第60講直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系

知識梳理

一．直線與圓的位置關(guān)系

直線與圓的位置關(guān)系有3種，相離，相切和相交

二．直線與圓的位置關(guān)系判斷

（1）幾何法（圓心到直線的距離和半徑關(guān)系）

|AaBbC|

圓心(a,b)到直線AxByC0的距離，則d：

A2B2

22

dr直線與圓相交，交于兩點P,Q，|PQ|2rd；

dr直線與圓相切；

dr直線與圓相離

（2）代數(shù)方法（幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題即交點個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程根個數(shù)）

AxByC0

由222，

(xa)(yb)r

消元得到一元二次方程px2qxt0，px2qxt0判別式為，則：

0直線與圓相交；

0直線與圓相切；

0直線與圓相離．

三．兩圓位置關(guān)系的判斷

用兩圓的圓心距與兩圓半徑的和差大小關(guān)系確定，具體是：

設(shè)兩圓的半徑分別是，（不妨設(shè)），且兩圓的圓心距為，則：

O1,O2R,rRrd

dRr兩圓相交；

dRr兩圓外切；

RrdRr兩圓相離

dRr兩圓內(nèi)切；

0dRr兩圓內(nèi)含（d0時兩圓為同心圓）

設(shè)兩個圓的半徑分別為R，r，Rr，圓心距為d，則兩圓的位置關(guān)系可用下表來表示：

位置關(guān)系相離外切相交內(nèi)切內(nèi)含

dRrdRrRrdRrdRr

幾何特征dRr

無實一組實一組實

代數(shù)特征兩組實數(shù)解無實數(shù)解

數(shù)解數(shù)解數(shù)解

公切線條數(shù)43210

【解題方法總結(jié)】

關(guān)于圓的切線的幾個重要結(jié)論

（）過圓222上一點的圓的切線方程為2．

1xyrP(x0,y0)x0xy0yr

（）過圓222上一點的圓的切線方程為

2(xa)(yb)rP(x0,y0)

2

(x0a)(xa)(y0b)(yb)r

（）過圓22上一點的圓的切線方程為

3xyDxEyF0P(x0,y0)

xxyy

xxyyD0E0F0

0022

（）求過圓222外一點的圓的切線方程時，應(yīng)注意理解：

4xyrP(x0,y0)

①所求切線一定有兩條；

②設(shè)直線方程之前，應(yīng)對所求直線的斜率是否存在加以討論．設(shè)切線方程為

，利用圓心到切線的距離等于半徑，列出關(guān)于的方程，求出值．若求出

yy0k(xx0)kk

的k值有兩個，則說明斜率不存在的情形不符合題意；若求出的k值只有一個，則說明斜率

不存在的情形符合題意．

必考題型全歸納

題型一：直線與圓的位置關(guān)系的判斷

xy

例1．（2024·四川成都·成都七中?？家荒＃﹫AC：(x1)2(y1)21與直線l：1

43

的位置關(guān)系為（）

A．相切B．相交C．相離D．無法確定

【答案】A

【解析】圓C：(x1)2(y1)21的圓心為C1,1，半徑r1，

xy3412

直線l：1即3x4y120，則圓心到直線的距離d1r，

433242

所以直線l與圓C相切.

故選：A

例2．（2024·全國·高三對口高考）若直線axby1與圓x2y21相交，則點Pa,b（）

A．在圓上B．在圓外C．在圓內(nèi)D．以上都有可能

【答案】B

【解析】直線與圓有兩個不同的交點，則圓心到直線的距離小于半徑，即：

1

1，即a2b21，

a2b2

據(jù)此可得：點Pa,b與圓C的位置關(guān)系是點在圓外.

故選：B.

22

例3．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知點Px0,y0為圓C:xy2上的動點，則直線

l:x0xy0y2與圓C的位置關(guān)系為（）

A．相交B．相離C．相切D．相切或相交

【答案】C

【解析】利用圓心距d和半徑r2的關(guān)系來確定直線與圓的位置關(guān)系.

22

22d2r

由題意可得x0y02，于是22，所以直線和圓相切.

x0y02

故選:C.

22

變式1．（2024·全國·高三專題練習(xí)）直線l:xmy1m0與圓C:x1y29

的位置關(guān)系是（）

A．相交B．相切C．相離D．無法確定

【答案】A

【解析】已知直線l:xmy1m0過定點1,1，

22

將點1,1代入圓的方程可得11129，

可知點1,1在圓內(nèi)，

22

所以直線l:xmy1m0與圓C:x1y29相交.

故選：A.

變式2．（2024·陜西寶雞·統(tǒng)考二模）直線l：xcosysin1R與曲線C：x2y21

的交點個數(shù)為（）

A．0B．1C．2D．無法確定

【答案】B

【解析】曲線C：x2y21是圓心在0,0上，半徑r1的圓，

001

則圓心與直線l的距離d1，

cos2sin2

dr，

曲線C與直線l相切，即只有一個交點，

故選：B

變式3．（2024·寧夏銀川·銀川一中校考二模）直線kxy14k0kR與圓

(x1)2(y2)225的位置關(guān)系為（）

A．相離B．相切C．相交D．不能確定

【答案】C

【解析】由直線kxy14k0得kx4y10，

令x40,y10，得x4,y1，

故直線kxy14k0kR恒過點4,1，

又(41)2(12)21825，

即點4,1在圓(x1)2(y2)225內(nèi)，

故直線kxy14k0kR與圓(x1)2(y2)225的位置關(guān)系為相交.

故選：C.

【解題方法總結(jié)】

判斷直線與圓的位置關(guān)系的常見方法

（1）幾何法：利用d與r的關(guān)系．

（2）代數(shù)法：聯(lián)立方程之后利用Δ判斷．

（3）點與圓的位置關(guān)系法：若直線恒過定點且定點在圓內(nèi)，可判斷直線與圓相交．

題型二：弦長與面積問題

例4．（2024·重慶沙坪壩·高三重慶一中?？茧A段練習(xí)）已知直線l：3xy50與圓C：

22

xy2x6y60交于A，B兩點，則AB．

【答案】6

【解析】由C:(x1)2(y3)24，故圓心C1,3，半徑為r2，

5510

d

所以，圓心到直線l的距離為Cl2，

321102

∴AB2r2d26．

故答案為：6

1

例5．（2024·河南鄭州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知圓C:x2y26x50，直線yx1與圓

3

C相交于M，N兩點，則MN．

4154

【答案】/15

55

2

【解析】由x2y26x50，得x3y24，則圓的圓心為(3,0)，半徑r2，

3014

所以圓心(3,0)到直線x3y10的距離為d

123210

116415

所以MNr2d24，解得MN．

2105

故答案為：415

5

2

例6．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知直線l:xmy10與C:x1y24交于A，

8

B兩點，寫出滿足“ABC面積為”的m的一個值．

5

11

【答案】2（2,2,,中任意一個皆可以）

22

【解析】設(shè)點C到直線AB的距離為d，由弦長公式得AB24d2，

1284525

所以S△ABCd24d，解得：d或d，

2555

1122452251

由d，所以或，解得：或．

22m2m

1m1m1m251m252

11

故答案為：2（2,2,,中任意一個皆可以）．

22

變式4．（2024·江西南昌·高三南昌市八一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）圓心在直線y2x上，與x

軸相切，且被直線xy0截得的弦長為14的圓的方程為.

2222

【答案】x1y24或x1y24

【解析】設(shè)所求圓的圓心為a,2a，半徑為r，

圓與x軸相切，r2a，

a2a2

又圓心到直線xy0的距離da，

22

1

2r2d224a2a214，解得：a1或a1，

2

所求圓的圓心為1,2或1,2，半徑r2，

2222

圓的方程為x1y24或x1y24.

2222

故答案為：x1y24或x1y24.

變式5．（2024·廣東廣州·統(tǒng)考三模）寫出經(jīng)過點(1,0)且被圓x2y22x2y10截得的

弦長為2的一條直線的方程．

【答案】yx1或yx1

22

【解析】圓的方程可化為x1y11，圓心為(1,1)，半徑r1．

當(dāng)過點(1,0)的直線的斜率不存在時，直線方程為x1，此時圓心在直線上，弦長2r2，不

滿足題意，

所以過點(1,0)的直線的斜率存在，設(shè)過點(1,0)的直線的方程為yk(x1)，即

kxyk0，則

|k1k|1

圓心(1,1)到直線kxyk0的距為d，

k21k21

1k2

依題意22r2d2212，即k21，解得k1或k1，

k21k21

故所求直線的方程為yx1或yx1．

故答案為：yx1或yx1．

變式6．（2024·廣東深圳·?？级＃┻^點(1,1)且被圓x2y24x4y40所截得的弦

長為22的直線的方程為.

【答案】xy20

22

【解析】圓x2y24x4y40，即x2y24，

圓心為2,2，半徑r2，

2

2l

若弦長l22，則圓心到直線的距離dr2，

2

顯然直線的斜率存在，設(shè)直線方程為y1kx1，即kxyk10，

2k2k1

d2

所以2，解得k1，所以直線方程為xy20.

k21

故答案為：xy20

變式7．（2024·湖北黃岡·浠水縣第一中學(xué)校考三模）已知直線l：kxy2k20被圓

C：x2(y1)216所截得的弦長為整數(shù)，則滿足條件的直線l有條.

【答案】9

【解析】將直線l的方程整理可得kx2y20，易知直線恒過定點2,2；

圓心C0,1，半徑R4；

所以當(dāng)直線過圓心時弦長取最大值，此時弦長為直徑2R8；

易知，當(dāng)圓心C0,1與2,2的連線與直線l垂直時，弦長最小，如下圖所示；

此時弦長為2R2223323，所以截得的弦長為整數(shù)可取4,5,6,7,8；

由對稱性可知，當(dāng)弦長為4,5,6,7時，各對應(yīng)兩條，共8條，

當(dāng)弦長為8時，只有直徑1條，

所以滿足條件的直線l共有9條.

故答案為：9

22

變式8．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知A，B分別為圓x1y21與圓x2y24

上的點，O為坐標原點，則OAB面積的最大值為.

333

【答案】/3

22

【解析】設(shè)M：(x1)2y21，則M1,0半徑為1；

圓N：(x2)2y24，則N2,0，半徑為2.

以O(shè)N為直徑畫圓，延長BO交圓于F，連接FE，NE，NF，

如圖:

則NFOB，又NBNO，所以F為BO的中點，

由對稱性可得OEOA，

11

SOAOBsinAOB，及SOEOBsinAOB，

ABO2EBO2

所以SABOSEBO2SEFO，

故當(dāng)SEFO最大時，SABO最大，

故轉(zhuǎn)化為在半徑為1的內(nèi)接三角形OEF的面積的最大值問題，

對于一個單位圓內(nèi)接三角形ABC的面積，

1

SabsinC，又a2sinA，b2sinB，

ABC2

sinAsinBsinC3

所以S2sinAsinBsinC2()，

ABC3

當(dāng)且僅當(dāng)sinAsinBsinC時，即三角形ABC為等邊三角形時等號成立，

π3

此時sinAsinBsinCsin，

32

sinAsinBsinC33333

所以S2()2，

ABC384

33

即三角形OEF的面積的最大值為，

4

3333

所以SABO最大值為2.

42

故答案為：33

2

變式9．（2024·廣東廣州·廣州市從化區(qū)從化中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知直線l:xy50與

22

圓C:xy2x4y40交于A，B兩點，若M是圓上的一動點，則△MAB面積的最大

值是.

【答案】223/322

【解析】C:(x1)2(y2)29，則圓C的圓心為C1,2，半徑為r3，

125

圓心C到直線l（弦AB）的距離為d22，

2

則AB2r2d22982，

則M到弦AB的距離的最大值為dr223，

1

則△MAB面積的最大值是AB223223.

2

故答案為：223

變式10．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知圓C的方程為(x3)2(y4)225，若直線

l:3x4y50與圓C相交于A,B兩點，則ABC的面積為.

【答案】12

【解析】圓C：(x3)2(y4)225，得圓心為C3,4，半徑為r=5，

圓心到直線的距離d4，因此AB2r2d2225166，

11

所以SABd6412.

ABC22

故答案為：12.

變式11．（2024·全國·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標系xOy中，過點A(0,3)的直線l

6

與圓C:x2(y2)29相交于M，N兩點，若SS，則直線l的斜率為.

△AON5△ACM

314

【答案】

7

【解析】由題意得C(0,2)，直線MN的斜率存在，設(shè)Mx1,y1，Nx2,y2，直線MN的方

22

程為ykx3，與x2(y2)29聯(lián)立，得k1x10kx160，

22221610k16

100k64k136k640，得k，x1x2，x1x2.因為

9k21k21

6161

SS，所以3x5x，則x22x1，于是x22x1，（由點A及C

△AON5△ACM22521

在y軸上可判斷出x1，x2同號）

10k

3x

12

k1x218314

所以，兩式消去1，得k，滿足0，所以k.

16

2x277

1k21

314

故答案為：

7

變式12．（2024·廣東惠州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在圓x2y22x6y0內(nèi)，過點E0,3的最

長弦和最短弦分別為AC和BD，則四邊形ABCD的面積為．

【答案】610

【解析】圓的方程x2y22x6y0化為標準方程為：(x1)2(y3)210，

則圓心1,3半徑r10，由題意知最長弦為過E點的直徑，最短弦為過E點和這條直徑垂直

的弦，即ACBD，且|AC|210，圓心和E點之間的距離為1，

故|BD|2(10)2126，

11

所以四邊形ABCD的面積為S|AC||BD|2106610．

22

故答案為：610

【解題方法總結(jié)】

弦長問題

l

①利用垂徑定理：半徑r，圓心到直線的距離d，弦長l具有的關(guān)系r2d2()2，這

2

也是求弦長最常用的方法．

②利用交點坐標：若直線與圓的交點坐標易求出，求出交點坐標后，直接用兩點間的距

離公式計算弦長．

③利用弦長公式：設(shè)直線，與圓的兩交點，，，，將直線方程

l:ykxb(x1y1)(x2y2)

代入圓的方程，消元后利用根與系數(shù)關(guān)系得弦長：

l1k2|xx|(1k2)[(xx)24xx](1k2)．

121212A

題型三：切線問題、切線長問題

例7．（2024·遼寧錦州·?？家荒＃懗鲆粭l與圓x2y21和曲線yx25都相切的直線

的方程：.

【答案】22xy30（答案不唯一）

2222

【解析】設(shè)切線l與圓xy1相切于點x0,y0y00，則x0y01，

x

0

切線l的方程為yy0xx0，即xx0yy01，

y0

22

將xx0yy01與yx5聯(lián)立，可得y0xxx05y010，

2

令Δx04y05y010，

22224343

x,x,x,x,

0000

聯(lián)立解得3或3或7或7

1111

yyyy,

03030707

所以切線l的方程為22xy30或22xy30或43xy70或43xy70.

故答案為：22xy30（答案不唯一）

22

例8．（2024·河南開封·統(tǒng)考三模）已知點A(1,0)，B(2,0)，經(jīng)過B作圓x3y25

的切線與y軸交于點P，則tanAPB．

1

【答案】

3

【解析】如圖所示，設(shè)圓心為C點，則C3,2，

2220

B

23025，則點在圓上，且kBC2，

32

1

PB

由與圓相切可得：kPBkBC1kPB，則tanOPB2，OB2，

2

則OP1，故P0,1，則tanAPO1，

tanOPBtanOPA211

從而可得tanAPDtanOPBOPA,

1tanOPBtanOPA1213

1

故答案為：.

3

例9．（2024·全國·高三專題練習(xí)）經(jīng)過點1,0且與圓x2y24x2y30相切的直線方

程為．

【答案】xy10

22

【解析】圓x2y24x2y30的標準方程為：x2y12，

當(dāng)直線的斜率不存在時，直線方程為x1，不符合題意；

當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線方程為ykx1，即kxyk0，

因為直線與圓相切，

k1

所以圓心到直線的距離相等，即d2，

1k2

化簡得k22k10，

解得k1，xy10，

綜上：直線方程為：xy10，

故答案為：xy10

變式13．（2024·福建寧德·?？寄M預(yù)測）已知圓C：x2y22x2y0，直線l的橫縱

截距相等且與圓C相切﹐則直線l的方程為．

【答案】yx，或xy20，或xy20

22

【解析】圓C的標準方程為x1y12，圓心為C1,1，半徑為2，

因為直線l的橫縱截距相等，所以直線l的斜率存在，

當(dāng)直線l過原點時，設(shè)直線l的方程為ykx，因為直線l與圓C相切，

k1

此時圓心到直線l的距離等于半徑，可得2，解得k1，所以切線方程為yx；

1k2

當(dāng)直線l不過原點時，設(shè)直線l的方程為xya，因為直線l與圓C相切，

11a

此時圓心到直線l的距離等于半徑，可得2，解得a2，所以切線方程為

11

xy20或xy20，

綜上所述，直線l的方程為yx，或xy20，或xy20.

故答案為：yx，或xy20，或xy20.

變式14．（2024·福建福州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）寫出經(jīng)過拋物線y28x的焦點且和圓

2

x2y14相切的一條直線的方程.

【答案】x2（或3x4y60，寫出一個方程即可）

2

【解析】拋物線y28x的焦點為(2,0)，圓x2y14的圓心為(0,1)，半徑為2.

2

記過點(2,0)的直線為l，當(dāng)l斜率不存在時，由圖可知l與圓x2y14相切，此時l的

方程為x2；

當(dāng)l斜率存在時，設(shè)其方程為yk(x2)，即kxy2k0，

212k3

因為直線l與圓x2y14相切，所以2，解得k

k214

33

所以l的方程為xy0，即3x4y60.

42

故答案為：x2（或3x4y60，寫出一個方程即可）

變式15．（2024·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測）過點P3,2且與圓C：x2y22x4y10相

切的直線方程為

【答案】x3或3x4y10

22

【解析】將圓C方程化為圓的標準方程x1y24，得圓心C1,2，半徑為r2，

當(dāng)過點P3,2的直線斜率不存在時，直線方程為x3是圓C的切線，滿足題意；

當(dāng)過點P3,2的直線斜率存在時，

可設(shè)直線方程為y2kx3，即kxy3k20，

2k43

利用圓心到直線的距離等于半徑得2，解得k，

k214

即此直線方程為3x4y10，

故答案為：x3或3x4y10．

變式16．（2024·湖北·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知過點P3,3作圓O:x2y22的切線，

則切線長為.

【答案】4

【解析】由圓O:x2y22，可得圓心O(0,0)，半徑r2，

設(shè)切點為C，因為P3,3，可得PO32，

2

所以切線長為PCPOr2(32)224.

故答案為：4.

變式17．（2024·江蘇無錫·校聯(lián)考三模）已如P3,3，M是拋物線y24x上的動點（異

22

于頂點），過M作圓C:x2y4的切線，切點為A，則MAMP的最小值為.

【答案】3

222

【解析】依題意，設(shè)M(x0,y0),x00，有y04x0，圓C:(x2)y4的圓心C(2,0)，半

徑r2，

于是22222，

|MA||MC|r(x02)y04x0x0

因此MAMPx0MP，表示拋物線C上的點M到y(tǒng)軸距離與到定點P的距離的和，

而點P在拋物線C內(nèi)，當(dāng)且僅當(dāng)M是過點P垂直于y軸的直線與拋物線C的交點時，x0MP

取得最小值3，

所以MAMP的最小值為3.

故答案為：3.

變式18．（2024·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)?？寄M預(yù)測）由直線xy60上一點P

22

向圓C:x3y54引切線，則切線長的最小值為．

【答案】2

【解析】設(shè)過點P的切線與圓C相切于點E，連接CE，則PECE，

2

圓C的圓心為C3,5，半徑為r2，則PEPCr2，

356

當(dāng)PC與直線xy60垂直時，PC取最小值，且最小值為22，

2

2

所以，PEPCr2842，即切線長的最小值為2.

故答案為：2.

變式19．（2024·山西朔州·高三懷仁市第一中學(xué)校校考階段練習(xí)）若在圓C：x2y2r2r0

22

上存在一點P，使得過點P作圓M：x2y1的切線長為2，則r的取值范圍

為．

【答案】23r23

22

【解析】設(shè)點P(rcos,rsin)，過點P作圓M：x2y1的切線，切點為Q，

222

由題意可知：PMMQPQ123，因為點M(2,0)，

所以(rcos2)2(rsin)23，化簡整理可得：r24rcos10，

r21

所以cos，因為cos[1,1]，r0，

4r

r21

11

所以4r，解得：23r23，

r0

所以r的取值范圍為23r23，

故答案為：23r23.

變式20．（2024·天津濱海新·天津市濱海新區(qū)塘沽第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知圓

M:x2y22ay0(a0)與直線xy0相交所得圓的弦長是22，若過點A3,6作圓M

的切線，則切線長為.

【答案】21

【解析】由x2y22ay0(a0)，得x2(ya)2a2(a0)，

則圓心為M(0,a)，半徑為ra，

a

圓心(0,a)到直線xy0的距離為d，

2

因為圓M:x2y22ay0(a0)與直線xy0相交所得圓的弦長是22，

2

2

a2

所以2a，解得a2或a2（舍去），

2

所以圓心為M(0,2)，半徑為r2，

所以A3,6與M(0,2)間的距離為AM(30)2(62)25，

2

所以所求的切線長為AMr225421，

故答案為：21.

2

變式21．（2024·天津南開·統(tǒng)考二模）若直線kxy2k30與圓x2y14相切，

則k.

3

【答案】/0.75

4

【解析】由題意圓心為(0,1)，半徑為2，

12k33

所以2，解得k．

k214

3

故答案為：．

4

變式．（·湖北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知e22，

222024O1:xy21

e22，過軸上一點分別作兩圓的切線，切點分別是，，當(dāng)

O2:x3y69xPMN

PMPN取到最小值時，點P坐標為.

3

【答案】,0

4

2

【解析】e2的圓心為O(0,2)，半徑r1，

O1:xy2111

22

e的圓心為O(3,6)，半徑r3，

O2:x3y6922

設(shè)Pt,0，則222，

PMPO11t41t3

22222

PNPO23(t3)69(t3)27

所以PMPNt23(t3)227(t0)2[0(3)]2(t3)2(033)2，

取A(0,3)，B(3,33)

2

則PMPNPAPBAB324357，

當(dāng)P,A,B三點共線時取等號，

43

此時AB直線：y3(x0)

3

33

令y0，則x，P,0，

44

3

故答案為：,0

4

【解題方法總結(jié)】

（1）圓的切線方程的求法

①點，在圓上，

M(x0y0)

法一：利用切線的斜率與圓心和該點連線的斜率的乘積等于，即．

klkOM1kOMkl1

法二：圓心O到直線l的距離等于半徑r．

②點，在圓外，則設(shè)切線方程：，變成一般式：

M(x0y0)yy0k(xx0)

，因為與圓相切，利用圓心到直線的距離等于半徑，解出．

kxyy0kx00k

注意：因為此時點在圓外，所以切線一定有兩條，即方程一般是兩個根，若方程只有一

個根，則還有一條切線的斜率不存在，務(wù)必要把這條切線補上．

（2）常見圓的切線方程

過圓222上一點，的切線方程是2；

xyrP(x0y0)x0xy0yr

過圓222上一點，的切線方程是

(xa)(yb)rP(x0y0)

2．

(x0a)(xa)(y0b)(yb)r

題型四：切點弦問題

2

例10．（2024·浙江·高三浙江省富陽中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）從拋物線y4xy0上一點

22

P作圓C：x5y1得兩條切線，切點為A,B，則當(dāng)四邊形PACB面積最小時直線AB方

程為.

【答案】2x23y90

【解析】如圖，由題可知C(5,0)，SPACBSPACSPBC，由對稱性可知，

1

S2S2(PAAC)PAPC21

PACBPAC2

所以求四邊形PACB的最小面積即求PC的最小值

m2m21

設(shè)P(,m)，m0，則PC(5)2m2(m212)216

4416

2

當(dāng)m12，即m23時，PCmin4，四邊形PACB的最小面積為15

所以P(3,23)

所以以PC為直徑的圓的方程為：(x4)2(y3)24

則AB為以圓C和以PC為直徑的圓的公共弦

如圖所示

兩圓方程作差得：2x23y90

所以直線AB方程為2x23y90

故答案為：2x23y90

例11．（2024·貴州·高三凱里一中校聯(lián)考開學(xué)考試）已知圓C:x2y22y0，過直線

l:xy10上任意一點P，作圓的兩條切線，切點分別為A,B兩點，則AB的最小值

為.

【答案】2

【解析】由題意得，圓C:x2y22y0的圓心為C0,1，半徑為r1，

如圖所示，

根據(jù)圓的切線長公式，可得PA2PC21，

11

則SPAAC2PAPCAB，

四邊形PBCA22

當(dāng)PC取最小值時，AB取最小值，此時P1,0，則PA1,PC2，

則|AB|min2.

故答案為：2.

x2y2

例12．（2024·北京·高三強基計劃）如圖，過橢圓1上一點M作圓x2y22的

94

兩條切線，過切點的直線與坐標軸于P，Q兩點，O為坐標原點，則△POQ面積的最小值

為（）

123

A．B．C．D．前三個答案都不對

234

【答案】B

22

x0y0

【解析】設(shè)點Mx0,y0，由于點M在橢圓上，所以1，

94

由切點弦方程l:x0xy0y20，

12

所以S△BQQ|OP||OQ|，

2x0y0

x2y21

由于100xy，

94300

32

當(dāng)x0,y0,2時，上述不等式取等號，x0y0取得最大值3，此時SPCQ面積取得

2

最小值2．

3

故選：B.

變式23．（2024·山東泰安·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知直線l:mxym10(m0)與圓

22

C:xy4x2y40，過直線l上的任意一點P向圓C引切線，設(shè)切點為A,B，若線段

AB長度的最小值為3，則實數(shù)m的值是（）

121277

A．B．C．D．

5555

【答案】A

π

【解析】圓C:(x2)2(y1)21，設(shè)ACP0，

2