第八章第4節(jié)《空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系》解答題(1)

1.如圖所示，在直角梯形ABZJC中，AB//CD,AB>CD,S是直角

梯形A8OC所在平面外一點，畫出平畫S3。和平面SAC的交線并

寫出過程.

2.如圖所示，D,E分別是AABC的邊AC,BC上的點，平面a經(jīng)過。，E兩點.

(1)求作直線AB與平面a的交點P;

(2)求證：D,E,尸三點共線.

3.如圖，在四棱錐P—ABCC中，PD,底面ABC。，底面48C。為正方形，PD=DC,E,F分別

是A8,尸8的中點.

p

A

(1)求證：EFA.CD；

(2)在平面尸4。內(nèi)求一點G,使GF，平面PCB,并證明你的結(jié)論.

4.如圖，在三棱錐A-BCD中，G,H分別為△力BC與△ACC的重心,E,尸分別為BC,CZ)的中

點.求證：EH,FG,GH三線共面.

5.如圖所示，在四邊形A8C。中，已知AB〃CD,直線AB,BC,

AD,0c分別與平面a相交于點E,G,H,F.求證：E,F,G,

〃四點共線.

6.如圖，在四面體ABCO中作截面PQR,若P。與CB的延長線交于點A1,RQ與OB的延長線交

于點N,RP與。C的延長線交于點K.

(1)求證：直線MNu平面「QR；

(2)求證：點K在直線MV上.

7.已知三個不重合的平面a,p,y,三條不同的直線a,h,c,若aC0=c,￡ny=a,yna=b,

且a和人不平行.求證：a,b,c三條直線必過同一點.

8.如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是平行四邊形，△ABP是等邊三角形且邊長是4,DA=DP.

(1)證明：AP1BD-.

(2)若D4=4,BD=2V6,求三棱錐D-BPC的體積.

9.如圖，四棱錐S-4BCD的底面是正方形，每條側(cè)棱的長都是底面邊長的或倍，點P為側(cè)棱SQ

上的點.

(1)求證：ACLSD；

(2)若SDJL平面PAC,求平面SBC與平面PAC所成二面角的余弦值.

10.已知正方體ABCO-&BiGZ)i，E,F分別為AC和4D上的點，且EF1AC,EFLA^D.

⑴求證:EF//BD1；

(2)求證：BE,CiF,￡M三條直線交于一點.

11.已知aua,bua,adb=A,Pe.b,PQ〃a.求證：PQca.

12.已知三個平面a,/?,y,如果a〃S，yna=a,yn/?=b,且直線cu/?.

(1)判斷c與a的位置關(guān)系，并說明理由；

(2)判斷。與人的位置關(guān)系，并說明理由.

13.如圖，已知正方體A8C0-418165，證明：直線與直線&C是異

面直線.

14.如圖，畫出過三點A,B,C的截面與多面體在各個面上的交線圍成的平面圖形，其中42與所

在面的邊不平行，要求保留作圖痕跡.

15.如圖，在長方體4BCC-48傳1。1中，44i=2,AB=BC=1,E為BB1的中點，尸為4cl的中

點.

⑴求證：EF〃平面A2CZ)；

(2)求點E到平面4B1G的距離.

16.已知四棱柱ABC?！狝iBiGDi的側(cè)面都是矩形，底面四邊形A8CD是菱形，且4B=BC=2痘,

乙48c=120°,若1ADr,求人〃的長.

17.如圖，在直三棱柱ABC-A1&C1中，AC=BC=四，乙4cB=

90。.44]=2,。為A8的中點.求證：AC1FQ.

18.正方體4BCD如圖所示.

(1)若E,尸分別為A4i，CG的中點，畫出過點Di，E,尸的截面;

(2)若M,N,尸分別為BB],BiQ上的點(均不與名重合)，求證：△MNP是銳角三角形.

19.如圖，已知四面體ABCO的所有棱長都是2,點E是AD的中點.

(I)求證：AD1BC；

(11)求麗?不的值.

20.如圖，已知AABC在平面a外，它的三邊所在的直線分別交平面a于

點尸，Q,R,求證：P,Q,R三點共線.

QPR

a

【答案與解析】

1.答案：解：很明顯，點S是平面S3。和平面SAC的一個公共點,

即點S在交線上，由于力B>CD,

則分別延長AC和BD交于點、E,如圖所示：

EGAC,ACu平面SAC,E€平面SAC.

同理，可證Ee平面S3D

.?.點E在平面S3。和平面S4C的交線上，

連接SE,直線SE是平面SB。和平面SAC的交線.

解析：本題考查了點，線，面之間的關(guān)系，考查了面面交線的畫法，是一道基礎(chǔ)題.

先根據(jù)題意畫出圖象，說明時可根據(jù)點E在平面S3。上和平面SAC上，從而得出SE是交線.

2.答案：.解：(1)延長AB交平面a于點P,如圖

所示.

(2)證明：平面力BCC平面a=DE,PG

AB,ABu平面ABC,P6平面ABC,

又Pea,P在平面a與平面ABC的

交線上，即PeDE,二。，E,P三點

共線.

解析：本題考查平面的基本性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

(1)延長A8交平面a于點P,即得結(jié)果；

(2)只要證明點尸在平面A8C與平面a的交線上即可.

3.答案：(1)證明：以D4,DC,所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖,

則。(0,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),F(a,p0),P(0,0,a),尸舞()，

■-'EF=DC=(0,a,0).

???EF-DC=(-p0,^)-(0,a,0)=0,EF1DC.

(2)解：Ge平面PAD,設(shè)G(x,O,z),

???FG=(%-^,-pz-^).

由(1)知麗=(a,0,0),CP=(0,-a,a).

由題意，要使GF1平面尸CB,

只需FG-CB—(x—p—|,z—,(a,0,0)=a(x—^)=0,

FG-CP=(x-|)?(0,-a,a)=y+a(z-^)=0,

二x=/,z=0.

.??點G的坐標(biāo)為60,0),即點G為A。的中點.

解析：本題考查了空間中直線與直線的位置關(guān)系、利用空間向量判定線面的垂直、平行關(guān)系的相關(guān)

知識，試題難度一般

4.答案：證明：連接AE,AF.

由三棱錐的性質(zhì)，知A,E,F三點不共線，

則4,E,尸確定一個平面a.

所以4€平面a,Ee平面a,F€平面a,4Eu平面a,AFu平面a.

根據(jù)三角形重心的性質(zhì)，知GW4E,HEAF,

所以G6平面a,H6平面a,

所以EHu平面a,FGu平面a,GHu平面a,

所以EH,FG,GH三線共面.

解析：本題考查平面的基本性質(zhì)及應(yīng)用，屬于中檔題.

4,E,尸確定一個平面a,根據(jù)三角形重心的性質(zhì)G64E,H&AF,進而可得E〃，F(xiàn)G,G”三線共

面.

5.答案：證明：因為

所以A8,CD可確定一個平面/?.

又ABna=E,ABu0,

所以E6a,Ee0,

即E為平面a與￡的一個公共點.

同理可證尸，G,"均為平面a與3的公共點.

若兩個平面有公共點，則它們有且只有一條通過該公共點的公共直線,

所以E,F,G,”四點共線.

解析：本題考查平面的基本性質(zhì)及應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

求證出E,F,G,，均為平面a與0的公共點，進而可得結(jié)果.

6.答案：證明：(1)PQu平面PQR,直線尸Q,

M€平面PQR.

■■■RQu平面PQR,N6直線RQ,

???NC平面PQR.

.??直線MNu平面PQR.

(2)???M€直線CB,CBu平面BCD,

?-?M€平面BCD.

由⑴,知Me平面尸。平

???M在平面PQR與平面BCD的交線上，

同理可知N,K也在平面PQR與平面BCQ的交線上，

M,N,K三點共線，

二點K在直線上.

解析：本題考查平面的基本性質(zhì)以及應(yīng)用，屬于中檔題.

(1)由Me平面PQR,Ne平面PQR,可得直線MNu平面PQR.

(2)易得M6平面BCD,而Me平面產(chǎn)。凡所以M在平面PQR與平面BCD的交線上，同理可得可知

N,K也在平面PQR與平面BCD的交線上，即可得到答案.

7.答案：證明：,,,any=b,?ny=a,；.auy,buy.

又直線。和直線方不平行,

:.a,b必相交.

設(shè)anb=P,如圖，則Pea,Peb.

?:au0,bua,.,.PG/?,P6a.

又aCB=c,；.Pec,即直線c經(jīng)過點P.

???a,b,c三條直線必過同一點.

解析：本題考查平面的基本性質(zhì)及應(yīng)用.

由題意畫出圖形，先證明a、匕相交，設(shè)anb=P,再證明Pec即可證得結(jié)論.

8.答案：證明：（1）取AP的中點M,連接DM,BM,，七------------------

DA=DP,BA=BP,：.PA1DM,PA1BM,/\'、、、、/J

又DMnBM=M,P4_L平面。MB,J、\:三小

又BDu平面DMB,PA1BD；

解：（2）???ABC。是平行四邊形，:?SADBC=SAABD，P

%-BPC=Vp-DBC=^P-ABD=%-4PB，

由小。48和4PAD是邊長為4的等邊三角形，得BM=DM=V16-4=2痘,

又BD=4,DM2+BM2=DB2,得DM1BM,

由（1）知，P力，平面8OM,DMLPA,

而PAOBM=M,1-?DM1,平面PAB,

則UD-APB=另x4PBxDM=-x-x4x2>/3x2>/3=8.

解析：（1）取AP的中點M,連接。M,BM,可得PAJ.DM,PA1BM,由直線與平面垂直的判定得

到24，平面DMB,從而可得P41BD；

（2）由題意可得SAQBC=SAAB。，則/1-8PC=Vp-DBC~Vp-ABD~^D-APB,證明_L平面PAB,則二

棱錐。一BPC的體積可求.

本題考查直線與平面垂直的判定與性質(zhì)，考查空間想象能力與思維能力，訓(xùn)練了多面體體積的求法,

是中檔題.

9.答案：⑴連接交AC與點0,由已知可知4sAe是等邊三角形，。為AC的中點，;S。1AC,

由ABCD為正方形得AC1BD,

AC1平面SBD,

AC1SD;

(2)AC1BD,由(1)知S。1平面ABCD,

以。為坐標(biāo)原點，話，死，赤所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)底面邊長為1，則高S0=在，

2

于是8除0,,0)，C(0，￥，0)，S(0,0,孚)，BC==(0,-y,y).

易知，旃=(凈,0凈是平面PAC的一個法向量，

設(shè)平面SBC的一個法向量九=(%,y,z),

則］聯(lián)史=°,即「二二°。，

令z=l,則y=B,x=遮，BPn=(V3,V3,1),

設(shè)平面SBC與平面PAC所成二面角的平面角為8,

則8$。=嚅=手，

mi|DS|7

所以，平面SBC與平面PAC所成二面角的余弦值為名.

7

解析：本題主要考查了線面垂直的性質(zhì)，以及二面角的度量，考查空間想象能力、運算求解能力、

推理論證能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.

(1)連8D,設(shè)AC交8。于。，則S0JL4C,在正方形A8CD中，AC1BD,根據(jù)線面垂直的判定定

理可知AC_L平面SBD,SDu平面SBD,根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知4c1SD.

(T)AC1BD,由(1)知S。_L平面ABC。，設(shè)底面邊長為1,以。為坐標(biāo)原點，而，元,正所在直線分

別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，易知，加=(苧,0,斗)是平面PAC的一個法向量，設(shè)

平面SBC的一個法向量n=(x,y,z),利用cos9=嚅解答即可.

10.答案：證明:⑴連結(jié)和B1C,

在正方體力BC。一481。1。1中,

AxD//BrC-：EFLAXD,

■■EF1B]C,

又???EFLAC,ACClBiC=C,

■■■EF_L平面4/C,

又在正方體4BCC-4/165中，

BiC'LBCi,BCinDiG=Ci，

B]B_L平面BQD1，又BD1u平面

???BrC1BDr,

同理可證，BrA1BDr,Bi4nBic=

???BDi，平面ZBiC,

故EF“BD[.

(2)顯然，EF小于HD1(或者和BE不平行),

由(l)EF〃BDi知，直線QF和BE必相交，

不妨設(shè)BEflDiF=G,

則Ge平面44山山，GC平面ABC。，

又?平面n平面4BC0=AD,

???G&AD,故BE、￡)/、D4三條直線交于一點.

解析：本題主要考查了線面垂直的判定定理，三線交于一點，屬于基礎(chǔ)題.

⑴先證明EF1平面4BiC,BD］，平面,故EF"BD心

(2)顯然，EF小于85(或者。J和8E不平行)，

由(l)EF〃B￡)i知，直線。/和8E必相交，

證明平面44/1。n平面4BCD=AD,

故G€40,故BE、DiF、D4三條直線交于一點.

11.答案：證明：???PQHa,

???PQ與a確定一個平面夕，

???直線au￡,點P60,

P&b,bua,PEa,

aca,

所以直線a與點P都是a與/?的公共點，

???a與口重合，

???PQua.

解析：本題考查平面的基本性質(zhì).

住IPQ//a得PQ與a確定一個平面0,然后證明a與0重合即可求解.

12.答案：解：(l)c與a的位置關(guān)系是：c〃a,

因為?！?,所以a與6沒有公共點，又cu0,所以。與a沒有公共點，

所以c〃a;

(2)a與b的位置關(guān)系是a//b,

因為。〃0,所以a與/?沒有公共點，又yna=a,丫C0=b,所以aua,bu/?,且a,buy,a,

人沒有公共點，

因為a,b都在平面y內(nèi)，

所以a//b.

解析：本題主要考查了空間中直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系，線面平行的判定，面面平行的

性質(zhì)，考查空間想象能力.

(1)由已知得C與a沒有公共點，從而得c〃a；

(2)由己知得a,buy,a,b沒有公共點，從而得a〃b.

13.答案：證明：假設(shè)直線BC］與直線41c不是異面直線，

則直線BQ與直線41c共面，設(shè)直線BG與直線4C所在的平面為a

C、G、&6a,

?B、C、G三點確定的平面為平面BCG，即平面BCCiBi，

二平面BCG以為a,.,.416平面BCGBi，

這與事實相矛盾，故假設(shè)不成立,

???直線BQ與直線4c是異面直線.

解析：本題考查異面直線的證明.

假設(shè)直線BG與直線41c不是異面直線，推導(dǎo)出46平面BCGBi，這與事實相矛盾，從而直線BQ與

直線是異面直線.

14.答案：解：(1)延長54,交尸E的延長線于點￡＞；

(2)連接DC,交EQ于點G,延長。C,交尸H的延長線于點M；

(3)連接交HP于點N；

(4)連接CMGA.則五邊形AGCNB即為所求.

解析：本題考查立體幾何的作圖能力，找線線的交點是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題.

線的交點就是線所在面的交點，所以找到線線的交點，連起來即為面面的交線.

15.答案：解：(1)證明：如圖，連4C、8。相交于點0,連。尺

VFO//BBX,2F0=BB],：.FO//BE,FO=BE.

二四邊形BEFO為平行四邊形，可得E/7/0B.

vOBu平面ABCD,EF平面ABCD,EF〃平面ABCD.

(2)由題知，BiGJ■平面4BB1%,Be是點G到平面的距離.

又AB】u平面4BB遇[,BQ1ABr.

設(shè)點E到平面ABiG的距離為h,

則％1-4B1E=^E-ABiCi，[S團4EB1xB[C]=[S0481clX/l,-X-X1X1X1=^X-XV5X1X/l,

解得/I=

解析：本題考查線面平行的判定，考查利用等體積法求點到面的距離，考查空間中直線和直線，直

線和平面的位置關(guān)系，三棱錐的體積公式，屬于中檔題.

(1)連AC、BO相交于點0,連OF,由題可知FO//BE,FO=BE,即四邊形BEPO為平行四邊形,

可得E/7/0B.結(jié)合OBu平面ABCD,EFC平面ABCD,即可得證EF〃平面ABCD.

(2)由題知BiGJL平面ABB14,即&G是點a到平面的距離.根據(jù)u平面可得

BQ1A%利用等體積法%「WE=由即可求出點E到平面4&G的距離.

16.答案：解:

如圖，連接AC.

由題意得，在四棱柱ABCD-Ai/CiDi中，AXDJ/BC,=BC=273,

???四邊形為BCD1是平行四邊形，[A\B"CD[,

??.N4D1C為和4%所成的角.

???異面直線和A%所成的角為90。，

???4ADiC=90°.

???在四棱柱48。。-418也1。1中，側(cè)面都是矩形，且底面是菱形，

???△力CD1是等腰直角三角形，??.AD1=當(dāng)AC.

???底面四邊形ABCD是菱形且AB=BC=2百，乙ABC=120°,AC=2y/3Xsin60°x2=6,

ADy=^-AC=3企，

AAr=J（4/51）2—（41。1）2=y/6-

解析：本題主要考查空間中直線的長度的求解，異面直線，屬于中檔題.

連接CD1，AC,由題意得，四邊形48CD1是平行四邊形，則4B〃CD1，乙4D】C為和ZD1所成的

角.結(jié)合題意，知41DiC=90。，求出AC的長，進而可得AD】的長，即可求出的長.

17.答案：證明：eg1平面ABC,ACu平面ABC,乙4cB=90。，

???CCj1AC,AC1BC,又BCCCg=C,

???AC1平面BCG，BC】u平面BCCi，???ACJ_

解析：略

18.答案：解：（1）連結(jié)。把、BE、BF、D/,

則平面DiEBF是過劣、E、尸的截面，如下圖：

A

證明：（U）設(shè)MB]=a,NB[=b,PBX=c,

則MN?=a2+b2,Np2=b2+c2,MP2=c2+a2,