2026年上海市普通高校春季招生統(tǒng)一文化考試數(shù)學(xué)試卷(考試時間120分鐘，滿分150分)(試卷共4頁，答題紙共2頁)2026.01一.填空題(本大題共12題，滿分54分，第1~6題每題4分，第7~12題每題5分)1.已知集合A=24,B=23m,若A?2.不等式x+2x-3＜03.已知向量a=24,b=x6,若4.在平面直角坐標(biāo)系中，點(1，2)到直線44x-3y+5=0的距離為5.3x2+1x6.已知a＞0,b＞0,若a+2b=4,，則ab的最大值為7.從甲、乙、丙、丁、戊5人中選擇3人去參加活動，要求甲一定參加，則不同的選擇方法有種8.已知點P在拋物線y2=4x上，其到焦點的距離等于到y(tǒng)軸距離的兩倍，則點P的橫坐標(biāo)為9.已知z∈C,∣z∣=2,∣z-i∣的最小值等于∣z-m∣（m＞1）的最小值，則10.△ABC中,BD=DE=EC,∣AD∣=1,AD與AE11.已知橢圓Γ1:x2a2+y2=1（a＞0）與橢圓Γ212.如圖，可以將油壺抽象成一個圓柱(不考慮厚度)和一條線段(不考慮容積)，圓柱的底面直徑為6.4cm，高16cm，其中油面高度12.1cm，壺嘴長13.4cm，與壺身夾角為30°,壺嘴最低點距壺底部3cm，則油壺至少傾斜度，可使油倒出.(精確到0.二.選擇題(本大題共4題，第13、14題每題4分，第15、16題每題5分，共18分)13.下列數(shù)列中，既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列的是()A.1、-1、1、-1 B.1、2、3、4 C.5、5、5、5 D.2、3、5、714.已知x＞y＞1,，則下列不等式恒成立的是()A.xy＞x+y B.xy＜x+y C.x15.平面直角坐標(biāo)系xOy中，存在點集Ω，對任意點P∈Ω，過點P作直線lp⊥x軸，且lP∩Ω為一條線段，將所有這些線段沿lP，方向平移，使得這些線段中點均位于x軸上，這樣的操作稱為對點集Ω對稱化處理.已知Ω是y=-16.對于函數(shù)y=f(x),x∈D,設(shè)Af=xy∣y≥fxx∈D.對于平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的點集M，若存在(x0y0∈M,,使得任取(x,y)∈M,總有.y≥y0,則稱x0y0A.若y=f(x)和y=g(x)都有最小值,則.AfB.若Af∩Ag有“最低點”,則y=f(x)和y=gC.若y=f(x)或y=g(x)有最小值,則.AfD.若Af∪Ag有“最低點”,則y=f(x)或y=g(x)有最小值三.解答題(本大題共5題,共14+14+14+18+18=78分)17.某興趣班共150人，年齡分布及興趣愛好統(tǒng)計如下：年齡剪紙攝影畫畫人數(shù)[25,35)845[35,45)1055[45,55)650(1)現(xiàn)采用分層抽樣抽取30人，其中抽到年齡在[25，35)的有多少人?(2)該興趣班150人的平均年齡是多少?(3)現(xiàn)從150人中任意抽選1人，記抽到的學(xué)員年齡在[35，45)為事件A，記抽到學(xué)員愛好攝影為事件B.請問事件A與事件B是否獨立?說明理由.18.在正四棱臺ABCD-A1B(1)若AA1=2,求A(2)求證:AA1∥平面BC1D，若正四棱臺ABCD-A1B1C119.已知函數(shù)f(1)若ω=2,fπ12=1,求f(x)在x=(2)若f(x)的最小正周期為3π，方程fx=22在區(qū)間[0,2026π)上恰好有135120.已知雙曲線IΓ:x22-y22=1,過點M(m，0)的直線l(1)求雙曲線離心率e；(2)若點A坐標(biāo)為(31,點B在雙曲線右支上，且B為線段AM中點，求直線(3)若m＞0,點F1、F2分別是雙曲線的左、右焦點，點A′是點A關(guān)于y軸的對稱點，若存在直線l，使得21.已知f(x)是定義在R上的函數(shù)，若對任意x1、x2∈R,當(dāng)∣x1∣＜∣(1)判斷函數(shù)y=ex是否具有“性質(zhì)(2)若函數(shù)fx=ax,x≤0，x+b,x＞(3)若f(x)的值域為[0,1),且在|0+∞)上是嚴(yán)格增函數(shù)，證明：“函數(shù)f(2026年上海市春季高考數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一.填空題1.4 2.(-2,3) 3.3 4.35 5.6.2 7.6 8.1 9.3 10.-二.選擇題(共4小題)題號13141516答案CCAD一、填空題(本大題滿分54分)本大題共有12題.考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，1-6題每個空格填對得4分，7-12題每個空格填對得5分，否則一律得零分。1.已知集合A={2,4},B={2,3,m},若A?B,則m=4.【分析】利用子集的定義求解.【解答】解:因為A?B,所以m=4.故答案為：4.【點評】本題考查集合間關(guān)系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.2.關(guān)于x的不等式x+2x-3＜0的解集為{x|-2【分析】由x+2x-3＜0可得(x+2)(x-【解答】解：由x+2x-3＜0,得(x+2)(x解得:-2＜x＜3,則不等式x+2x-3＜0的解集為{x|-2故答案為:{x|-2＜x＜3}.【點評】本題考查分式不等式的解法，是基礎(chǔ)題.3.已知向量ā=(x,3),b=(4,6)且ā//b,則x=2.【分析】利用向量共線定理即可得出.【解答】解：∵ā//b,∴6x-3×4=0,則x=2.故答案為：2.【點評】本題考查了向量共線定理，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題.4.在平面直角坐標(biāo)系中，點(1，2)到直線4x-3y+5=0的距離為3【分析】根據(jù)點到直線的距離公式求解即可.【解答】解:點(1,2)到直線4x-3y+5=0的距離d=故答案為：3【點評】本題考查點到直線距離公式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.5.1x+3x26【分析】利用二項展開式的通項公式求解即可.【解答】解：T令3k-6=-3,則k=1,所以1x3的系數(shù)為(故答案為：18.【點評】本題考查二項式定理，熟練掌握二項展開式的通項公式是解題的關(guān)鍵，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.6.若a＞0,b＞0,且a+2b=4,則ab的最大值是2.【分析】由于a、b為正值，且a+2b為定值4，因此可以運用基本不等式先求出22ab的最大值，進(jìn)而求出【解答】解:∵a＞0,b＞0,∴a+∴∴ab≤2,當(dāng)且僅當(dāng)a=2b時取等號,即a=2,b=1時取等號所以ab的最大值為2.故答案為：2.【點評】本題考查了運用基本不等式求最值，運用基本不等式求最值時要注意滿足“一正、二定、三相等”的條件.7.在5個人中選3個人去演講，若甲一定去，則一共有6種選法.【分析】結(jié)合組合知識求解即可.【解答】解：若甲一定去，則再從剩下的4人中任選2人即可，故選法種數(shù)為C故答案為：6.【點評】本題考查組合及其運算，是基礎(chǔ)題.8.已知點P為拋物線Γ:y2=4x上一點，若點P到Γ的焦點的距離是P到y(tǒng)軸的距離的兩倍，則點P的橫坐標(biāo)是【分析】設(shè)出P點的坐標(biāo)，利用題意求出點的縱坐標(biāo)，即可求出點P的橫坐標(biāo).【解答】解：設(shè)拋物線y2=4x上的點P(y24,y因為點P到焦點的距離是點P到y(tǒng)軸距離的兩倍，所以y2解得y所以P到y(tǒng)軸的距離是y24=1,即點P故答案為：1.【點評】本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查拋物線的幾何性質(zhì)，是基礎(chǔ)題.9.已知m＞1,對于所有滿足|z|=2的復(fù)數(shù)z,都有|z-i|的最小值與|z-m|的最小值相同,則m=3.【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義分析求解即可.【解答】解：復(fù)數(shù)z滿足|z|=2，則復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點的集合是以原點為圓心，2為半徑的圓，|z-i|表示圓上一點到點(0，1)的距離，又圓心(0,0)到點(0,1)的距離為1,則|z-i|的最小值為2-1=1,而|z-m|表示點(m,0)到圓上一點的距離,且點(m,0)到圓心(0,0)的距離為m,m＞1,則|z-m|的最小值為|2-m|,又|z-i|的最小值與|z-m|的最小值相同，所以|2-m|=1,解得m=3(m＞1).故答案為：3.【點評】本題考查復(fù)數(shù)模的幾何意義及應(yīng)用，考查運算求解能力，是中檔題.10.在△ABC中,D、E在邊BC上,且BD=DE=EC,∣AD∣=1,AD與【分析】先利用AD與AE表示AB?AC,，再將AB?AC轉(zhuǎn)化為【解答】解：.ABAC∴AB∵∣AD∣=1,AD與AE∴令∣AE∣=t＞當(dāng)∣AE∣=58時，故答案為：-【點評】本題考查平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算，屬于中檔題.11.已知橢圓Γ1:x2a2+y2=1a1)與橢圓Γ2:y【分析】根據(jù)橢圓和圓的對稱性、橢圓的焦距公式進(jìn)行求解即可.【解答】解：因為兩個橢圓的四個焦點在同一個圓上，所以根據(jù)橢圓Γ?和Γ?的對稱性可知，該圓的圓心為原點，因此有a且兩個橢圓的半焦距為b因此該圓的方程為x又因為A、B、C、D四點與Γ?和Γ?的四個焦點在同一個圓上，所以由橢圓和圓的對稱性可知，這四個點也在圓x2由{x23+得12b2+2+故答案為：3【點評】本題考查直線與橢圓的綜合，屬于中檔題.12.有一個油壺，壺身視為圓柱，壺嘴視為直線且不計容積，壺底直徑6.4厘米，壺身高16厘米，壺內(nèi)油液面高12.1厘米，壺嘴長13.4厘米，與壺身夾角為30°，壺嘴最低點距壺底3厘米，將壺身向壺嘴方向至少轉(zhuǎn)14.2°度可使油倒出(精確到0.01°)【分析】根據(jù)題意，結(jié)合條件分別表示出EG，EF，然后在△EGF中，由正弦定理代入計算，即可得到結(jié)果.【解答】解：設(shè)壺嘴最低點，最高點分別是E，F(xiàn)，圖中圓柱軸截面矩形，距離點E最近的頂點是點A，另外三個頂點分別為B，C，D，當(dāng)水平液面經(jīng)過點F時，可將油倒出，設(shè)傾斜角為θ，當(dāng)液面經(jīng)過點D時，θ=arctan先考慮液面不超過點D，即θ∈0設(shè)液面與AD，CB分別交于點G，H，設(shè)GH的中點為M，過M作AD的垂線，垂足為N，則MN=2AB=3.2,∠GMN=θ,所以GN=MNtanθ=3.2tanθ,因為AN=12.1,所以GE=GN+AN-AE=3.2tanθ+9.1,因為∠EGF=∠NMG+∠MNG=90°+θ,所以∠F=180°-∠FEG-∠EGF=60°-θ,在△EGF中,EG即3即3..2即99sinθ=673即θ=arctan因為14.2°＜31.36°,所以至少將油壺傾斜14.2°即可將油倒出.故答案為:14.2°.【點評】本題考查三角形中的幾何計算，屬于中檔題.二、選擇題(本大題滿分18分)本大題共有4題，每題有且只有一個正確答案.考生必須在答題紙的相應(yīng)編號上，將代表答案的小方格涂黑，13-14題每題選對得4分，15-16題每題選對得5分，否則一律得零分。13.下列數(shù)列中是等差數(shù)列也是等比數(shù)列的是()A.1,-1,1,-1,1B.1,2,3,4,5C.5,5,5,5,5D.1,2,3,5,7【分析】直接由等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義判斷.【解答】解：數(shù)列1，-1，1，-1，1是等比數(shù)列，不是等差數(shù)列，故A錯誤；數(shù)列1，2，3，4，5是等差數(shù)列，不是等比數(shù)列，故B錯誤；數(shù)列5，5，5，5，5既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列，故C正確；1，2，3，5，7既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列，故D錯誤.故選:C.【點評】本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義，是基礎(chǔ)題.14.已知x＞y＞1，則下列不等式恒成立的是()A.x＞y2 B.xy＞x+y C.x2＞y D.【分析】舉例說明ABD錯誤，由不等式的性質(zhì)判定C.【解答】解:取x=3,y=2,滿足x＞y＞1,此時.x＜y2取x=1.2,y=1.1,此時xy=1.32,x+y=2.3,xy＜x+y,故B錯誤;當(dāng)x＞y＞1時,x2＞x取x=3,y=2,此時x+y=5,xy=6,x+y＜xy,故D錯誤.故選:C.【點評】本題考查等式與不等式的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題.15.平移對稱法在幾何學(xué)中具有重要的應(yīng)用.設(shè)平面直角坐標(biāo)系xOy中有一圖形Ω，過Ω內(nèi)任意一點P做垂直于x軸的直線lp，滿足lp∩Ω為一線段.現(xiàn)沿lp方向平移這些線段，使得它們的中點均在x軸上，這樣叫做平移對稱法.對于-x2+x+1,-x2-x,直線x=0【分析】根據(jù)“平移對乘法”進(jìn)行分析，結(jié)合圖象確定正確答案.【解答】解：由{x=0y=-x2+x+1解得由{x=1y=-x2+x+1解得由此畫出封閉圖形Ω如下圖所示.由.-即線段l?∩Ω的長度為2x+1，則在x軸上方的長度為2y=x+120故選:A.【點評】本題主要考查新定義，屬于中檔題.16.對于函數(shù)y=f(x),x∈D,設(shè)Af={(x,y)|y≥f(x),x∈D}.對于點集M，若存在(x0y0∈M,使得任取(x,y)∈M,總有y≥y?,則稱(x?,y?)為“最低點”.對于函數(shù)y=f(x)和y=gA.若y=f(x)和y=g(x)都有最小值,則Af∩Ag有最低點B.若Ag有最低點,則y=f(x)和y=g(x)都有最小值C.若y=f(x)或y=g(x)有最小值,則Af∪Ag有最低點D.若Af∪Ag有最低點,則y=f(x)或y=g(x)有最小值【分析】選項A：若y=f(x)和y=g(x)都有最小值，Af∩Ag未必有最低點(反例顯示其區(qū)域無統(tǒng)一最小y),故A錯誤;選項B:若A,Ag有最低點,y=f(x)和y=g(x)不一定都有最小值(如.f=g=ex時，交集有最低點但e?無最小值)，故選項C:若y=f(x)或y=g(x)有最小值,A,∪Ag未必有最低點(如.f=ex,g=x2選項D:若Ar∪A?有最低點,則該點屬于Ar或Ag,對應(yīng)y=f(x)或y=g(x)存在最小值,故D正確.【解答】解：對于A，可舉反例：f(x)={此時且y≥e?)或(x＞0且y≥e)},故A錯誤;對于B，可舉反例：fx=ex,gx=e-x,此時且y≥e?)或(x≤0且y≥e?)},顯然此時(0,1)為Ag,但f對于C，可舉反例；fx=ex,gx=對于D，若Af∪Ag有“最低點”，不妨記最低點為(x則(x?,y?)∈Af或x0y0∈Ag,且有f(x)≥y?或故fxmin=y0或故選:D.【點評】本題考查函數(shù)與方程的綜合運用與最值，屬于中檔題.三、解答題(本大題滿分78分)本大題共有5題，解答下列各題必須在答題卷的相應(yīng)編號規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟。17.(14分)某興趣班共150人，年齡分布及興趣愛好統(tǒng)計如下：年齡剪紙攝影畫畫人數(shù)[25,35)845[35,45)1055[45,55)650(1)現(xiàn)采用分層抽樣抽取30人，其中抽到年齡在[25，35]歲的有多少人?(2)該興趣班150人的平均年齡是多少?(3)現(xiàn)從150人中任意抽選1人，記抽到的學(xué)員年齡在[35，45)為事件A，記抽到學(xué)員愛好攝影為事件B.事件A與B是否獨立?請說明理由.【分析】(1)根據(jù)分層隨機(jī)抽樣按比例分配即可得解；(2)根據(jù)平均數(shù)的計算方式求解即可；(3)利用古典概型分別計算P(A),P(B)和P(AB)的值,考慮P(AB)=P(A)P(B)是否成立即可判斷.【解答】解：(1)由表知，年齡在[25，35)歲的人數(shù)在總體中的占比為45所以采用分層抽樣抽取30人，其中抽到年齡在[25，35)歲的有310(2)該興趣班150人的平均年齡是1150(3)事件A與B不獨立，理由如下：由題意知，PPP所以P(AB)≠P(A)P(B),故事件A與B不獨立.【點評】本題考查事件的相互獨立性，分層隨機(jī)抽樣，以及古典概型，考查邏輯推理能力和運算能力，屬于基礎(chǔ)題.18.(14分)如圖所示正四棱臺ABCD-A1B(1)當(dāng)AA1=2時,求AA?和平面A?B?C(2)證明:AA?//平面BC?D;若棱臺高為3,求三棱錐A1【分析】(1)作A?到下底面的垂線，確定線面角的平面角，再通過邊長計算該角的大??；(2)連接上下底面對角線的交點，利用正棱臺性質(zhì)證得線線平行，進(jìn)而證明線面平行；利用線面垂直將三棱錐拆分為兩個小棱錐，結(jié)合棱臺的高計算其體積.【解答】解:(1)過A?作A?H⊥平面于H,連接AH,過H分別作HE⊥AB于E,HF⊥AD于F,連接A?E,A?F,如圖HE為A?E在平面ABCD上的投影，由于AB?平面ABCD,所以A由于A?H∩HE=H,A?H,HE?平面A?HE,所以AB⊥平面A?HE,由于A1E?平面所以AE=4-22=1,同理AF?AD,AF=1,，四邊形AEHF又因平面ABCD//平面A?B?C?D?,所以AA?和平面A1B1故AA?和平面A1B1(2)證明:連接AC、BD交于O,連接A1C1.如圖，上下底面為正方形，由正棱臺性質(zhì)，可得A1C1所以四邊形A1C1因為AA??平面BC?D,OC??平面BC?D,所以AA?平面BC?D,由正棱臺性質(zhì)OO?與上下底面均垂直，則O因為O所以BD⊥平面A?OC?，所求三棱錐體積可拆分成兩個小三棱錐的體積之和，即V=【點評】本題考查空間向量法求解直線與棱錐的體積，屬于中檔題.19.(14分)已知函數(shù)f(1)當(dāng)ω=2,fπ12=0,求函數(shù)f(2)若函數(shù)f(x)的最小正周期為3π，且fx=22在x∈[0,2026π)上恰好有【分析】(1)根據(jù)已知條件求得fx(2)由正弦函數(shù)的周期性可得fx【解答】解:(1)當(dāng)ω=2時,f(x)=sin(2x+φ),因為f所以sinπ6+所以=kπ-因為0＜φ＜π,所以=所以f所以f所以f故函數(shù)f(x)在x=0處的切線方程為y-12=-(2)因為f(x)的最小正周期為3π,所以ω=所以f因為fx=22在[π,4π),[4π,7π),[7π,10π),…,[2023π,2026所以fx=22在[π,2026π)上恰有675×所以fx=22在[0,當(dāng)x∈[0,π)時,2因為0＜φ＜π,所以若≤π4,若π4＜＜π,綜上，∈【點評】本題考查切線方程的求法與正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握導(dǎo)數(shù)的幾何意義，正弦函數(shù)的周期性，函數(shù)的零點與方程根之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題.20.(18分)已知雙曲線Γ:x22-y22=1,過點M(m，0)作不垂直于x(1)求雙曲線離心率；(2)若點A31,點B在雙曲線的右支上，且B是AM(3)若m＞0,F?,F?分別是雙曲線Γ的左右焦點，A'是A關(guān)于y軸的對稱點，若存在直線l使得F1A'【分析】(1)根據(jù)雙曲線的方程與離心率的計算公式，即可得解；(2)利用中點坐標(biāo)公式寫出點B的坐標(biāo)，代入雙曲線的方程，并結(jié)合m的取值范圍，求得m的值，再根據(jù)斜率的計算公式，求解即可；(3)設(shè)過點M(m，0)的直線l：x=ty+m(t≠0)，將其與雙曲線方程聯(lián)立，結(jié)合向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算與韋達(dá)定理，求解即可.【解答】解：(1)由題意知，a所以離心率e=(2)因為M(m,0),A(3,1),B為線段AM中點,所以B又B在Γ右支上，代入Γ得m+324-14所以直線l斜率k=(3)由雙曲線Γ:x22-y22=1知，F(xiàn)?(-2,設(shè)A(x?,y?),