解析式為．若點的橫坐標是，則點到函數(shù)圖像的有向量等于______；若點到函數(shù)圖像的有向量等于，求點的坐標；【概念應用】（2）如圖，函數(shù)圖像對應的解析式為；函數(shù)圖像對應的解析式為，點的坐標為，其中，若點到函數(shù)圖像的有向量與點到函數(shù)圖像有向量之和等于，且的最大值為，求的值．答案：（1）或（2）或【小問1詳解】解：將點的橫坐標代入，得，將點的橫坐標代入，得，點到函數(shù)圖像的有