第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年河南省部分名校高一（下）聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（3月份）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.下列量中是向量的為(

)A.課桌的高度 B.一段路程的公里數(shù)

C.上課時(shí)老師敲擊黑板的頻率 D.小汽車受到路面的彈力2.已知集合A={1,a}，集合B滿足A∪B={1,e,π}，則a的所有可能取值的集合為(

)A.{1} B.{e} C.{π} D.{e,π}3.已知向量m=(2,?1)，n=(?1,3)，則m?(A.8 B.10 C.12 D.164.已知向量a=(3,?1)，向量b=(3,4)，則a在b上的投影向量的坐標(biāo)為(

)A.(35,45) B.(?5.若a，b是平面內(nèi)一組不共線的非零向量，則下列也可以作為一組基底向量的為(

)

①a?b和2025b?2025a

②a+b和a?bA.①② B.②③ C.③④ D.①④6.已知3x×9y=3xy，且x，A.22 B.4 C.47.在一個(gè)建筑工程中，工程師需要根據(jù)斜坡的傾斜角度來計(jì)算一些結(jié)構(gòu)的受力情況.設(shè)斜坡的傾斜角度為θ(0<θ<π2)，經(jīng)測(cè)算分析，發(fā)現(xiàn)tanθtan2θ=23，若該斜坡的摩擦系數(shù)為A.56 B.67 C.458.記鈍角三角形ABC內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知a=1，B=C，AC=2AD，則線段BD的取值范圍為(

)A.(12,22) B.二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知冪函數(shù)f(x)=xb?ln(a+1)(a,b為常數(shù)A.a=0B.若b=2，則f(x)與f(|x|)表示同一個(gè)函數(shù)

C.若b=?12，則f(x2)為奇函數(shù)

D.10.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xAy中，AB=(4,0)，AD=(1,4)，DC=(2,?1)，則下列說法正確的有(

)A.|BD|=4

B.四邊形ABCD的面積為212

C.△ABC外接圓的周長(zhǎng)為211.已知函數(shù)f(x)=sinxcos(x+φ)，φ為常數(shù)，則下列說法正確的有(

)A.f(x)的最小正周期為π

B.當(dāng)?=π6時(shí)，f(x)的值域?yàn)閇?38,14]

C.f(x)在[?π4?φ2+kπ,π三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.命題p：?x∈(0,12],x>13.記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知(b+c)2=a2+4bcsi14.已知平面向量a，b，c滿足c⊥(a+b)，a?c四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)

在四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為邊AB，CD的中點(diǎn)，AB//CD，記AC，BD相交于點(diǎn)M.結(jié)合平面向量的有關(guān)知識(shí)回答下列問題．

(1)證明：ME=12(MA+MB)；

(2)若AB=CD，寫出2個(gè)與ME共線的向量(不用證明)；

(3)若AB≠CD，證明：16.(本小題12分)

在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，已知asinA?csinCa?b=sinB．

(1)證明：C=π3；

(2)證明：A≠π3；

(3)若點(diǎn)D在線段AB上，∠ADC=∠ACB17.(本小題12分)

某高中高一學(xué)生成立了課外實(shí)踐數(shù)學(xué)小組，計(jì)劃通過數(shù)學(xué)建模的方法來測(cè)量某人工圓形湖泊的直徑，如圖為該人工湖泊的大致俯視圖，該小組成員首先在湖泊邊緣處A點(diǎn)處固定一旗幟，然后從A點(diǎn)沿逆時(shí)針方向繞著湖泊邊緣走到B點(diǎn)處固定一旗幟，并在紅外線角度測(cè)量?jī)x的幫助下從B點(diǎn)逆時(shí)針走至C點(diǎn)處，此時(shí)測(cè)得∠ABC=120°，且測(cè)得BC=20米，AB=10米．

(1)求該人工圓形湖泊的直徑；

(2)若D為人工圓形湖泊優(yōu)弧AC上一動(dòng)點(diǎn)(異于A，C兩點(diǎn))，求四邊形ABCD面積的取值范圍．18.(本小題12分)

近日，DeepSeek火爆出圈，其本質(zhì)在于技術(shù)創(chuàng)新和產(chǎn)業(yè)影響，它通過高效的算法和工程技術(shù)，顯著降低了AI模型的訓(xùn)練成本，同時(shí)也代表著我國(guó)在AI技術(shù)方面的迅速發(fā)展和進(jìn)步.相關(guān)數(shù)學(xué)建模小組通過對(duì)某AI軟件的研究發(fā)現(xiàn)：當(dāng)該程序利用后臺(tái)的算法處理數(shù)據(jù)量為N(單位：字節(jié))的數(shù)據(jù)時(shí)，處理時(shí)間t(單位：秒)滿足關(guān)系式t=t0eNN0?1(其中N0，t0均為常數(shù)).已知當(dāng)N=300時(shí)，t=4e2；當(dāng)N=400時(shí)，t=4e3．

(1)求N0，t0的值；

(2)若該程序利用后臺(tái)算法處理一份數(shù)據(jù)量N=600的數(shù)據(jù)，求所需的處理時(shí)間；19.(本小題12分)

如圖，已知半徑為2的扇形OAB的圓心角為π2，C為線段OA的中點(diǎn)，D是AB上一動(dòng)點(diǎn)(包含A，B兩點(diǎn))．

(1)求AD?OD的取值范圍；

(2)當(dāng)∠AOD=π4時(shí)，以O(shè)A，OB為一組基底向量表示CD；

(3)若CD

答案解析1.D

【解析】解：因?yàn)橄蛄渴羌扔写笮。钟蟹较虻牧浚?/p>

而高度、公里數(shù)、頻率只有大小，沒有方向，

所以高度、公里數(shù)、頻率都不是向量，

彈力既有大小，又有方向，所以彈力是向量．

故選：D．

由向量的概念，可得答案．

本題主要考查了向量的定義，屬于基礎(chǔ)題．2.D

【解析】解：因?yàn)榧螦={1,a}，集合B滿足A∪B={1,e,π}，

所以由并集運(yùn)算的定義可知，a的所有可能取值為π或e，

即a的所有可能取值的集合為{e,π}．

故選：D．

由并集中元素即可判斷．

本題主要考查了集合的并集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．3.B

【解析】解：向量m=(2,?1)，n=(?1,3)，

則m?n=(3,?4)，

故m?(m?n4.A

【解析】解：向量a=(3,?1)，向量b=(3,4)，

則a在b上的投影向量為a?b|b|×b|b|=9?455.B

【解析】解：若a，b是平面內(nèi)一組不共線的非零向量，

則a，b是平面內(nèi)一組基底向量，

對(duì)于①，2025b?2025a=?2025(a?b)，故a?b和2025b?2025a是一組共線向量，無法作為基底向量，故①錯(cuò)誤；

對(duì)于②，假設(shè)a+b與a?b是一組共線向量，由平面向量基本定理可得存在非零常數(shù)k使得a+b=k(a?b)，易知k不存在，矛盾，

故a+b與a?b不是共線向量，可以作為一組基底向量，故②正確；

對(duì)于6.D

【解析】解：由3x×9y=3x+2y=3xy，且x，y>0，

可得x+2y=xy，

故x+2y=xy=12?x?2y≤12?(x+2y2)2，

即7.B

【解析】解：tanθtan2θ=2tan2θ1?tan2θ=23，

即3tan2θ=1?tan2θ，

因?yàn)?<θ<π2，故tanθ=12，

8.C

【解析】解：由△ABC是鈍角三角形且B=C可得A為鈍角，

故cosA=b2+c2?a22bc<0，

由a=1，b=c，故2b2<1，

由b+c>a=1得，b>12，故12<b<22，

由AC=2AD得，AD=12AC，則cosA=b2+c9.BD

【解析】解：∵f(x)=xb?ln(a+1)為冪函數(shù)，∴l(xiāng)n(a+1)=1，解得a=e?1，A錯(cuò)誤；

b=2時(shí)，f(x)=x2，∴f(x)=f(|x|)，即f(x)和f(|x|)表示同一個(gè)函數(shù)，B正確；

若b=?12，則f(x)=x?12，

所以f(x2)=(x2)?12=1|x|，定義域?yàn)??∞,0)∪(0,+∞)，

顯然f(x2)是偶函數(shù)，故C10.BC

【解析】解：由題意，AB=(4,0)，AD=(1,4)，DC=(2,?1)，

則BD=AD?AB=(?3,4)，

所以|BD|=(?3)2+42=5，故A錯(cuò)誤；

過點(diǎn)C作x軸的垂線，設(shè)垂足為點(diǎn)E，過點(diǎn)D作x軸的垂線，設(shè)垂足為點(diǎn)F，

AC=AD+DC=(3,3)，

則四邊形ABCD的面積S=S△ADF+SEFDC+S△BCE=12×1×4+12×(4+3)×2+12×1×3=212，故B正確；

在直角三角形BCE中，易得sin∠CBE=CECB=31010，

設(shè)△ABC外接圓的半徑為R，

11.ACD

【解析】解：對(duì)于A，由題意可得f(x)=sinx(cosxcosφ?sinxsinφ)=sinxcosxcosφ?sin2xsinφ

=12sin2xcosφ?1?cos2x2sinφ=12sin(2x+φ)?12sinφ．

易得f(x)的最小正周期為2π2=π，故A正確；

當(dāng)φ=π6時(shí)，f(x)=12sin(2x+π6)?14，其值域?yàn)閇?34,14]，故B錯(cuò)誤；

當(dāng)?π2+2kπ≤2x+φ≤π2+2kπ(k∈Z)時(shí)，f(x)單調(diào)遞增，

故f(x)在[?π4?φ2+kπ,π4?φ2+kπ](k∈Z)上單調(diào)遞增，故C正確．

當(dāng)sin(2x+φ)>sinφ時(shí)，y=|f(x)|=12sin(2x+φ)?12sinφ，此時(shí)y∈(0,1212.?x∈(0,12]【解析】解：命題p：?x∈(0,12],x>tan2x的否定為：?x∈(0,12]，x≤13.π2【解析】解：因?yàn)?b+c)2=a2+4bcsin2(A2)，

即b2+2bc+c2=a2+2bc(1?cosA)，

整理可得：b2+c2=a2?2bccosA，

由余弦定理可得14.2

【解析】解：已知平面向量a，b，c滿足c⊥(a+b)，a?c=|c|=1，若a⊥b，

不妨固定向量a，b，c的起點(diǎn)為同一點(diǎn)，因?yàn)閍?c=|c|=1，

由向量投影的性質(zhì)，a在c方向上的投影向量的長(zhǎng)度為1，

由c?(a+b)=0，可知b?(?c)=1，故b在向量?c方向上的投影向量的長(zhǎng)度為1，

又因?yàn)閍⊥b，所以a，b，a?15.證明見解析；

EM，F(xiàn)M，MF，EF，F(xiàn)E，AD，DA，BC，CB；

證明見解析．

【解析】(1)證明：

因?yàn)镋為AB的中點(diǎn)，所以AE=EB=?BE，

則ME=MA+AE，ME=MB+BE，

故ME=12(MA+MB)；

(2)解：

由AB=CD，AB/?/CD，則四邊形ABCD為平行四邊形，

由向量的概念可得在四邊形ABCD中，

與ME共線的向量有EM，F(xiàn)M，MF，EF，F(xiàn)E，AD，DA，BC，CB；

(3)證明：

設(shè)AB=kCD(k≠0)，又因?yàn)锳B/?/CD，所以AM=kMC，BM=kMD，

由(1)知ME16.證明見解答；

證明見解答；

6+3【解析】(1)證明：由asinA?csinCa?b=sinB及正弦定理，

可得a2?c2a?b=b，即a2?c2=ab?b2，

由余弦定理a2+b2?c2=2abcosC，得cosC=12，

又C∈(0,π)，故C=π3；

(2)證明：若A=π3，則△ABC是等邊三角形，則a=b，

而由asinA?csinCa?b=sinB可知a≠b，矛盾，

故A≠π3，原命題得證；

(3)解：因?yàn)椤螦DC=∠ACB，∠CAD=∠BAC，

所以△ADC∽△ACB，

由相似可知|AC|2=|AD|?|AB|，

又|AD|=2|BD|=2，

故c=3，b=|AC|=17.該人工圓形湖泊的直徑為20213米；

四邊形ABCD面積的取值范圍為(50【解析】解：(1)在△ABC中，由余弦定理可得AC2=AB2+BC2?2AB?BCcos∠ABC，

即AC2=102+202?2×10×20×(?12)=700，所以AC=107米．

設(shè)該人工圓形湖泊的半徑為R，

則2R=ACsin∠ABC=10732=20213，

所以該人工圓形湖泊的直徑為20213米．

(2)S△ABC=12AB?BCsin∠ABC=12×10×20×32=5018.100，4；

所需的處理時(shí)間為4e5秒；

所需的總處理時(shí)間的最小值為8【解析】解：(1)當(dāng)該程序利用后臺(tái)的算法處理數(shù)據(jù)量為N(單位：字節(jié))的數(shù)據(jù)時(shí)，處理時(shí)間t(單位：秒)滿足關(guān)系式t=t0eNN0?1(其中N0，t0均為常數(shù))，

已知當(dāng)N=300時(shí)，t=4e2；當(dāng)N=400時(shí)，t=4e3，

得lnt=lnt0+NN0?1，故ln4e2=lnt0+300N0?1ln4e3=lnt0+400N0?1，

兩式相減可得ln4e24e3=300?400N0，故N0=?100?lne=100，

故t0=19.[0,4]；

CD=2?12OA【解析】解：(1)已知半徑為2的扇形OAB的圓心角為π2，C為線段OA的中點(diǎn)，D是AB上一動(dòng)點(diǎn)(包含A，B兩點(diǎn))，

設(shè)∠AO