第38講向量中的隱圓

知識梳理

技巧一．向量極化恒等式推出的隱圓

乘積型：PAPB

1

定理：平面內(nèi)，若A,B為定點，且PAPB,則P的軌跡是以M為圓心AB2為

4

半徑的圓

11

證明：由PAPB，根據(jù)極化恒等式可知，PM2AB2，所以PMAB2，

44

1

P的軌跡是以M為圓心AB2為半徑的圓．

4

技巧二．極化恒等式和型：PA2PB2

定理：若A，B為定點，P滿足PA2PB2,則P的軌跡是以AB中點M為圓心，

1

AB2

1

2為半徑的圓。(AB20)

22

1

AB2

1

證明：PA2PB22[PM2(AB)2]，所以PM2，即P的軌跡是以AB

22

1

AB2

中點M為圓心，2為半徑的圓．

2

技巧三．定冪方和型

mPA2PB2n

若A，B為定點，PA2mPB2n，則P的軌跡為圓．

22

mPAnPB

證明：mPA2PB2nm[xc2y2][xc2y2]n

(m1)(x2y2)2c(m1)x(m1)c2n0

2(m1)cc2(m1)n

x2y2x0．

m1m1

技巧四．與向量模相關(guān)構(gòu)成隱圓

坐標(biāo)法妙解

必考題型全歸納

題型一：數(shù)量積隱圓

例1．（2024·上海松江·校考模擬預(yù)測）在ABC中，AC3,BC4,C90.P為ABC所

在平面內(nèi)的動點，且PC=2，若CPCACB，則給出下面四個結(jié)論：

4

①的最小值為；②PAPB的最小值為6；

5

3

③的最大值為；④PAPB的最大值為8.

4

其中，正確結(jié)論的個數(shù)是（）

A．1B．2C．3D．4

【答案】A

【解析】如圖，以C為原點，CA,CB所在的直線分別為x,y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，

則C(0,0),A(3,0),B(0,4)，

因為PC=2，所以設(shè)P(2cos,2sin)，則

CP(2cos,2sin)，CA(3,0),CB(0,4)，

所以CPCACB(3,4)，

2

cos=

2cos=33

所以，即（為任意角），

2sin=41

sin=

2

21

所以cossin

32

543

cossin

655

543

sin（其中sin,cos），

655

55

所以的最大值為，最小值為，

66

所以①③錯誤，

因為PA(32cos,2sin),PB(2cos,42sin)，

所以PAPB2cos(32cos)2sin(42sin)

4(8sin6cos)

34

410sin()（其中sin,cos）

55

因為1010sin()10，

所以6410sin()14，

所以PAPB[6,14]，

所以PAPB的最小值為6，最大值為14，

所以②正確，④錯誤，

故選：A

例2．（2024·全國·高三專題練習(xí)）若正ABC的邊長為4，P為ABC所在平面內(nèi)的動點，

且PA1，則PBPC的取值范圍是（）

A．3,15B．[923,923]

C．[933,933]D．[943,943]

【答案】D

【解析】由題知，

以A為坐標(biāo)原點，以AB所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，

則B4,0，C2,23，

由題意設(shè)Pcos,sin02π，

則PB4cos,sin，

PC2cos,23sin，

PBPC4cos2cossin23sin

31

96cos23sin9223cossin

22

π

943sin，

3

02π，

ππ7π

，

333

π

可得943sin943,943.

3

故選：D

例3．（2024·山東菏澤·高一統(tǒng)考期中）在ABC中，AC＝5，BC＝12，∠C＝90°.P為ABC

所在平面內(nèi)的動點，且PC＝2，則PAPB的取值范圍是（）

A．22,26B．26,22C．30,22D．22,30

【答案】D

【解析】在Rt△ABC中，以直角頂點C為原點，射線CB,CA分別為x,y軸非負(fù)半軸，建立平

面直角坐標(biāo)系，如圖，

令角(R)的始邊為射線CB，終邊經(jīng)過點P，由PC2，得P(2cos,2sin)，而

B(12,0),A(0,5)，

于是AP(2cos,2sin5),BP(2cos12,2sin)，

因此APBP2cos(2cos12)2sin(2sin5)42(5sin12cos)

12

426sin()，其中銳角由tan確定，

5

顯然1sin()1，則22426sin()30，

所以PAPB的取值范圍是22,30.

故選：D

變式1．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知ABC是邊長為43的等邊三角形，其中心為O，

P為平面內(nèi)一點，若OP1，則PAPB的最小值是

A．11B．6C．3D．15

【答案】A

31

【解析】作出圖像如下圖所示，取AB的中點為D，則OD432，因為OP1，

23

則P在以O(shè)為圓心，以1為半徑的圓上，

2222

PA+PBPAPB2PDAB

則2又為圓上的點到

PAPBPD12.PDOPD

44

的距離，則PDmin211，

∴PAPB的最小值為11.

故選：A.

變式2．（2024·北京·高三專題練習(xí)）ABC為等邊三角形，且邊長為2，則AB與BC的夾角

大小為120，若BD1，CEEA，則ADBE的最小值為___________.

【答案】33

【解析】因為ABC是邊長為2的等邊三角形，且CEEA，則E為AC的中點，故BEAC，

以點B為坐標(biāo)原點，BE、EA分別為x、y軸的正方向建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，

則A3,1、E3,0、B0,0，設(shè)點Dcos,sin，

BE3,0，ADcos3,sin1，

所以，ADBE3cos333，當(dāng)且僅當(dāng)cos1時，等號成立，

因此，ADBE的最小值為33.

故答案為：33.

變式3．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知圓Q:x2y216，點P1,2，M、N為圓O上兩個

不同的點，且PMPN0若PQPMPN，則PQ的最小值為______.

【答案】335/533

【解析】解法1：如圖，因為PMPN0，所以PMPN，故四邊形PMQN為矩形，

設(shè)MN的中點為S，連接OS，則OSMN，

2222

所以O(shè)SOMMS16MS，

22

又PMN為直角三角形，所以MSPS，故OS16PS①，

2222

設(shè)Sx,y，則由①可得xy16x1y2，

2

1227

整理得：xy1，

24

133

從而點S的軌跡為以T,1為圓心，為半徑的圓，

22

33335

顯然點P在該圓內(nèi)部，所以PSPT，

min222

因為PQ2PS，所以PQ335；

min

解法2：如圖，因為PMPN0,所以PMPN，

2222

故四邊形PMQN為矩形，由矩形性質(zhì)，OMONOPOQ，

2

所以16165OQ，從而OQ33，

故Q點的軌跡是以O(shè)為圓心，33為半徑的圓，

顯然點在該圓內(nèi)，所以PQ33OP335

Pmin.

故答案為：335.

題型二：平方和隱圓

例4．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知a,b,c,d是單位向量，滿足

ab,ma2b,|mc|2|md|220，則|cd|的最大值為________．

【答案】25

5

【解析】依題意，a,b可為與x軸、y軸同向的單位向量，設(shè)

a1,0,b0,1,ccosx,sinx,dcosy,siny

2222

m1,2,|mc|2|md|220cosx1sinx2cosy1siny2

化簡得：4cosx2sinxcosy2siny

1π

運用輔助角公式得：45sinx5siny,tan,0,

22

4xyxy

sinxsiny2sincos，

522

xy2

cos

即得：2xy，

5sin

2

xy44

cos2

故22xy5；

5sin

2

22xy

cdcosxcosysinxsiny22cosxy44cos2

2

425

44.

55

故答案為：25

5

uuuv

222

例5．（2024·上海·高三專題練習(xí)）已知平面向量PA、PB滿足PA|PB|4，|AB|2，

uuuvuuvuuv

設(shè)PC2PAPB，則PC________.

362362

【答案】,

22

222222

【解析】因為ABAPPBPAPB2PAPB2且PAPB4，所以PAPB1；

222

又因為PAPBPAPB2PAPB6，所以PAPB6；

222

由ABPBPAPAPB2，所以PAPB2；

31

根據(jù)PC2PAPBPAPBPAPB可知：

22

3131

PAPBPAPBPCPAPBPAPB，

2222

左端取等號時：P,A,B三點共線且P在線段AB外且P靠近B點；右端取等號時，P,A,B三

點共線且P在線段AB外且P靠近A點，

362362362362

所以PC，所以PC,.

2222

362362

故答案為：,.

22

例6．（2024·江蘇·高二專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點A2,0，B0,2，圓

222

C:xay21，若圓C上存在點M，使得MAMB12，則實數(shù)a的取值范圍為（）

A．1,122B．122,122

C．1,122D．12,12

【答案】B

【解析】先求出動點M的軌跡是圓D,再根據(jù)圓D和圓C相交或相切，得到a的取值范圍.

設(shè)M(x,y)，則(x2)2y2x2(y2)212，

所以(x1)2(y1)24，

所以點M的軌跡是一個圓D,

由題得圓C和圓D相交或相切，

所以1(1a)2123，

所以122a122.

故選：B

變式4．（2024·江蘇·高二專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l:xya0與點

22

A(0，2)，若直線l上存在點M滿足MAMO10（O為坐標(biāo)原點），則實數(shù)a的取值范

圍是（）

A．51,51B．[51,51]

C．221,221D．[221,221]

【答案】D

【解析】設(shè)Mx,xa，

22

∵直線l:xya0與點A0，2，直線l上存在點M滿足MAMO10，

22

∴x2xax2xa210，

2

整理,得4x222a2xa2a2100①，

22

∵直線l上存在點M,滿足MAMO10，

∴方程①有解，

∴0，

解得：221a221，

故選D.

變式5．（2024·寧夏吳忠·高二吳忠中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)A2，0，B2，0，O為坐標(biāo)原點，

點P滿足PA|2PB|216，若直線kxy60上存在點Q使得PQO，則實數(shù)k的取

6

值范圍為（）

，，，

A．4242B．4242

，55，5，5

C．D．

2222

【答案】C

【解析】設(shè)Px，y，

PA|2PB|216，

22

x2y2x2y216，即x2y24．

點P的軌跡為以原點為圓心，2為半徑的圓面．

若直線kxy60上存在點Q使得PQO，

6

則PQ為圓x2y24的切線時PQO最大，

OP21

sinPQO，即OQ4．

OQOQ2

6

圓心到直線kxy60的距離d4，

1k2

55

k或k．

22

故選：C．

變式6．（2024·江西吉安·高三吉安三中?？茧A段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C：

2

x1y22，點A2,0，若圓C上存在點M，滿足MA2MO210，則點M的縱坐標(biāo)

的取值范圍是___________.

77

【答案】,

22

【解析】解析：設(shè)Mx,y，

2

因為MA2MO210，所以x2y2x2y210，

化簡得x2y22x30，

則圓C：x2y22x10與圓C：x2y22x30有公共點，

1

將兩圓方程相減可得兩圓公共弦所在直線方程為x

2

2277

代入xy2x30可得y，

22

77

故答案為：,.

22

題型三：定冪方和隱圓

例7．（2024·湖南長沙·高一長沙一中校考期末）已知點A1,0，B2,0，直線l：kxy5k0

上存在點P，使得PA22PB29成立，則實數(shù)k的取值范圍是______.

1515

【答案】,

1515

【解析】由題意得：直線l:yk(x5)，

因此直線l經(jīng)過定點(5,0)；

22

設(shè)點P坐標(biāo)為(x0，y0)；PA2PB9，

2222

y0(x01)2y02(x02)9

22

化簡得：x0y02x00，

因此點p為x2y22x0與直線l:yk(x5)的交點．

所以應(yīng)當(dāng)滿足圓心(1,0)到直線的距離小于等于半徑

|4k|

1

k21

1515

解得：k[,]

1515

1515

故答案為k[,]

1515

例8．（2024·浙江·高三期末）已如平面向量a、b、c，滿足a33，b2，c2，bc2，

222

則的最大值為（）

abacabac

A．1923B．192C．48D．43

【答案】B

【解析】如下圖所示，作OAa，OBb，OCc，取BC的中點D，連接OD，

r

以點O為圓心，a為半徑作圓O，

bc1

cosBOCcosb,c，0BOC，BOC，

bc23

所以，BOC為等邊三角形，

D為BC的中點，ODBC，所以，BOC的底邊BC上的高為OD2sin3，

3

rruuruuuruur

abOAOBBA，acOAOCCA，

所以，abacBACAABACABACcosBAC，

222222

所以，

abacabacABACABACcosBAC

2

2，

ABACsinBAC2S△ABC

由圓的幾何性質(zhì)可知，當(dāng)A、O、D三點共線且O為線段AD上的點時，

ABC的面積取得最大值，此時，ABC的底邊BC上的高h(yuǎn)取最大值，即

1

hAOOD43，則S△24343，

maxABCmax2

2222

因此，的最大值為

abacabac443192.

故選：B.

例9．（2024·河北衡水·高三河北衡水中學(xué)校考期中）已知平面單位向量e1，e2的夾角為60°，

3

向量滿足2，若對任意的，記的最小值為，則的最

cc2e1e2c0tR|cte1|MM

2

大值為

131333

A．B．C．1D．13

2424

【答案】A

2

2

232e1e2

【解析】由推出2e1e231，所以

c2e1e2c0c

22244

2ee1

121

c，如圖，c終點的軌跡是以為半徑的圓，設(shè)OAe1，OBe2，OCc，

222

ODte1，所以|cte1|表示CD的距離，顯然當(dāng)CDOA時|cte1|最小，M的最大值為圓

1123

心到OA的距離加半徑，即Msin60，

max224

故選：A

變式7．（2024·江蘇·高三專題練習(xí)）已知a，b是兩個單位向量，與a，b共面的向量c滿

2

足c(ab)cab0，則c的最大值為（）

A．22B．2C．2D．1

【答案】C

【解析】由平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算得(ca)(cb)，設(shè)DAa,DCb,DCc，

則caAC,cbBC，則點C在以AB為直徑的圓O周上運動，由圖知：當(dāng)DC⊥AB

2

時，|DC|≥|DC′|，設(shè)ADC，利用三角函數(shù)求c的最值．由c(ab)cab0得：

(ca)(cb)0，即(ca)(cb)，

設(shè)DAa,DCb,DCc，

則caAC,cbBC，

則點C在以AB為直徑的圓O上運動，

由圖知：當(dāng)DC⊥AB時，|DC|≥|DC′|，

設(shè)ADC，

則DC|DO||AO|sincos2sin，

4

所以當(dāng)時，|DC|取最大值2，

4

故選：C．

變式8．（2024·浙江舟山·高一舟山中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知a、b、e是平面向量，e是單

222222

位向量．若a4ae2e0，b3be2e0，則a2ab2b的最大值為_______．

【答案】7

222

【解析】因為a4ae2e0，則a2e2，即a2e2，

22

因為b3be2e0，即beb2e0，

uuurr

作OAa，OBb，OEe，OC2e，則a2eCA2，

beb2eEBCB0，則EBCB，

固定點E，則E為OC的中點，則點B在以線段CE為直徑的圓D上，

點A在以點C為圓心，2為半徑的圓C上，如下圖所示：

22222222

a2ab2babbBAOBBC2OB，

設(shè)BCE，則BCcos，

uuur2222

因為OC2，OBCBCOCB2CBCOcosCO43cos2，

22222

故a2ab2bBC2OBcos243cos2

2

22，

2cos22cos62cos77

2

222

當(dāng)cos時，等號成立，即a2ab2b的最大值為7.

2

故答案為：7.

變式9．（2024·四川達(dá)州·高二四川省大竹中學(xué)校考期中）已知a，b，e是平面向量，e是

2

單位向量.若非零向量與的夾角為，向量滿足，則ab的最小值是

ae3bb5eb40

_______．

【答案】536

4

【解析】由2得，，

b5eb40(b4e)(be)0

故(b4e)(be)，或be或b4e，

設(shè)OAe，OBb，以O(shè)為原點，OA的方向為x軸正方向，建立如圖所示坐標(biāo)系，

則A(1,0)，令C(4,0)，則beAB，b4eCB，

由(b4e)(be)，或be或b4e，

53

得B點在以(,0)為圓心，為半徑的圓上，

22

又非零向量與的夾角為，則設(shè)的起點為原點，則終點在不含端點的兩條射線

ae3a

y3x，(x0)上，

5

則ab的幾何意義等價于圓上的點到射線上的點的距離，則其最小值為圓心(,0)到直線的

2

距離減去半徑，不妨以y3x為例，

5

3

則ab的最小值為3536

2

224

故答案為：536

4

變式10．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知平面向量a、b、c、e，滿足ab，a2b，cab，

212

e1，若a6ae80，則cec的最大值是_________.

3

【答案】3107

6

222

【解析】因為a6ae80，即a6ae9e1，可得a3e1，

rr

2

設(shè)e1,0，ax,y，則a3ex3,y，則x3y21，

x3cos

設(shè)，則a3cos,sin，

ysin

sin3cossin3cos

因為ab，a2b，則b,或b,，

2222

sin3cos

因為cab，則c3cos,sin或

222

sin3cos

c3cos,sin，

222

22

235235

令cm,n，則m3n或m3n，

2424

2

235

根據(jù)對稱性，可只考慮m3n，

24

2

121221323

由cecmmnmn，

33324

22

333332

記點A3,、B,0、Pm,n，則AB3，PA1，

22222

325

所以，PBPAABPAAB，

2

2

235

當(dāng)且僅當(dāng)點M為線段AB與圓x3y的交點時，等號成立，

24

22

22

所以，113231313253

cecmnPB

332434324

3107

.

6

3107

故答案為：.

6

rrr

變式11．（2024·河南南陽·南陽中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知a、b、e是平面向量，e1，若非

π2

零向量a與e的夾角為，向量b滿足b4be30，則ab的最小值是__________.

3

【答案】31/13

πrrrrπ122

【解析】設(shè)ax,y,e1,0,bm,n，則由a,e得aeaecos,xxy，

332

可得y3x，

22222

由b4eb30得mn4m30,(m2)n1，

r

r22

因此，abxmyn表示圓(m2)2n21上的點m,n到直線y3x上的

點x,y的距離；

23

故其最小值為圓心2,0到直線y3x的距離d3減去半徑1，即31.

2

故答案為：31

題型四：與向量模相關(guān)構(gòu)成隱圓

例10．（2024·遼寧大連·大連二十四中?？寄M預(yù)測）已知a,b,c是平面內(nèi)的三個單位向量，

若ab，則a2c3a2b2c的最小值是__________．

【答案】25

22

【解析】a,b,c均為單位向量且ab，不妨設(shè)a1,0，b0,1，cx,y且xy1，

a2c2x1,2y，3a2b2c32x,22y，

2222

a2c3a2b2c2x14y32x22y

22

1232

2xyxy1，

22

13

a2c3a2b2c的幾何意義表示的是點x,y到,0和,1兩點的距離之和的

22

2倍，

13

點,0在單位圓內(nèi)，點,1在單位圓外，

22

1313

則點x,y到,0和,1兩點的距離之和的最小值即為,0和,1兩點間距離，

2222

2

132

所求最小值為20125.

22

故答案為：25.

例11．（2024·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知a、b、c、d都是平面向量，且|a||2ab||5ac|1，

若a,d，則|bd||cd|的最小值為____________．

4

【答案】292

【解析】

作圖，aOA，則2aOB，5aOC，

因為2ab1，所以b起點在原點，終點在以B為圓心，1為半徑的圓上；

同理，5ac1，所以c起點在原點，終點在以C為圓心，1為半徑的圓上，

所以的最小值則為BDCD2，

|bd||cd|min

因為a,d，BDBD，當(dāng)B，D，C三點共線時，

4

BDCDBC522229，所以BDCD2292.

minmin

故答案為：292.

例12．（2024·上海金山·統(tǒng)考二模）已知a、b、c、d都是平面向量，且a2ab5ac1，

若a,d，則bdcd的最小值為__________.

4

【答案】292/229

【解析】如圖，設(shè)OA2a，OM5a，OBb，OCc，ODd，

則點B在以A為圓心，以1為半徑的圓上，點C在以M為圓心，以1為半徑的圓上，

π

NOM，所以點D在射線ON上，

4

所以bdcdDBDCDA1DM1DADM2，

π

作點A關(guān)于射線ON對稱的點G，則DGDA，且GOA，

2

所以DADMGM42529（當(dāng)且僅當(dāng)點G,D,M三點共線時取等號）

所以bdcd的最小值為292，

故答案為：292.

變式12．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知線段MN是圓C:(x1)2y28的一條動弦，且

MN23，若點P為直線2xy80上的任意一點，則PMPN的最小值為

__________.

【答案】25

【解析】如圖，P為直線2xy80上的任意一點，

過圓心C作CDMN，連接PD，由MN23，

2

2MN

可得CDCN5，

2

由PMPN2PD2PCCD，當(dāng)C,P,D共線時取等號，

又D是MN的中點，所以CPMN，

208

所以|PD|min55.

221

則此時PMPN2PD25，

PMPN的最小值為2