試題PAGE1試題廣東省深圳市福田區(qū)紅嶺中學2023-2024學年高一（下）第一次月考數(shù)學試卷一、單選題（本大題共8小題，每題5分，共40分，每小題的4個選項中僅有一個選項是正確的，請將你認為正確的答案的代號涂在答題卡上）1.已知復數(shù)滿足，則（）A. B. C.1 D.2.已知為非零實數(shù)，則“”是“”成立的（）A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充分必要條件 D.既非充分又非必要條件3.設，是兩條不同的直線，是一個平面，則下列命題正確的是A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則4.已知正方形邊長為，點滿足，則（）A.4 B.5 C.6 D.85.已知函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)的零點所在區(qū)間為（）A. B.C. D.6.在中，若，且，那么一定是（）A.等腰直角三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等邊三角形7.若對于任意，都有成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A B.C D.8.設函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，對任意，都有，且當時，，若函數(shù)（且）在上恰有4個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A B.C. D.二、多選題（本大題共3小題，每題6分，共18分，每小題選項中有多個選項是正確的，全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分，請將你認為正確的答案的代號涂在答題卡上）9.關于平面向量，有下列四個命題，其中說法正確的是（）A.向量，能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底B.若點G是的重心，則C.若，則或D.若向量，，則向量在向量上的投影向量為10.如圖，正方體的棱長為1，下列結論正確的是（）A.若P在棱AB上運動，則直線與直線所成的夾角一定為B.若P在棱AB上運動，則三棱錐的體積為C.若P在底面ABCD內(nèi)（包含邊界）運動，且滿足，則動點P的軌跡的長度為D.若P在內(nèi)（包含邊界）運動，則直線與平面ABCD所成角的正弦值的取值范圍為11.已知函數(shù)，則（

）A.函數(shù)有3個零點B.若函數(shù)有2個零點，則C.若關于的方程有4個不等實根，，，，則D.關于的方程有5個不等實數(shù)根三、填空題（本大題共3小題，每題5分，共15分）12.已知向量，，，且．則實數(shù)m的值為________.13.已知是關于x的方程的兩個根，則_______．14.已知正三棱柱的體積為，若存在球與三棱柱的各棱均相切，則球的表面積為_________________.四、解答題（本大題共5小題，共77分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）15.已知向量與的夾角為，，.（1）求及；（2）求向量與向量的夾角.16.函數(shù)的部分圖象如圖所示．（1）求函數(shù)的解析式；（2）將函數(shù)的圖象先向右平移個單位，再將所有點的橫坐標縮短為原來的（縱坐標不變），得到函數(shù)的圖象，求在上的最大值和最小值；（3）若關于的方程在上有兩個不等實根，求實數(shù)的取值范圍．17.記的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，已知．（1）求角C；（2）若周長為20，面積為，求邊c．18.已知直三棱柱滿足，，點，分別為，的中點.（1）求證：平面；（2）求證：平面.（3）求三棱錐的體積.19.若函數(shù)對定義域內(nèi)的每一個值，在其定義域內(nèi)都存在唯一的，使成立，則稱該函數(shù)為“依賴函數(shù)”.（1）判斷函數(shù)是否為“依賴函數(shù)”，并說明理由；（2）若函數(shù)在定義域（）上為“依賴函數(shù)”，求的取值范圍；（3）已知函數(shù)在定義域上為“依賴函數(shù)”.若存在實數(shù)，使得對任意的，不等式恒成立，求實數(shù)的最大值.廣東省深圳市福田區(qū)紅嶺中學2023-2024學年高一（下）第一次月考數(shù)學試卷一、單選題（本大題共8小題，每題5分，共40分，每小題的4個選項中僅有一個選項是正確的，請將你認為正確的答案的代號涂在答題卡上）1.已知復數(shù)滿足，則（）A. B. C.1 D.【答案】C【解析】【分析】先求出，然后再求.【詳解】由，得：，所以：，即：，故C項正確.故選：C.2.已知為非零實數(shù)，則“”是“”成立的（）A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充分必要條件 D.既非充分又非必要條件【答案】D【解析】【分析】舉反例結合充分必要條件的定義分析即可.【詳解】顯然時不能推出，反之時也不能推出，則“”是“”成立的既非充分又非必要條件.故選：D3.設，是兩條不同的直線，是一個平面，則下列命題正確的是A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則【答案】B【解析】【分析】利用可能平行判斷，利用線面平行的性質判斷，利用或與異面判斷，與可能平行、相交、異面，判斷.【詳解】，，則可能平行，錯；，，由線面平行的性質可得，正確；，，則，與異面；錯，，，與可能平行、相交、異面，錯，.故選B.【點睛】本題主要考查線面平行的判定與性質、線面面垂直的性質，屬于中檔題.空間直線、平面平行或垂直等位置關系命題的真假判斷，除了利用定理、公理、推理判斷外，還常采用畫圖（尤其是畫長方體）、現(xiàn)實實物判斷法（如墻角、桌面等）、排除篩選法等；另外，若原命題不太容易判斷真假，可以考慮它的逆否命題，判斷它的逆否命題真假，原命題與逆否命題等價.4.已知正方形的邊長為，點滿足，則（）A.4 B.5 C.6 D.8【答案】C【解析】【分析】建立平面直角坐標系并寫出各點坐標，根據(jù)題意求相應向量的坐標，再根據(jù)數(shù)量積的坐標運算進行求解即可.【詳解】建立坐標系如圖，正方形的邊長為2，則，，，可得，點滿足，所以．故選：C.5.已知函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)的零點所在區(qū)間為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由圖象得，點，在函數(shù)的圖象上，代值計算可得，再利用零點存在性定理可得答案.【詳解】由圖象得，點，在函數(shù)的圖象上，所以，解得所以，其定義域為，因為均在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，，，，即，所以函數(shù)的零點所在區(qū)間為，故選：B.6.在中，若，且，那么一定是（）A.等腰直角三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等邊三角形【答案】D【解析】【分析】由兩角和的正弦公式并結合正弦定理可得，即，又由化簡可得，得，從而可求解.【詳解】，則，因為，所以，則，又因為，，則，則，即，即，又因為，則，所以，即.即一定是等邊三角形，故D正確.故選：D.7.若對于任意，都有成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用一元二次函數(shù)的圖象與性質分析運算即可得解.【詳解】由題意，對于都有成立，∴，解得：，即實數(shù)的取值范圍是.故選：B.8.設函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，對任意，都有，且當時，，若函數(shù)（且）在上恰有4個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】分析可知，函數(shù)的周期為4，作出函數(shù)的圖像，依題意可得數(shù)與的圖像在上有4個不同的交點，然后分及討論即可．【詳解】解：函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當時，，當時，，所以，即當時，又對任意，都有，則關于對稱，且，，即函數(shù)的周期為，又由函數(shù)且在上恰有個不同的零點，得函數(shù)與的圖像在上有個不同的交點，又，當時，由圖可得，解得；當時，由圖可得，解得．綜上可得.故選：C．二、多選題（本大題共3小題，每題6分，共18分，每小題選項中有多個選項是正確的，全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分，請將你認為正確的答案的代號涂在答題卡上）9.關于平面向量，有下列四個命題，其中說法正確的是（）A.向量，能作為平面內(nèi)所有向量一組基底B.若點G是的重心，則C.若，則或D.若向量，，則向量在向量上的投影向量為【答案】BD【解析】【分析】由基底的概念即可判斷A，由三角形重心的定義即可判斷B，由平面向量數(shù)量積的定義即可判斷C，由投影向量的概念即可判斷D.【詳解】因為向量，，則，即，則不能作為平面內(nèi)的基底，故A錯誤；如圖所示，連接并延長交于點，點為中點，延長到點，使得，則，，所以，故B正確；因為，若，則或或，故C錯誤；因為向量，，則向量在向量上的投影向量為，故D正確；故選：BD10.如圖，正方體的棱長為1，下列結論正確的是（）A.若P在棱AB上運動，則直線與直線所成的夾角一定為B.若P在棱AB上運動，則三棱錐的體積為C.若P在底面ABCD內(nèi)（包含邊界）運動，且滿足，則動點P的軌跡的長度為D.若P在內(nèi)（包含邊界）運動，則直線與平面ABCD所成角的正弦值的取值范圍為【答案】ABD【解析】【分析】證明平面，再根據(jù)線面垂直的性質即可判斷A；根據(jù)即可判斷B；易得動點的軌跡的長度為以D為圓心，1為半徑的圓的周長的四分之一，即可判斷C；平面，可得即為直線與平面ABC所成角，再進行分析即可判斷D.【詳解】對于A，連接，則平面，又平面，，又，平面，平面，平面，又平面，，所以直線與直線所成的夾角一定為，故A正確；對于B，連接PC，，，則三棱錐的體積等于三棱錐的體積，平面，∴點P到平面的距離，為定值1，即三棱錐的高為1，底面三角形的面積為，，故B正確；對于C，因P滿足，則動點的軌跡的長度為以D為圓心，1為半徑的圓的周長的四分之一，所以P點的軌跡的長度為，故C錯誤；對于D，在正方體中，平面，對于平面，為垂線，為斜線，為射影，所以即為直線與平面ABC所成角，設，則，因為P是內(nèi)（包括邊界）的動點，所以當P與O重合時，最小，此時，當P與B重合時，最大，此時，所以，故D正確.故選：ABD.11.已知函數(shù)，則（

）A.函數(shù)有3個零點B.若函數(shù)有2個零點，則C.若關于的方程有4個不等實根，，，，則D.關于的方程有5個不等實數(shù)根【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)的解析式作出函數(shù)的圖象，結合函數(shù)的零點與方程根的關系，依次分析選項是否正確，綜合可得答案．【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)，由此作出函數(shù)的草圖：依次分析選項：對于A：由圖象易知曲線與y軸有兩個交點，故函數(shù)有2個零點，故A錯誤；對于B：令，可得，則函數(shù)的零點個數(shù)即為與的圖象的交點個數(shù)，若函數(shù)有兩個零點，由圖象可知，B正確；對于C：若關于的方程有四個不等實根，則與的圖象有四個交點.不妨設，由圖象可得：，且，，所以，故C正確；對于D：因為，解得或，結合圖象可知：有一個根，有四個根，所以關于方程有5個不等實數(shù)根，D正確．故選：BCD.【點睛】關鍵點點睛：本題考查函數(shù)圖像及應用，關鍵是利用圖像并結合對稱性解決CD.三、填空題（本大題共3小題，每題5分，共15分）12.已知向量，，，且．則實數(shù)m的值為________.【答案】1【解析】【分析】先求得，然后利用數(shù)量積坐標公式求解即可.詳解】解：根據(jù)題意，∵，，則，又，且，∴，解得；故答案為：1.13.已知是關于x的方程的兩個根，則_______．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)根與系數(shù)關系可以求得，然后利用，求出的值，然后即可求解.【詳解】由題意得：，是的兩個根，即：，解得：或，由根與系數(shù)的關系得：，所以：，即：，解得：，（舍去），.故答案為：.14.已知正三棱柱的體積為，若存在球與三棱柱的各棱均相切，則球的表面積為_________________.【答案】【解析】【分析】利用三棱柱的體積公式、球的特征及其體積公式即可.【詳解】如圖所示，取上下底面的中心，分別為上底面棱上的切點，則為的中點，設，由題意易知，則，因為，所以.故答案為：.四、解答題（本大題共5小題，共77分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）15.已知向量與的夾角為，，.（1）求及；（2）求向量與向量的夾角.【答案】（1）3；1（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)數(shù)量積的定義可計算求得的值；根據(jù)模的計算公式可求得；（2）求出的值，根據(jù)向量的夾角公式即可求得答案.【小問1詳解】由題意；；【小問2詳解】由題意得，故，由于，故.16.函數(shù)的部分圖象如圖所示．（1）求函數(shù)的解析式；（2）將函數(shù)的圖象先向右平移個單位，再將所有點的橫坐標縮短為原來的（縱坐標不變），得到函數(shù)的圖象，求在上的最大值和最小值；（3）若關于的方程在上有兩個不等實根，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2），；（3）．【解析】【分析】（1）利用函數(shù)圖象的頂點求出，利用周期求出，由特殊點求出，即可求出解析式；（2）利用三角函數(shù)圖象變換求得，結合正弦函數(shù)的性質，利用換元法求得最值；（3）結合函數(shù)的定義域和三角函數(shù)的性質即可確定其值域，由圖象即求.【小問1詳解】由函數(shù)的部分圖象可知，，，，又，，解得，由可得，；【小問2詳解】將向右平移個單位，得到，再將所有點的橫坐標縮短為原來的，得到，令，由，可得，因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，，可得，；【小問3詳解】因為關于的方程在上有兩個不等實根，即與的圖象在有兩個交點.由圖象可知符合題意的的取值范圍為.17.記的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，已知．（1）求角C；（2）若的周長為20，面積為，求邊c．【答案】（1）（2）7【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理、誘導公式、兩角和的正弦公式和同角的三角函數(shù)關系化簡，即可求解；（2）根據(jù)三角形的面積公式可得，由余弦定理計算可得，結合計算即可求解.【小問1詳解】，由正弦定理，得，，，又，得，所以，即，由，解得；【小問2詳解】由（1），得，則，由余弦定理，得，即，得.又，所以，即，即，解得.18.已知直三棱柱滿足，，點，分別為，的中點.（1）求證：平面；（2）求證：平面.（3）求三棱錐的體積.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）連接，，只需證明即可，由中位線定理結合線面平行的判定定理即可得證.（2）只需證明，即可，由等腰直角三角形性質，線面垂直的性質以及判定定理即可得證.（3）利用轉換法，只需求點到平面的距離和三角形的面積，由（2）的結論、點為的中點以及解直角三角形知識即可求解.【小問1詳解】如圖，連接，，四邊形為矩形，為的中點，與交于點，且為的中點，又