第六章一次方程組6.3三元一次方程組及其解法

一、教材分析本節(jié)課《三元一次方程組及其解法》是華師版初中數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)第六章第三節(jié)內(nèi)容．本課在學(xué)生學(xué)習(xí)了二元一次方程、二元一次方程組及二元一次方程組的解的基本概念后，進(jìn)一步深入學(xué)習(xí)三元一次方程、三元一次方程組及其解法組的解．通過本課的學(xué)習(xí)，加深學(xué)生對(duì)消元的認(rèn)知，感受“消元”的思想．

二、學(xué)情分析在本節(jié)課的學(xué)習(xí)中，學(xué)生已經(jīng)具備了方程組的基礎(chǔ)知識(shí)，對(duì)方程組的概念有了初步詳細(xì)的了解．然而，在面對(duì)多元題目還不能迅速的做出判斷，找出應(yīng)消去的未知數(shù)．因此，在教學(xué)過程中，要采用學(xué)生多練，多思考，教師要主動(dòng)引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)歸納解題的方法和規(guī)律．

三、教學(xué)目標(biāo)1．了解三元一次方程組的概念．2．會(huì)用“代入”、“加減”把三元一次方程組化為“二元”、進(jìn)而化為“一元”方程來解決．3．能根據(jù)三元一次方程組的具體形式選擇適當(dāng)?shù)慕夥ǎ?．讓學(xué)生感受把新知轉(zhuǎn)化為已知，把不會(huì)的問題轉(zhuǎn)化為學(xué)過的問題，把難度大的問題轉(zhuǎn)化為難度較小的問題這一化歸思想，體會(huì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的方法．

四、教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：三元一次方程組的解法及“消元”思想．難點(diǎn)：根據(jù)方程組的特點(diǎn)，選擇消哪個(gè)元，選擇用什么方法消元．

五、教學(xué)過程情境導(dǎo)入在6.1節(jié)中，我們應(yīng)用二元一次方程組，求出了勇士隊(duì)在“我們的小世界杯”足球賽第一輪比賽中勝與平的場(chǎng)數(shù)．在第二輪比賽中，勇士隊(duì)參加了10場(chǎng)比賽，按同樣的計(jì)分規(guī)則，共得18分，已知勇士隊(duì)在比賽中勝的場(chǎng)數(shù)正好等于平與負(fù)的場(chǎng)數(shù)之和，那么勇士隊(duì)在第二輪比賽中勝、平、負(fù)的場(chǎng)數(shù)各是多少？這個(gè)問題可以通過列出一元一次方程或二元一次方程組來解決．小明同學(xué)提出了一個(gè)新的思路：?jiǎn)栴}中有三個(gè)未知數(shù)，如果設(shè)勇士隊(duì)在第二輪比賽中勝、平、負(fù)的場(chǎng)數(shù)分別為x、y、z，又將怎樣呢？分別將已知條件直接“翻譯”，列出方程，并將它們寫成方程組的形式，得x+y+z=10①3x+y=18②像這樣的方程組稱為三元一次方程組．怎樣解三元一次方程組呢？回憶一下二元一次方程組的解法，從中得到什么啟示？師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考，再小組交流，最后呈現(xiàn)答案．設(shè)計(jì)意圖：通過創(chuàng)設(shè)問題情境，引入新課，使學(xué)生了解三元一次方程組的概念及本節(jié)課要解決的問題．復(fù)習(xí)回顧解二元一次方程組的基本思想是什么？你會(huì)用幾種方法解二元一次方程組？答：我們知道，解二元一次方程組的基本思想是“消元”：消去一個(gè)未知數(shù)，將方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程求解．方法有代入消元法和加減消元法．師生活動(dòng)：采用教師問學(xué)生答．設(shè)計(jì)意圖：通過提前布置預(yù)習(xí)作業(yè)，培養(yǎng)學(xué)生建立清晰的知識(shí)體系，不僅回顧了知識(shí)點(diǎn)也為學(xué)生接下來學(xué)習(xí)新課做鋪墊．探究新知活動(dòng)一：三元轉(zhuǎn)換為二元解決問題問題1：如何解情境導(dǎo)入中的三元一次方程組？對(duì)于三元一次方程組，同樣可以先消去某一個(gè)（或兩個(gè)）未知數(shù)，轉(zhuǎn)化為二元一次方程組（或一元一次方程）求解．注意到方程③中，x是用含y和z的代數(shù)式來表示的，把它分別代入方程①②，就可以消去x，得到2y+2z=10（化歸思想在這里進(jìn)一步得到體現(xiàn)，你體會(huì)到了嗎？）這是一個(gè)關(guān)于y、z的二元一次方程組，解得y=3將y=3z=2代入方程③中，可得所以這個(gè)三元一次方程組的解是x=5什么叫三元一次方程？在這個(gè)方程組中，x+y+z=10和x=y+z都含有三個(gè)未知數(shù)，并且所含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1，這樣的方程叫做三元一次方程．必備條件：(1)是整式方程；(2)含三個(gè)未知數(shù)；(3)所含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1．什么叫三元一次方程組？像這樣，共含有三個(gè)未知數(shù)的三個(gè)一次方程所組成的一組方程，叫做三元一次方程組．(1)是整式方程；(2)含三個(gè)未知數(shù)；(3)三個(gè)都是一次方程；(4)聯(lián)立在一起．上面的三元一次方程組能否用加減消元法求解？或者能否利用方程③，直接代入方程①中的y+z？比較一下，哪種方法更簡(jiǎn)便？由此你能總結(jié)出解三元一次方程組的步驟嗎？設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生觀察方程組中相應(yīng)方程之間的關(guān)系，從而培養(yǎng)學(xué)生愛探索的好習(xí)慣．師生活動(dòng)：學(xué)生先獨(dú)立思考，再小組交流，最后以小組為代表匯報(bào)展示．概念歸納：解三元一次方程組的步驟：1.利用代入法或加減法先消掉一個(gè)未知數(shù)，將三元一次方程組轉(zhuǎn)化為二元一次方程組.2.解二元一次方程組.3.將二元一次方程組的解代入其中一個(gè)方程，求出第三個(gè)未知數(shù).【教學(xué)說明】結(jié)合情境問題中列出的方程組，類比前面所學(xué)二元一次方程組的解法，得到解三元一次方程組的整體思路．活動(dòng)二：選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠探M問題2：解方程組3x?y+2z=32x+y?4z=117x+y?5z=1，若要使運(yùn)算簡(jiǎn)便，消元的方法應(yīng)選取(A.先消去xB.先消去yC.先消去zD.以上說法都不對(duì)師生活動(dòng)：學(xué)生先獨(dú)立思考，再小組交流．設(shè)計(jì)意圖：通過讓學(xué)生操作，培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)手的能力，并引發(fā)學(xué)生的思考，加深對(duì)本節(jié)概念的印象．應(yīng)用新知經(jīng)典例題：例1：解方程組：2x?3y+4z=3①3x?2y+z=7②解：由方程②，得z=7?3x把④分別代入方程①和③,得2x?3y+4(7?3x+2y)=3整理，得?2x+y=?5解這個(gè)二元一次方程組，得x=1代入④，得z=所以原方程組的解為x這里，我們用的是代入消元法：先由方程②，用含有x、y的代數(shù)式表示z，再分別代入方程①和③，消去未知數(shù)z，轉(zhuǎn)化為只含有x的二元一次方程組求解。能否先消去x（或y）？怎么做？比較一下，哪個(gè)更簡(jiǎn)便？例2：解方程組：3x+4y?3z=3①2x?3y?2z=2②分析：三個(gè)方程中未知數(shù)的系數(shù)都不是1或?1解：③－②，得3x+6z=?24即x+2z=?8①×3＋②×4，得17x?17z=17即x?z=1得方程組x+2z=?8x?z=1解得x=?2把x=?2z=?3代入方程②，得所以原方程組的解為x上述例1和例2的解答分別應(yīng)用了代入消元法和加減消元法，先消去某一個(gè)未知數(shù)，將三元一次方程組轉(zhuǎn)化為二元一次方程組，然后解所得的二元一次方程組，得到兩個(gè)未知數(shù)的值，進(jìn)而求出第三個(gè)未知數(shù)的值，從而得到原方程組的解．能否先消去z（或x）？怎么做？比較一下，哪個(gè)更簡(jiǎn)便？師生活動(dòng)：學(xué)生先獨(dú)立思考設(shè)計(jì)意圖：通過學(xué)生參與活動(dòng)，激發(fā)學(xué)生參與課堂教學(xué)的熱情，使學(xué)生進(jìn)入問題情境，讓學(xué)生加深對(duì)知識(shí)點(diǎn)印象．激發(fā)學(xué)生的求知欲望，感受數(shù)學(xué)的魅力．解三元一次方程組的基本思路是：通過“代入”或“加減”進(jìn)行消元，把“三元”轉(zhuǎn)化為“二元”，使解三元一次方程組轉(zhuǎn)化為解二元一次方程組，進(jìn)而再轉(zhuǎn)化為解一元一次方程．課堂練習(xí)【教材練習(xí)】1、解下列方程組：（1）x（3）x(1)解：①＋②得4x+3z=18②－③得2x+5z=16得方程組4x+3z=18解得x=3將x=3z=2得y所以原方程組的解為x=(2)解：①＋2×②得3x?10z=?17得方程組3x?10z=?17解得x=1將x=1z=2得y所以原方程組的解為x=(3)解：把原方程組整理，得x③－①，得2y?z=4④①×4－②，得6y?7z=16⑤⑤－④×3，得?4z=4即z把z=?1代入④得y=3把y=32，z=?1代入①得所以原方程組的解為x=?1(4)解：由①得x:y=6:4④由②得y:z=4:5⑤由④和⑤得x:y:z=6:4:5設(shè)x=6k，則y=4k，z=5k把x=6k，y=4k，z=5k代入③得6k+4k+5k=60k=4把k=4代入x=6k=6×4=24所以原方程組的解為x=2．已知y=ax2+bx+c．當(dāng)x=?2時(shí)，y=9；當(dāng)x=0時(shí)，y=3；當(dāng)x=2時(shí)，y=5．求a、解：根據(jù)題意得4a?2b+c=9①c=3②把②代入①、③得4a?2b=6解得a=1所以a=1，b=?1，c=3師生活動(dòng)：學(xué)生先獨(dú)立思考再作答．分析：把“三元”轉(zhuǎn)換為“二元”后解二元一次方程組【限時(shí)訓(xùn)練】1．若x+2y+3z=10，4x+3y+2z=15，則x+y+z的值為（）A.2B.3C.4D.5答：D師生活動(dòng)：老師提問學(xué)生舉手回答問題．解析:通過觀察未知數(shù)的系數(shù)，可采取兩個(gè)方程相加得，5x+5y+5z=25，所以x+y+z=5.2．下列方程是三元一次方程的是________．(填序號(hào))①x+y?z=1； ②4xy+3z=7；③2x+y?7z=0； ④答：①3．解方程組：x+y+z=23①x?y=1②解：由方程②，得x=y+1④將④分別代入①和③，得2y+z=22解得y=8把y=8代入④，得x=9所以原方程組的解為x=4.在等式y(tǒng)=ax2+bx+c中，當(dāng)x=?1時(shí)，y=0；當(dāng)x=2時(shí)，y=3；當(dāng)x=5時(shí)，y=60求解：根據(jù)題意得a?b+c=0①4a+2b+c=3②②－①，得a+③－①，得4a+④與⑤組成二元一次方程組a+b=14a+b=10解得a=3把a(bǔ)=3b=?2代入①得所以原方程組的解為a歸納總結(jié)師生活動(dòng)：教師和學(xué)生一起回顧本節(jié)課所講的內(nèi)容．1．本節(jié)課你學(xué)到了什么？2．解三元一次方程組的基本思路是什么？設(shè)計(jì)意圖：通過小結(jié)讓學(xué)生進(jìn)一步加深并鞏固本節(jié)課所學(xué)的知識(shí)．實(shí)踐作業(yè)