第77講定點、定值問題

知識梳理

1、定值問題

解析幾何中定值問題的證明可運用函數(shù)的思想方法來解決．證明過程可總結(jié)為“變量—

函數(shù)—定值”，具體操作程序如下：

（1）變量----選擇適當(dāng)?shù)牧繛樽兞浚?/p>

（2）函數(shù)----把要證明為定值的量表示成變量的函數(shù)．

（3）定值----化簡得到的函數(shù)解析式，消去變量得到定值．

2、求定值問題常見的方法有兩種：

（1）從特殊情況入手，求出定值，再證明該定值與變量無關(guān)；

（2）直接推理、計算，并在計算推理過程中消去變量，從而得到定值．

常用消參方法：

①等式帶用消參：找到兩個參數(shù)之間的等式關(guān)系F(k,m)0，用一個參數(shù)表示另外一個

參數(shù)kf(m)，即可帶用其他式子，消去參數(shù)k．

②分式相除消參：兩個含參數(shù)的式子相除，消掉分子和分母所含參數(shù)，從而得到定值．

③因式相減消參：兩個含參數(shù)的因式相減，把兩個因式所含參數(shù)消掉．

④參數(shù)無關(guān)消參：當(dāng)與參數(shù)相關(guān)的因式為0時，此時與參數(shù)的取值沒什么關(guān)系，比如：

y2kg(x)0，只要因式g(x)0，就和參數(shù)k沒什么關(guān)系了，或者說參數(shù)k不起作

用．

3、求解直線過定點問題常用方法如下：

（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的

的一般性證明；

（2）“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點坐標，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個直

線系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個關(guān)于定點坐標的方程組，以這個方程組的

解為坐標的點即為所求點；

（）求證直線過定點，常利用直線的點斜式方程或截距式

3x0,y0yy0kxx0

ykxb來證明．

一般解題步驟：

①斜截式設(shè)直線方程：ykxm，此時引入了兩個參數(shù)，需要消掉一個．

②找關(guān)系：找到k和m的關(guān)系：mf(k)，等式帶入消參，消掉m．

③參數(shù)無關(guān)找定點：找到和k沒有關(guān)系的點．

必考題型全歸納

題型一：面積定值

x2y2

例1．（2024·安徽安慶·安慶一中校考三模）已知橢圓C:1(ab0)過點

a2b2

3

Aa,0,B0,b兩點，橢圓的離心率為，O為坐標原點，且SOAB1.

2

(1)求橢圓C的方程；

(2)設(shè)P為橢圓C上第一象限內(nèi)任意一點，直線PA與y軸交于點M，直線PB與x軸交于點N，

求證：四邊形ABNM的面積為定值.

c3

【解析】（1）根據(jù)題意可知e，

a2

1

又Sab1，即可得ab2，結(jié)合a2b2c2，

OAB2

解得a24,b21,c23；

x2

即橢圓C的方程為y21.

4

（2）證明：由（1）可知A2,0,B0,1，如下圖所示：

Px,y

設(shè)00，且x00,y00；

y0y0

易知直線PA的斜率kPA，所以PA的直線方程為yx2；

x02x02

y01y01

同理直線PB的斜率kPB，所以PB的直線方程為yx1；

x0x0

2yx

由題意解得M0,0,N0,0；

x02y01

x2y

所以可得AN02,BM01，

y01x02

四邊形ABNM的面積

2

11x2yx2y2x24y24xy4x8y4

SANBM020100000000

22y01x022x02y012x0y0x02y02

2

x0222

又y1，可得x04y04，

40

x24y24xy4x8y444xy4x8y44xyx2y2

故S000000000000002，

2x0y0x02y022x0y0x02y022x0y0x02y02

即四邊形ABNM的面積為定值.

x2y2

例2．（2024·陜西漢中·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知雙曲線C：1a0,b0的焦

a2b2

距為26，且焦點到近線的距離為1.

(1)求雙曲線C的標準方程；

(2)若動直線l與雙曲線C恰有1個公共點，且與雙曲線C的兩條漸近線分別交于P,Q兩點，

O為坐標原點，證明：△OPQ的面積為定值.

b

【解析】（1）依題意得2c26，c6，一條漸近線為yx，即bxay0，右焦點為(6,0)，

a

|6b|6b

所以1，即1，6b6，所以b1，

b2a2c

所以a2c2b2615，

x2

所以雙曲線C的標準方程為y21.

5

（2）當(dāng)直線l的斜率不存在時，若動直線l與雙曲線C恰有1個公共點，則直線l經(jīng)過雙曲

5

線的頂點，不妨設(shè)l:x5，又漸近線方程為yx，

5

55

將x5代入yx，得y1，將x5代入yx，得y1，

55

1

則|PQ|2，S525.

OPQ2

5

當(dāng)直線l的斜率存在，設(shè)直線l:ykxt，且k，

5

ykxt

聯(lián)立2，消去y并整理得222，

x2(15k)x10ktx5t50

y1

5

因為動直線l與雙曲線C恰有1個公共點，

15k20

22

所以2222，得5kt1，

Δ100kt415k5t50

55

設(shè)動直線l與yx的交點為P，與yx的交點為Q，

55

ykxt

聯(lián)立，得5t，同理得5t，

5xPxQ

yx5k15k1

5

2

225t5t25|t|k1

則|PQ|1k|xPxQ|1k||

5k15k1|5k21|

|t|

因為原點O到直線l的距離d，

k21

1125|t|k21|t|5t2

所以，

S△OPQ|PQ|d22

22|5k1|k21|5k1|

22

225t5t

又因為5kt1，所以5，即SOPQ5，

|5k21|t2

故△OPQ的面積為定值，且定值為5.

例3．（2024·廣東廣州·高三廣州市真光中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線

x2y2x

C:1(a0,b0)，漸近線方程為y0，點A2,0在C上；

a2b22

(1)求雙曲線C的方程；

(2)過點A的兩條直線AP，AQ分別與雙曲線C交于P，Q兩點（不與A點重合），且兩條直

線的斜率k1，k2滿足k1k21，直線PQ與直線x2，y軸分別交于M，N兩點，求證：AMN

的面積為定值.

b1

【解析】（1）a0，b0，依題意，a2b1，

a2

x2y2

所以雙曲線C的方程為1.

41

（2）依題意可知PQ斜率存在，設(shè)方程為ykxm，Px1,y1，Qx2,y2，

8km

ykxmxx

1214k2

22222，

xy14kx8kmx4m402

14m4

41x1x2

14k2

2222

Δ64km414k4m40，m214k20①，

y1y22kx1x2m2kx1x24m

k1k2

x12x22x1x22x1x24

4m248km

2k2m2k24m

14k14k

1，

4m248km

24

14k214k2

整理得m2km2k1=0.

1）m2k0，PQ:ykx2k，過A2,0舍去，

2）m2k10，PQ:ykx2k1，過點2,1，

21

此時，將m12k代入①得12k14k224k0,k，

2

1

PQ與x2交于點M2,1，故S△211（定值）

AMN2

變式1．（2024·四川·成都市錦江區(qū)嘉祥外國語高級中學(xué)?？既＃┰O(shè)橢圓

x2y2

E：1ab0過點M2,1，且左焦點為F12,0．

a2b2

(1)求橢圓E的方程；

(2)ABC內(nèi)接于橢圓E，過點P4,1和點A的直線l與橢圓E的另一個交點為點D，與BC交

于點Q，滿足APQDAQPD，證明：PBC面積為定值，并求出該定值．

c22

21

【解析】（1）由題意得221，

ab

222

cab

解得a24，b22

x2y2

所以橢圓C的方程為1．

42

（2）設(shè)點Q,A,D的坐標分別為x,y，x1,y1，x2,y2．

由題設(shè)知AP，PD，AQ，QD均不為零，

APAQ

記，則0且1

PDQD

又A,P,D,Q四點共線，從而APPD，AQQD

xxyyxxyy

于是412，112，x12，y12

1111

x22x2y22y2

從而124x①，12y②，

1212

2222

又點A,D在橢圓C上，即x12y14③，x22y24④，

①＋②×2并結(jié)合③、④得4x2y4，

即點O(x,y)總在定直線2xy20上．

∴BC所在直線為2xy20上．

2xy20

由x2y2消去y得9x216x40，1624940，

1

42

164

設(shè)B(x,y),C(x,y)，則xx,xx，

3344349349

1616435

于是|BC|1222|xx|5(xx)24xx5()2，

343434999

8127

又P到BC的距離d，

415

147

∴S

PBC9

147

∴PBC面積定值為．

9

2

2y

變式2．（2024·全國·高二專題練習(xí)）已知l1，l2既是雙曲線C1：x1的兩條漸近線，

4

x2y2

也是雙曲線C2：1的漸近線，且雙曲線C2的焦距是雙曲線C1的焦距的3倍.

a2b2

MN

(1)任作一條平行于l的直線l依次與直線l以及雙曲線C，C交于點L，M，N，求的

1212NL

值；

(2)如圖，P為雙曲線C2上任意一點，過點P分別作l1，l2的平行線交C1于A，B兩點，證明：

PAB的面積為定值，并求出該定值.

2

【解析】（1）依題意b2a，根據(jù)雙曲線C2的焦距是雙曲線C1的焦距的3倍，可得5a15，

22

2xy

即a3，故雙曲線C2：1，

312

不妨設(shè)l1：y2x，則設(shè)l：y2xm，

y2xm

y2xmmm24

聯(lián)立，可得，聯(lián)立2可得，

xL2yxM

y2x4x14m

4

y2xm

m212

聯(lián)立22可得，

xyxN

14m

312

m24m

LMxx1MN2

從而ML4m4,所以

MNxxm212m242

NMNL3

4m4m

（2）如圖，延長PA，PB分別交漸近線于C，D兩點，

PAPB24

由（1）可知，則SS，

PCPD3△PAB9△PCD

y2xxy

Px,y00

設(shè)00，則PA：y2xx0y0，聯(lián)立，

y2x

2xy

解得x00，

C4

y2xx0y02x0y0

而PB：y2xx0y0，聯(lián)立，解得xD，

y2x4

2xy2xy15

從而PCPD5xx5xx50000，

PCPD444

2tan4

設(shè)l的傾斜角為，則tan2，而APBCOD2，故sin2，

21tan25

1342

則SPCPDsin2，因此SS.

△PCD22△PAB9△PCD3

x2

變式3．（2024·四川成都·高二樹德中學(xué)校考階段練習(xí)）已知橢圓C:y21，A,B是

4

橢圓上的兩個不同的點，O為坐標原點，A,O,B三點不共線，記AOB的面積為SAOB.

1

(1)若OAx,y,OBx,y，求證：Sxyxy；

1122AOB21221

1

(2)記直線OA,OB的斜率為k,k，當(dāng)kk時，試探究S2是否為定值并說明理由.

12124AOB

【解析】（1）設(shè)OA,OB的夾角為0π，

OAOB(OAOB)2

則cos，所以sin1cos21，

OAOBOA|2OB|2

11

則SOAOBsinOA|2OB|2(OAOB)2

AOB22

1222221

x1y1x2y2x1x2y1y2x1y2x2y1；

22

ykx4

222

（2）由22可知，14kx4，所以x2，

x4y4014k

設(shè)直線OA,OB的方程分別為：yk1x,yk2x，

設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2.

44

22

則x12,x22，

14k114k2

1

kk

124

1212

所以S2xyxyx2x2kk

AOB4122141212

221

2224k1k2

4kk4k1k22k1k2

122.

222222221

14k114k214k1k216k1k224k1k2

題型二：向量數(shù)量積定值

x2y2

例4．（2024·新疆昌吉·高二統(tǒng)考期中）已知橢圓C:1(ab0)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是C

a2b2

△

的左、右焦點，過F1的動直線l與C交于不同的兩點A，B兩點，且ABF2的周長為42，

橢圓C的其中一個焦點在拋物線y24x準線上，

(1)求橢圓C的方程；

5

(2)已知點M,0，證明:MAMB為定值.

4

【解析】（1）由y24x可得準線為x=1，

所以橢圓C的左焦點F11,0，所以橢圓C的半焦距c1，

△

因為ABF2的周長為42，

所以4a42，故a2.

所以b2a2c2211，

x2

所求橢圓的方程為y21.

2

（2）如圖所示：

①當(dāng)直線l斜率不存在時，l的方程為x=1，

x22

將x=1代入y21可得y，

22

221212

所以A1,，B1,，此時MA,，MB,，

224242

11227

則MAMB，

442216

②當(dāng)直線l斜率存在時，設(shè)直線l的方程為ykx1，設(shè)Ax1,y1，Bx2,y2，

ykx1

2222

由x2，得12kx4kx2k20，

y21

2

4k22k2255

則xx，xx，MAx1,y1，MBx2,y2，

1212k21212k244

55552

所以MAMBx1x2y1y2x1x2kx11x21，

4444

225252

k1x1x2kx1x2k，

416

2k2254k225

222

k12k2k，

12k412k16

777

k22k21

7，

81616

12k212k216

7

綜上所述，MAMB為定值，且定值為.

16

例5．（2024·江西萍鄉(xiāng)·高二萍鄉(xiāng)市安源中學(xué)?？计谀┮阎狹4,m是拋物線

C:y22pxp0上一點，且M到C的焦點的距離為5.

(1)求拋物線C的方程及點M的坐標；

(2)如圖所示，過點P2,0的直線l與C交于A，B兩點，與y軸交于點Q，設(shè)QAPA，

QBPB，求證：是定值.

p

【解析】（1）由拋物線的定義，得45，解得p＝2.

2

所以拋物線C的方程為y24x，M的坐標為4,4或4,4.

1

（2）由題意知直線l的斜率存在且不為0，設(shè)l的方程為x＝ty＋1（t≠0），則Q0,.將x

t

22

＝ty＋1代入y4x得y4ty40.設(shè)Ax1,y1，Bx2,y2，則y1y24t，y1y24.

11

由QAPA，得1；由QBPB，得1.

ty1ty2

11yy4t

所以221221，故是定值1.

ty1ty2ty1y24t

例6．（2024·四川南充·高二四川省南充高級中學(xué)校考開學(xué)考試）已知點P到A(2,0)的距

離是點P到B1,0的距離的2倍.

(1)求點P的軌跡方程；

(2)若點P與點Q關(guān)于點B對稱，過B的直線與點Q的軌跡交于E，F(xiàn)兩點，探索BEBF是

否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由.

22

【解析】（1）設(shè)點Px,y，由題意可得PA2PB，即x2y22x1y2，

2

化簡可得x2y24.

22x0x21

（2）設(shè)點Qx0,y0，由（1）P點滿足方程:x2y4，，

y0y0

2222

代入上式消去可得x0y04，即Q的軌跡方程為xy4，

當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)其斜率為k，則直線l的方程為ykx1，

x2y24

由，消去y，得1k2x22k2xk240，顯然0，

ykx1

2k2k24

設(shè)Ex1,y1，F(xiàn)x2,y2則xx，xx，

121k2121k2

又BEx11,y1，BFx21,y2，

2

則BEBF1x1x2x1x2y1y21x1x2x1x2kx11x21

22

2222k422k2

1kx1x21kx1x21k1k1k1k

1k21k2

k43k242k42k2k42k213k23

3.

1k21k2

當(dāng)直線l的斜率不存在時，E1,3，F(xiàn)1,3，BEBF3.

故BEBF是定值，即BEBF3.

x2y2

變式4．（2024·全國·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓E:1ab0的右焦點為

a2b2

3

F1,0，點P1,在E上．

2

(1)求橢圓E的標準方程；

(2)過點F的直線l與橢圓E交于A，B兩點，點Q為橢圓E的左頂點，直線QA，QB分別

交x4于M，N兩點，O為坐標原點，求證：OMON為定值．

3

【解析】（1）由題意得c1，又點P1,在橢圓上，

2

a2b21

a24

則，解得，

192

1b3

a24b2

x2y2

故所求橢圓E的標準方程為1.

43

（2）由題意知直線l的斜率不為0，可設(shè)l方程為xmy1，

xmy1

22

聯(lián)立x2y2，消x得(3m4)y6my90，

1

43

則36m249(3m24)0，

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),

6m9

由韋達定理得，yy,yy，

123m24123m24

6m28

則xxmy1my1m(yy)22，

1212123m243m24

2

且x1x2(my11)(my21)my1y2m(y1y2)1

9m26m212m24

1，

3m243m243m24

y

又Q(2,0),則直線QA的方程為：y1(x2)，

x12

6y

令x4得，M(4,1)，

x12

6y

同理可得，N(4,2)，

x22

6y6y36yy

故OMON4,14,21612，

x12x22(x12)(x22)

12m241636

由(x2)(x2)xx2(xx)44，

1212123m243m243m24

36yy36(9)3m24

12

則29，

(x12)(x22)3m436

則OMON1697.

即OMON為定值.

x2y2

變式5．（2024·上海寶山·高三上海交大附中?？计谥校┮阎獧E圓C:1ab0

a2b2

2

的離心率為，橢圓的一個頂點與兩個焦點構(gòu)成的三角形面積為2.

2

(1)求橢圓C的方程；

(2)已知直線ykx1k0與橢圓C交于A，B兩點，且與x軸，y軸交于M，N兩點.

7

①若MBAN，求k的值；②若點Q的坐標為,0，求證：QAQB為定值.

4

c2

【解析】（1）e，a22c2，代入a2b2c2得bc.

a2

1

又橢圓的一個頂點與兩個焦點構(gòu)成的三角形的面積為2，即b2c2，即bc2，

2

x2y2

以上各式聯(lián)立解得a24,b22，則橢圓方程為1.

42

（2）①直線ykx1與x軸交點為M1,0，與y軸交點為N0,k，

x22y24

聯(lián)立消去y得:12k2x4k2x2k240，

ykx1

16k4412k22k2424k2160

2

4k又

設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2，則xxMBx21,y2,ANx1,ky1,

1212k2

4k222

由MBAN得：xx1,解得:k.由k0得k;

1212k222

4k22k24

②證明：由①知xxxx,

1212k21212k2

77772

QAQBx1,y1x2,y2x1x2kx11x21

4444

272249

1kx1x2kx1x2k

416

22

24k722k424915

1kkk，

12k2412k21616

QAQB為定值.

題型三：斜率和定值

x2y2

例7．（2024·四川成都·高三成都七中校考開學(xué)考試）已知C:10a4，

1a4a

x2y2

C:1b4．

2b4b

(1)證明：yx2總與C1和C2相切；

(2)在（1）的條件下，若yx2與C1在y軸右側(cè)相切于A點，與C2在y軸右側(cè)相切于B

點．直線l與C1和C2分別交于P，Q，M，N四點.是否存在定直線l使得對任意題干所給a，

b，總有kAPkAQkBPkBQ為定值？若存在，求出l的方程；若不存在，請說明理由．

22

xyx0xy0y

【解析】（1）下面證明橢圓E:1在x0,y0處的切線方程為1，理由如

a2b2a2b2

下：

當(dāng)y00時，故切線的斜率存在，設(shè)切線方程為ykxm，

代入橢圓方程得：a2k2b2x22a2kmxa2m2a2b20，

2

由2a2km4a2k2b2a2m2a2b20，化簡得：

a2k2m2b20，

2a2km2a2km0a2k

所以x0，

2a2k2b22m2m

a2kb2

把x代入y0kx0m，得：y，

0m0m

mxxb2b2x

000

于是k222，

aay0ay0

b2xb2x

00

則橢圓的切線斜率為2，切線方程為yy02xx0，

ay0ay0

222222

整理得到ay0ybx0xay0bx0，

xxyy

其中b2x2a2y2a2b2，故a2yyb2xxa2b2，即001，

0000a2b2

當(dāng)y00時，此時x0a或a，

xxyy

當(dāng)xa時，切線方程為xa，滿足001，

0a2b2

xxyy

當(dāng)xa時，切線方程為xa，滿足001，

0a2b2

22

xyx0xy0y

所以橢圓E:1在x0,y0處的切線方程為1；

a2b2a2b2

22

xyx1xy1y

1s0,t0上一點x1,y1的切線方程為1，理由如下：

s2t2s2t2

22

x,yxy

設(shè)過點11的切線方程為yy1nxx1，與1s0,t0聯(lián)立得，

s2t2

2222222

1n22nx12ny12nx1y1nx1y1t

22x22x20，

stttt

2

2n2x2n2y1n22nxyn2x2y2t2

由111111，

2242220

ttstt

2222

化簡得y1nx1snt，

22

yy1yyyy

因為n，代入上式得y1xs21t2，

xx11

1xx1xx1

22222

整理得xy1x1ysyy1txx1，

222

xyxyyyxx

同除以s2t2得，1111，

s2t2t2s2

x2y22xyxyx2y2y22yyy2x22xxx2

即11101111，

s2t2t2s2

x2y2x2y2

因為111，1，

s2t2s2t2

x2y22xyxyx2y22yy2xx

所以1111211，

s2t2t2s2

x2y2

111

s2t2x2x2x2y2x2y2y2y2

聯(lián)立，兩式相乘得，11111，

x2y2s4s2t2s2t2t4

1

s2t2

x2y2x2y2x2x2y2y2

從而11111，

s2t2s2t2s4t4

x2x2y2y22xyxy2yy2xx

故11111211，

s4t4s2t2t2s2

2

xxyyxxyy

即1112211，

s2t2s2t2

xxyy2

令h11，則1h222h，即h10，