專(zhuān)題4.1數(shù)列的概念（B卷提升篇）（人教A版第二冊(cè)，浙江專(zhuān)用）

參考答案與試題解析

第I卷（選擇題）

選擇題（共10小題，滿(mǎn)分50分，每小題5分）

.[3n-2,n>10/*、

1.（2019?陜西省商丹高新學(xué)校期末（文））若數(shù)列｛（%｝的通項(xiàng)公式為為3〃-29則％=

)

A.27B.21C.15D.13

【答案】A

【解析】

3H—2,n>10

因?yàn)椤！?<neN*所以。5=35-2=33=27,

3n-\n<9

故選：A.

2

2.（2019?黑龍江哈師大青岡實(shí)驗(yàn)中學(xué)開(kāi)學(xué)考試）在數(shù)列｛〃〃｝中，6=1a~~7(n>2,neN*),

n2%T

則=

22

A.—B.-C.2D.6

113

【答案】D

【解析】

22222

'/—1,a=2,a-,=------=—，則%=-------

a*(H>2,nGN*),234

2a“一］T2^-1-----------2a2-l32a3-l

3.（2019?綏德中學(xué)高二月考）數(shù)列｛"”｝的通項(xiàng)公式a,,="cos;",其前九項(xiàng)和為S“，貝U=

A.1008B.2015C.-1008D.-504

【答案】C

【解析】

jr3JZ-

根據(jù)三角函數(shù)的周期性可=COSy=0,02=2cos冗=-2=3cos-^-=0>%=4cos

=4，同理得q=0,%=—6,叼=0,4=8,可知周期為4,二S201s=503Q|+的+4+。4)+%)13+

+<^oi4+6^oi5=1006—2014=—1008.

4.（2020.四川涼山?期末（文））德國(guó)數(shù)學(xué)家科拉茨1937年提出了一個(gè)著名的猜想：任給一個(gè)正整數(shù)/,如

果/是偶數(shù)，就將它減半（即士）；如果f是奇數(shù)，則將它乘3加1（即夕+1）,不斷重復(fù)這樣的運(yùn)算，經(jīng)過(guò)

2

3al為奇數(shù)）

有限步后，一定可以得到1.猜想的數(shù)列形式為：為為正整數(shù)，當(dāng)“cN*時(shí)，4=q/、，

爭(zhēng)（%為偶數(shù)）

則數(shù)列｛〃/中必存在值為1的項(xiàng).若%=1，則％的值為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】

3%+為奇數(shù)）

因?yàn)?=1,

卓,（明為偶數(shù)）

I2

所以q=3xl+l=4,

a,=-=2,

2

W,

2

4=3xl+l=4,

1=2,

故選：B

5.（2020.云南其他（理））數(shù)學(xué)上有很多著名的猜想，角谷猜想就是其中之一，它是指對(duì)于任意一個(gè)正整數(shù),

如果是奇數(shù)，則乘3加1.如果是偶數(shù)，則除以2,得到的結(jié)果再按照上述規(guī)則重復(fù)處理，最終總能夠得到

1.對(duì)任意正整數(shù)為，記按照上述規(guī)則實(shí)施第九次運(yùn)算的結(jié)果為4（〃eN）,則使%=1的g所有可能取值

的個(gè)數(shù)為（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】D

【解析】

34T+14T為奇數(shù)

由題意知V/eN*，a=%,

n-為偶數(shù)

由%=1，得。6=2,二。5=4,。4=1或%=8.

①當(dāng)。4=1時(shí)，4=2，二4=4,，q=1或4=8,二/=2或，=16.

②若a4=8,貝！J%=16,二4=5或里=32,

當(dāng)。2=5時(shí)，%=10,此時(shí)，。（）=3或%=20,

當(dāng)a?=32時(shí)，q=64,此時(shí)，?=21或。0=128,

綜上，滿(mǎn)足條件的旬的值共有6個(gè).

故選：D.

6.（2020.貴州威寧?）觀察數(shù)列21,In2,cos3,24,ln5,cos6,27,ln8,cos9,…，則該數(shù)列的第

20項(xiàng)等于（）

A.23°B.20C.lii20D.cos20

【答案】C

【解析】

觀察數(shù)列得出規(guī)律，數(shù)列中的項(xiàng)中,

指數(shù)、真數(shù)、弧度數(shù)是按正整數(shù)順序排列,

且指數(shù)、對(duì)數(shù)、余弦值以3為循環(huán),

-.-20=6?32,

可得第20項(xiàng)為ln20.

故選：C.

（3-a）n-3,n<l

（nwN*）,且數(shù)列｛4｝是遞

7.（2020?邵東縣第一中學(xué)月考）已知數(shù)列｛4｝滿(mǎn)足：an=,n-6

a,n>7

增數(shù)列，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）

99

A?（了"By，為C.（1,3）D.（2,3）

【答案】D

【解析】

3—tz>0

（3-tz）n-3,x<7

==H要使｛公｝是遞增數(shù)列，必有＜a＞l，據(jù)

根據(jù)題意，ClnX^）1,sn-A6-'EAT,

a>7（3-a）x7-3＜廣

4<3

此有：<a>\,綜上可得2<〃<3.

a>2或〃<-9

本題選擇。選項(xiàng).

8.(2020?河北新華.石家莊新世紀(jì)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校期中)己知數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式為4="—即(2eR),

若｛4｝為單調(diào)遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)X的取值范圍是()

A.B.(ro,2)C.(-00,1)D.

【答案】A

【解析】

由已知得4+1—a”=("+1)~—2("+1)—+A,n=2n+1—A,

因?yàn)椋?｝為遞增數(shù)列，所以有4+1—。，>0,即2〃+1—2>0恒成立，

所以;1<2〃+1,所以只需；1<(2〃+1).,即；l<2xl+l=3,

所以4<3,

故選：A.

2""

9.(2020?邵東縣第一中學(xué)期末)已知數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和S",且=(〃-1%b?=—,則數(shù)列也｝

的最小項(xiàng)為()

A.第3項(xiàng)B.第4項(xiàng)C.第5項(xiàng)D.第6項(xiàng)

【答案】A

【解析】

；4=S,

Sn-an=Sn_x,則S“_]=(〃一1)2,即Sn=〃2(〃eN*),

a”=772—(n-1)=2n—1.

易知母>0,

r2ln-Xr2ln+X

R=丁"w

.b.+i_22"46n

4

bn(ji+1)n+1

當(dāng)魯〉1時(shí)’">血+1’

當(dāng)1W〃<3時(shí)，bn>bn+l,

當(dāng)〃之3時(shí),bn<bn+l,

I32

又打=一，0=—

22*381

，當(dāng)〃=3時(shí)，2有最小值.

故選：A

2

10.(2020?浙江其他)已知數(shù)列｛4｝滿(mǎn)足4=a(o<a<l),可用=&+京?,“eN*,則()

2B.當(dāng)a=g時(shí)，?2020〉1

A.當(dāng)a=一時(shí),口2020<1

3

,1…

C.當(dāng)a=一時(shí),°2020<1D.當(dāng)a時(shí)，。2。20>1

3

【答案】C

【解析】

2

因?yàn)閍,+i—4=養(yǎng)^>0,所以｛4｝遞增，從而42a,

2

2

,2…上〉

當(dāng)a=一時(shí),，用n

32019

2019

4

所以2,4排除A

a9

。202。>\+2019-=——I——>1

201939

當(dāng)0<aW；時(shí)，因?yàn)?019%用=2019?！?a；=4(2019+a“)，

所以—:11(11)

4(2019+4)—20191a,2019+a,J'

111

所以---

4+1a?2019+%,

1111

所以-------=>

4+1an---2019+4----2019

從而—2019—=--1>2-1=1,

故有?2020<1.

出020q2019a

故選：C.

第n卷（非選擇題）

二.填空題（共7小題，單空每小題4分，兩空每小題6分，共36分）

11.（2020?上海市七寶中學(xué)期末）已知數(shù)列｛%｝的前幾項(xiàng)和為4=cos（wr）,則

§2020=-------------------'

【答案】0

【解析】

由an=cos（zvr）得an+2=cos（n兀+2%）=cos（加r）=an,

所以數(shù)列｛%｝以2為周期，

又％=cos?=—1,/=cos2"=1,

所以^2020=1。1。義（4+%）=0.

故答案為：0.

12.（2020?云南昆明?高二期末（理））數(shù)列｛4｝中，已知%=2,an+2=an+l+an,若的=34,則數(shù)列｛4｝

的前6項(xiàng)和為.

【答案】32

【解析】

...數(shù)列｛風(fēng)｝中，%=2,%,+2=4+1+4，%=34,

.?.%=%+=2+,〃4=。3+。2=2+4+2=4+%,

。5=。4+〃3=6+2〃1,&=。5+〃4=1°+3。1,

%=%+。5=16+5%,4=%+4=26+8囚=34,

解得％=1,

數(shù)列｛4｝的前6項(xiàng)和為：

邑=%+2+（2+%）+（4+%）+（6+2q）+（10+3%）=24+8q=32,

故答案為：32.

13.(2020?潛江市文昌高級(jí)中學(xué)期末)觀察下列數(shù)表:

1

35

791113

1517192123252729

設(shè)1025是該表第m行的第“個(gè)數(shù)，則機(jī)+〃=.

【答案】12

【解析】

根據(jù)上面數(shù)表的數(shù)的排列規(guī)律，1、3、5、7、9、…都是連續(xù)奇數(shù),

第一行1個(gè)數(shù)；

第二行2=2個(gè)數(shù)，且第一個(gè)數(shù)是3=22—1；

第三行4=22個(gè)數(shù)，且第一個(gè)數(shù)是7=23-1；

第四行8=23個(gè)數(shù)，且第一個(gè)數(shù)是15=24-1；

第10行有29個(gè)數(shù)，且第一個(gè)數(shù)是21°-1=1023,第二個(gè)數(shù)是1025,

所以1025是該表第10行的第2個(gè)數(shù)，所以帆=10，n=2,則加+”=12

故答案為：12.

14.(2018?浙江溫州?高一期中)已知數(shù)列｛4｝對(duì)任意的p,qeN*滿(mǎn)足＜+0=4+4，且g=T，則

【答案】—12-2n

【解析】

由題意，根據(jù)條件得。2=q+%=-4,則4=-2,而%=。2+%=-6,所以/=-12,…,

由此可知an=-2n,從而問(wèn)題可得解.

15.(2020?浙江省高一期末)設(shè)數(shù)列｛q｝的前w項(xiàng)和為S“，滿(mǎn)足s“=(—1)%“—(g)("eN*),貝I]

;S3=.

1

【答案】

416

【解析】

當(dāng)〃=1時(shí)，。］=一。］一;，解得。1=一;.

（2）當(dāng)〃22時(shí)

a=S-S?.=(-l),!a--1a,,,+^T，

nnn-i''n'/〃一12n-l

令〃=3可得，Q3=-%一衛(wèi)一a2+工，即2〃3二W一〃？，

令〃=4可得，Q4=%--------(一〃3)~1---，

168

…1111

則/=%+〃2+々3+

16

16.（2020?安徽省六安一中高三其他（文））已知在數(shù)列｛4｝中，1=U且也l）%+i=L設(shè)

，1，、

bn=--------，neN*，貝U4=，數(shù)歹。｛〃｝前"項(xiàng)和（=

anan+l

【答案】2n-l—

2“+1

【解析】

/八.anan+l11_1_

%一(/1)%=14，—丁

1a1

4+1_n（心2）

nnn—1n—1

%1為常數(shù)列，1—--4T=2（心2）

n—1n-1n—1n—1

:.an=2n-l(?>2),〃=1,%=1適合上式.

an=2n-l,nGN*,

1_1_lp______

anan+i(2n-1)(2〃+1)212〃-12n+lJ

n

2n+1

n

故答案為：2〃—1；

2〃+1

17.（2020.湖南開(kāi)福倜南中學(xué)二模（理））已知數(shù)列｛%｝對(duì)任意的〃￡",都有句￡產(chǎn),且

3an+L?！槠鏀?shù)

%,a“為偶數(shù)

①當(dāng)%=8時(shí)，4019=

②若存在mGN*,當(dāng)力〉機(jī)且4"為奇數(shù)時(shí)，區(qū),恒為常數(shù)P,則尸=

【答案】21

【解析】

3a.+1,可為奇數(shù)

a,貝IQ]=8,=4,%=2,%=L〃5=4,〃6=2,…

n+l號(hào),為為偶數(shù)a2

故從第二項(xiàng)開(kāi)始形成周期為3的數(shù)列，故。2019=2

當(dāng)知為奇數(shù)時(shí)，?！?1=3。“+1為偶數(shù)，故?！?2=誓=的>

若為,+2為奇數(shù)，貝4。,=的盧，故4=一1，不滿(mǎn)足；

若4+2為偶數(shù)，則4+3=字=岑乙，直到為奇數(shù)，即4=考口/eN*

1*

故冊(cè),當(dāng)左=2時(shí)滿(mǎn)足條件，此時(shí)q=1,即p=l

故答案為：①2；②1

三.解答題（共5小題，滿(mǎn)分64分，18--20每小題12分，21,22每小題14分）

18.（2017?山東省單縣第五中學(xué)高二月考（文））數(shù)列｛?！保耐?xiàng)4+（〃eN*）,試問(wèn)該數(shù)列

｛%｝有沒(méi)有最大項(xiàng)？若有，求出最大項(xiàng)；若沒(méi)有，說(shuō)明理由.

【答案】最大項(xiàng)為為=。10=]p

【解析】

a>a

設(shè)凡是該數(shù)列的最大項(xiàng)，貝叫nn+｝

142磯

解得9W〃W10

eN*，

〃=9或〃=10,

點(diǎn)睛：求數(shù)列最大項(xiàng)或最小項(xiàng)的方法

a.<a[a,>a

(1)可以利用不等式組5?2)找到數(shù)列的最大項(xiàng)；利用不等式"T"(〃》2)找到數(shù)列的最

>a“+ianKa“+]

小項(xiàng).

(2)從函數(shù)的角度認(rèn)識(shí)數(shù)列，注意數(shù)列的函數(shù)特征，利用函數(shù)的方法研究數(shù)列的最大項(xiàng)或最小項(xiàng).

19.(2020?黑龍江龍鳳?大慶四中月考(文))數(shù)列｛%,｝滿(mǎn)足：幺+生+…+—=〃2+〃，〃eN*.

23n+1

(1)求｛%｝的通項(xiàng)公式；

.19

(2)設(shè)么=1，數(shù)列也,｝的前幾項(xiàng)和為S,,,求滿(mǎn)足邑>三的最小正整數(shù)〃.

【答案】(1)a?=27i(n+l)；(2)10.

【解析】

(1)?.?幺+女+…+衛(wèi)=/+〃.

23n+1

n=l時(shí)，可得&=4,

時(shí)，幺+&+…+—=〃一1?+〃一1.

23n

兩式相減可得—=(2n-l)+l=2n,

n+1

/.an=2n(n+l).HFI時(shí)，也滿(mǎn)足，

⑵,"1丁即可1行If一l刀1

1<11111｝\（1）c9g

.*.S=-1-----1-------F...H---------=-1----------,又S>—，可得n〉9,

n2（223nn+\）2（n+1）n20

可得最小正整數(shù)n為10.

20.（2020?上海市七寶中學(xué)期中）數(shù)列｛?！埃凉M(mǎn)足tvz.+M"=4,+4+1+4+2（4。"+1wl，"eN*）,且為=1,

出=2.規(guī)定的｛。”｝通項(xiàng)公式只能用Asin（（z>x+^）+c14/0,?！?,附<1^的形式表示.

（1）求的的值;

（2）證明3為數(shù)列｛4｝的一個(gè)周期，并用正整數(shù)上表示。；

（3）求｛q｝的通項(xiàng)公式.

【答案】（1）%=3（2）證明見(jiàn)解析；。==工（左eN*）.（3）%=—Wsin[—?）+2

【解析】

（1）當(dāng)〃1=1,42=2,〃1〃2〃3=〃1+〃2+〃3,解得〃3=3;

（2）當(dāng)九=2時(shí)，6〃4=2+3+〃4,解得。4=1,

當(dāng)〃=3時(shí)，3〃5=1+3+45,解得。5=2,

???，

可得斯+3=斯，當(dāng)41=1,42=2,43=3;

故3為數(shù)列｛?。囊粋€(gè)周期，

則——=3,在N*,則幻=——（^eN）；

CD3v'

27r

（3）由（2）可得z=Asin（—n+（p）+c,

2TT兀

貝！J1=Asin（—+（p）+c,2=-Asin（y+（p）+c,3=Asin（p+c,

]

BP1—A*---cos（p-A*—sin（p+c,①

2=-A*——coscp-A*—sin（p+c,②

由①+②，可得3=-Asin（p+2c,

??.(?=2,Asin(p=1,

①-②，可得-1=A?括coscp,

貝ijtan(p=-y/3，

71

V|(p|<y,

._兀

??隼1

2A/3.(2萬(wàn)71

--------sin-M+2.

3

21.(2020?湖北宜昌?其他(文))數(shù)列｛4｝中，q=2,(n+1)(?,1+1-)=2(an+n+1).

(1)求出，%的值;

(2)已知數(shù)列｛0｝的通項(xiàng)公式是=〃+1,an=rr+l,a“=〃2+〃中的一個(gè)，設(shè)數(shù)歹U｛'｝的前〃項(xiàng)和

an

為S〃，的前幾項(xiàng)和為北，若3>360,求"的取值范圍.

【答案】(1)a2=6,4=12(2)n>17,且〃是正整數(shù)

【解析】

⑴???(”+1)(4+i—%)=2(%+〃+1),

n+3

,**an+l~7%+2

n+1

1+3「

a1—-----a1+2=6

1+1

。3=；+：%+2=12

(2)由數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式是=〃+1,a“=1+l,a""\”中的一個(gè)，和。2=6得數(shù)列｛%｝的通

項(xiàng)公式是%=n2+n=?(w+l)

,、1111

由%+可得一二

annn+1

；(%—%)+(%-。2)+…+(見(jiàn)+1-%)=%+「％,CLn=〃(〃+1)

(a.—q)+(%—%)+，，，+(%+i—%)=+3”

即Tn=n~+3n

由,>360,得“2+4”-357>0，解得〃>17或〃<一21

n是正整數(shù)，

.?.所求九的取