試題PAGE1試題2023-2024學(xué)年廣東省深圳市育才中學(xué)高一（下）段考數(shù)學(xué)試卷（二）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.虛數(shù)單位，（）A. B. C. D.2.已知向量，若，則x的值為（）A.6 B. C.16 D.3.已知m為一條直線，?為兩個(gè)不同平面，則下列說法正確的是（）A.若，，則B.若，，則C.若，，則D.若，，則4.若一個(gè)圓臺(tái)的的正視圖如圖所示，則其側(cè)面積等于（）A.6 B. C. D.5.對(duì)24小時(shí)內(nèi)降水在平地上的積水厚度（）進(jìn)行如下定義：0~1010~2525~5050~100小雨中雨大雨暴雨小明用一個(gè)圓錐形容器接了24小時(shí)的雨水，則這一天的雨水屬于哪個(gè)等級(jí)（）A.小雨 B.中雨C.大雨 D.暴雨6.在正三棱臺(tái)中，已知，，側(cè)棱長為2，則此正三棱臺(tái)的體積為（）A. B. C. D.7.在中，角所對(duì)的邊分別為，且．若有兩解，則的值可以是（）A.4 B.6 C.8 D.108.已知四面體的各頂點(diǎn)均在球的球面上，平面平面，，則球的表面積為（）A. B. C. D.二、多選題：本題共3小題，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列有關(guān)復(fù)數(shù)的說法中（其中為虛數(shù)單位），正確的是（）A. B.復(fù)數(shù)的虛部為C.對(duì)任意復(fù)數(shù)都有 D.復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)的充要條件是10.已知向量，，，則下列說法正確的是（）A.若，則與夾角的余弦值為 B.若，則C.若，則與的夾角為銳角 D.向量在上的投影向量是11.正方體中，，分別為棱和的中點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A.平面B.平面C.異面直線與所成角為60°D.平面截正方體所得截面為等腰梯形三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知復(fù)數(shù)滿足，則的模為___________．13.已知，為單位向量，且它們之間的夾角為，，，且與的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______．14.平行四邊形形狀的紙片是由六個(gè)邊長為1的正三角形構(gòu)成的，將它沿虛線折起來，可以得到如圖所示粽子形狀的六面體，則該六面體的體積為____；若該六面體內(nèi)有一球，則該球體積的最大值為____．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.已知，，，，且.（1）求值；（2）求向量與向量夾角的余弦值.16.如圖，已知四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，側(cè)棱底面，且為側(cè)棱的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求三棱錐的體積．（3）若F為側(cè)棱的中點(diǎn)，求證：平面．17.四棱錐中，．（1）求證：平面平面；（2）當(dāng)平面時(shí)，求直線與平面所成的角的正切值．18.設(shè)內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知，．（1）求角；（2）若，求的面積；（3）求的周長的取值范圍．19.如圖，在平行四邊形ABCM中，AB=AC=3，∠ACM=90°，以AC為折痕將△ACM折起，使點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)D的位置，且AB⊥DA．（1）證明：平面ACD⊥平面ABC；（2）Q為線段AD上一點(diǎn)，P為線段BC上一點(diǎn)，且BP=DQ=DA．①求三棱錐Q?ABP的體積；②求二面角Q?AP?C余弦值．2023-2024學(xué)年廣東省深圳市育才中學(xué)高一（下）段考數(shù)學(xué)試卷（二）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.是虛數(shù)單位，（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的計(jì)算算出答案即可.【詳解】故選：C2.已知向量，若，則x的值為（）A.6 B. C.16 D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示，向量垂直關(guān)系的坐標(biāo)表示計(jì)算作答.【詳解】向量，則，又，因此，解得，所以x的值為16.故選：C3.已知m為一條直線，?為兩個(gè)不同的平面，則下列說法正確的是（）A.若，，則B.若，，則C.若，，則D.若，，則【答案】C【解析】【分析】根據(jù)線面關(guān)系和面面關(guān)系依次判斷即可得出.【詳解】對(duì)A，若，，則或，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，若，，則或，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，若，，則，故C正確；對(duì)D，若，，則與相交或或，故D錯(cuò)誤.故選：C.4.若一個(gè)圓臺(tái)的的正視圖如圖所示，則其側(cè)面積等于（）A.6 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由圓臺(tái)的正視圖可以看出圓臺(tái)是一個(gè)下底面直徑是4,上底面直徑是2,圓臺(tái)的高是2,根據(jù)這三個(gè)數(shù)據(jù)可以在軸截面上過上底的頂點(diǎn)向下底做垂線,根據(jù)勾股定理寫出圓臺(tái)的母線長,利用側(cè)面積公式得到結(jié)果.【詳解】由圓臺(tái)的正視圖可以看出圓臺(tái)是一個(gè)下底面直徑是4,

上底面直徑是2,圓臺(tái)的高是2,

根據(jù)這三個(gè)數(shù)據(jù)可以寫出圓臺(tái)的母線長是

圓臺(tái)的側(cè)面積是,

故選C.【點(diǎn)睛】本題利用空間幾何體的三視圖重點(diǎn)考查學(xué)生的空間想象能力和抽象思維能力，屬于難題.三視圖問題是考查學(xué)生空間想象能力最常見題型，也是高考熱點(diǎn).觀察三視圖并將其“翻譯”成直觀圖是解題的關(guān)鍵，不但要注意三視圖的三要素“高平齊，長對(duì)正，寬相等”，還要特別注意實(shí)線與虛線以及相同圖形的不同位置對(duì)幾何體直觀圖的影響.5.對(duì)24小時(shí)內(nèi)降水在平地上的積水厚度（）進(jìn)行如下定義：0~1010~2525~5050~100小雨中雨大雨暴雨小明用一個(gè)圓錐形容器接了24小時(shí)的雨水，則這一天的雨水屬于哪個(gè)等級(jí)（）A.小雨 B.中雨C.大雨 D.暴雨【答案】B【解析】【分析】由圓錐的體積公式求出雨水的體積，再除以圓面的面積即可得解．【詳解】由題可知，設(shè)圓錐形容器中積水水面半徑為，所以，解得，所以積水厚度為，因此這一天的雨水屬于中雨．故選：B6.在正三棱臺(tái)中，已知，，側(cè)棱的長為2，則此正三棱臺(tái)的體積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先計(jì)算出三棱臺(tái)的上下底面的面積，再根據(jù)底面邊長與側(cè)棱長求解三棱臺(tái)的高，進(jìn)而計(jì)算出三棱臺(tái)的體積．【詳解】正三棱臺(tái)中，已知，，所以的面積為，的面積為，設(shè)，分別是，的中心，設(shè)，分別是，的中點(diǎn)，，，三點(diǎn)共線，，，三點(diǎn)共線，，，，，，過作，垂足為，則，，三棱臺(tái)的高為，三棱臺(tái)的體積為．故選：C．7.在中，角所對(duì)的邊分別為，且．若有兩解，則的值可以是（）A.4 B.6 C.8 D.10【答案】B【解析】【分析】由題意畫出圖形，可得，求出的范圍，結(jié)合選項(xiàng)得出答案.【詳解】如圖，過點(diǎn)作，垂足,則.若有兩解，所以，則，即，得.故選：B8.已知四面體的各頂點(diǎn)均在球的球面上，平面平面，，則球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題首先可根據(jù)題意將四面體看作底面是等邊三角形的直三棱柱的一部分，然后求出直三棱柱的外接球的半徑，最后根據(jù)球的表面積計(jì)算公式即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)槠矫嫫矫?，，所以可將四面體看作底面是等邊三角形的直三棱柱的一部分，如圖所示：則四面體的外接球即直三棱柱的外接球，因?yàn)榈酌嫒切蔚耐庑牡饺切蔚捻旤c(diǎn)的長度為，所以直三棱柱的外接球的半徑，則球的表面積，故選：A.二、多選題：本題共3小題，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列有關(guān)復(fù)數(shù)的說法中（其中為虛數(shù)單位），正確的是（）A. B.復(fù)數(shù)的虛部為C.對(duì)任意復(fù)數(shù)都有 D.復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)的充要條件是【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘方判斷A，根據(jù)復(fù)數(shù)的定義判斷B，根據(jù)復(fù)數(shù)的平方運(yùn)算和復(fù)數(shù)模的計(jì)算判斷C，根據(jù)充要條件的定義判斷D.【詳解】對(duì)于A：，故A正確；對(duì)于B：復(fù)數(shù)的虛部為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：設(shè)，則，則，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D：若復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)，則，設(shè)，，若，即，所以，則復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)，故復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)的充要條件是，故D正確；故選：AD.10.已知向量，，，則下列說法正確的是（）A.若，則與夾角的余弦值為 B.若，則C.若，則與的夾角為銳角 D.向量在上的投影向量是【答案】ABD【解析】【分析】利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可判斷A選項(xiàng)；由平面向量共線的坐標(biāo)表示可判斷B選項(xiàng)；分析可知且與不共線，求出的取值范圍，可判斷C選項(xiàng)；利用投影向量的定義可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，則，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)椋?，，則，若，則，解得，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，若與夾角為銳角，則，解得，且與不共線，所以，，所以，當(dāng)且時(shí)，與的夾角為銳角，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，向量在上的投影向量，D對(duì).故選：ABD.11.正方體中，，分別為棱和的中點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A.平面B.平面C.異面直線與所成角為60°D.平面截正方體所得截面為等腰梯形【答案】ACD【解析】【分析】于A，連接，利用三角形中位線證得，結(jié)合線面平行判定定理即可判斷A；對(duì)于B，取中點(diǎn)，連接，設(shè)正方體棱長為，根據(jù)線段長度結(jié)合勾股定理判斷與是否垂直，即判斷與是否垂直，從而可判斷B；對(duì)于C，連接，根據(jù)正方體的面對(duì)角線性質(zhì)，即可得異面直線與所成角的大小，從而判斷C；對(duì)于D，連接，確定截面完整圖形為四邊形，再計(jì)算其四邊長度與位置關(guān)系，即可判斷D.【詳解】對(duì)于A，如圖，連接，因?yàn)?，分別為棱和的中點(diǎn)，所以，又平面，平面，所以平面，故A正確；對(duì)于B，如圖，取中點(diǎn)，連接，在正方體中，，所以四邊形為平行四邊形，所以，又分別為，中點(diǎn)，則，故，設(shè)正方體棱長為，則，故，所以不垂直于，故不垂直于，又平面，所以不垂直平面，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，如圖，連接，在正方體中，，即為正三角形，又因?yàn)椋謩e為棱和的中點(diǎn)，所以，故異面直線與所成角即為，故C正確；對(duì)于D，如圖，連接，在正方體中，，所以四邊形平行四邊形，則，又，所以，所以四點(diǎn)共面，故平面截正方體所得截面為四邊形，設(shè)正方體棱長為，則，所以，又，故截面為四邊形為等腰梯形，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知復(fù)數(shù)滿足，則的模為___________．【答案】【解析】【分析】設(shè)，則，由題意建立方程解出a，b，結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義即可求解.詳解】設(shè)，則，由，得，則，解得，所以，所以.故答案為：13.已知，為單位向量，且它們之間的夾角為，，，且與的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)數(shù)量積的定義求出，再根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律求出時(shí)的范圍，最后再去掉與同向時(shí)的值，即可得解.【詳解】依題意可得，令，解得，又當(dāng)時(shí)，所以與的夾角為，所以若與的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．故答案為：．14.平行四邊形形狀的紙片是由六個(gè)邊長為1的正三角形構(gòu)成的，將它沿虛線折起來，可以得到如圖所示粽子形狀的六面體，則該六面體的體積為____；若該六面體內(nèi)有一球，則該球體積的最大值為____．【答案】①.②.【解析】【分析】先算出正四面體的體積，六面體的體積是正四面體體積的倍，即可得出該六面體的體積；由圖形的對(duì)稱性得，小球的體積要達(dá)到最大，即球與六個(gè)面都相切時(shí)，求出球的半徑，再代入球的體積公式可得答案.【詳解】每個(gè)三角形面積是，由對(duì)稱性可知該六面是由兩個(gè)正四面體合成的，可求出該四面體的高為，故四面體體積為，因?yàn)樵摿骟w體積是正四面體的2倍，所以六面體體積是；由圖形的對(duì)稱性得，小球的體積要達(dá)到最大，即球與六個(gè)面都相切時(shí)，連接球心和五個(gè)頂點(diǎn)，把六面體分成了六個(gè)三棱錐，設(shè)球的半徑為，所以，所以球的體積故答案為：；.【點(diǎn)睛】本題考查由平面圖形折成空間幾何體、考查空間幾何體的的表面積、體積計(jì)算，考查邏輯推理能力和空間想象能力求解球的體積關(guān)鍵是判斷在什么情況下，其體積達(dá)到最大，考查運(yùn)算求解能力.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.已知，，，，且.（1）求的值；（2）求向量與向量夾角的余弦值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意求出的坐標(biāo)，由向量平行的判斷方法可得關(guān)于的方程，即可得到結(jié)果；（2）設(shè)與的夾角為，由向量夾角公式計(jì)算即可得到結(jié)果.【小問1詳解】因?yàn)?，，，，則，因?yàn)?，則有，解得.【小問2詳解】可知，，設(shè)與的夾角為，則，所以，向量與向量夾角的余弦值為.16.如圖，已知四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，側(cè)棱底面，且為側(cè)棱的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求三棱錐的體積．（3）若F為側(cè)棱的中點(diǎn)，求證：平面．【答案】（1）證明見解析（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）連接交于O，連接由線面平行的判定定理證明即可；（2）先求出到平面的距離，再代入棱錐的體積公式即可求出；（3）方法一先證明四邊形為平行四邊形，再由線面平行的判定定理可得；方法二先證明平面平面，再由面面平行的性質(zhì)得到結(jié)果；【小問1詳解】連接交于O，連接，為側(cè)棱的中點(diǎn)，O是的中點(diǎn)，，平面平面；平面．【小問2詳解】為側(cè)棱的中點(diǎn)，到平面的距離等于S到平面的距離的一半，到平面的距離，【小問3詳解】法1：設(shè)M為側(cè)棱的中點(diǎn)，連結(jié)，，為側(cè)棱的中點(diǎn)，F(xiàn)為側(cè)棱的中點(diǎn)，，，四邊形為平行四邊形，，平面平面平面．法2：設(shè)G為側(cè)棱的中點(diǎn)，連結(jié)．為側(cè)棱的中點(diǎn)，G為側(cè)棱的中點(diǎn)，，平面平面；平面．同理可證平面．，且都在平面內(nèi)；，且都在平面內(nèi)，所以平面平面．平面平面．17.四棱錐中，．（1）求證：平面平面；（2）當(dāng)平面時(shí)，求直線與平面所成的角的正切值．【答案】（1）證明見解析（2）．【解析】【分析】（1）取的中點(diǎn)，利用勾股定理，分別證得，，進(jìn)而證得平面，結(jié)合面面垂直的判定定理，即可證得平面平面；（2）過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，由（1）知平面，得到平面，得出為與平面所成的角，在直角中，即可求解.【小問1詳解】證明：取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，則四邊形為邊長為1的正方形，可得，由，可得，所以，又由，可得，所以，因?yàn)?，且平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面．【小?詳解】解：過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，連接,由（1）知平面，所以平面，所以為與平面所成的角，因?yàn)椋詾榈妊苯侨切?，所以，又因?yàn)槠矫妫移矫?，所以，所以．因?yàn)槠矫妫移矫?，所以，所以，即與平面所成角的正切值為．18.設(shè)內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知，．（1）求角；（2）若，求的面積；（3）求的周長的取值范圍．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用正弦定理將邊化角，再由誘導(dǎo)公式及兩角和的正弦公式計(jì)算可得；（2）利用余弦定理求出，再由面積公式計(jì)算可得；（3）由正弦定理將邊化角，再化簡得，再由求得的取值范圍，即可得周長的取值范圍.【小問1詳解】因，由正弦定理可得，又，所以，即，所以，又，所以，則，又，所以.【小問2詳解】因?yàn)?，，，由余弦定理得，即，解得，所以的面積.【小問3詳解】因?yàn)椋?，由正弦定理得，因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，，?/p>