1兩條直線的位置關(guān)系第2課時垂直2024～2025學(xué)年北師大版數(shù)學(xué)七年級下冊課時目標(biāo)素養(yǎng)達(dá)成1.了解垂直是相交的特殊情況,理解垂線的概念,會用三角板或量角器過一點畫已知直線的垂線幾何直觀2.掌握點到直線的距離的概念,并會度量點到直線的距離.掌握垂線的性質(zhì),并會利用所學(xué)知識進(jìn)行簡單的推理幾何直觀、推理能力、應(yīng)用意識1.如圖所示,O是直線AB上一點,OC⊥OD,∠BOC=20°,則∠AOD的大小是()

A.20°

B.30° C.70° D.80°C2.如圖所示,BC⊥AC,BC=8cm,AC=6cm,AB=10cm那么點B到AC的距離是_________,A,B兩點的距離是__________.

3.如圖所示,CB⊥AB,∠CBA與∠CBD的度數(shù)比是5∶1,則∠DBA=________.

8cm

10cm

72°

垂直的定義及應(yīng)用(幾何直觀、運算能力)【典例1】(2024·廣州花都期中)如圖所示,已知OA⊥OB于點O,∠BOC=120°,OD平分∠BOC,求∠AOD的度數(shù).

1.(2024·惠州博羅期末)如圖所示,三條直線AB,CD,EF交于點O,且AB⊥CD,若∠EOD=70°,則∠BOF=()A.10° B.30° C.35° D.20°D【解析】因為AB⊥CD,所以∠AOD=90°,所以∠AOE=∠AOD-∠EOD=90°-70°=20°.所以∠BOF=∠AOE=20°.2.(2024·中山期末)如圖所示是光的反射規(guī)律示意圖.CO是入射光線,OD是反射光線,法線EO⊥AB,∠EOD=∠COE.若∠BOD=∠COD,則∠AOC的度數(shù)為()A.30° B.40° C.45° D.60°D【解析】設(shè)∠COE=∠EOD=α,則∠BOD=∠COD=2α,因為EO⊥AB,所以∠AOC+∠COE=90°,∠BOD+∠DOE=90°,所以∠AOC=∠BOD=2α,因為∠AOC+∠BOD+∠COD=6α=180°,所以α=30°,所以∠AOC=2α=60°.3.如圖所示,直線AB,CD相交于點O,EO⊥AB,垂足為O.(1)若∠COE=35°,則∠AOD的度數(shù)為

°(直接寫出結(jié)果);

(2)若∠AOD+∠COE=170°,求∠COE的度數(shù).【解析】(1)因為EO⊥AB,所以∠EOB=90°,因為∠COE=35°,所以∠COB=∠COE+∠EOB=125°,所以∠AOD=∠COB=125°.答案:125(2)因為∠AOD+∠COE=170°,所以∠BOC+∠COE=170°,所以∠BOE+∠COE+∠COE=170°,所以∠BOE+2∠COE=170°,因為∠BOE=90°,所以∠COE=40°.

垂線、垂線段的性質(zhì)及應(yīng)用(幾何直觀)【典例2】(教材再開發(fā)·P37“嘗試·交流”拓展)已知直線BC及直線外一點A(如圖所示),按要求完成下列問題:(1)畫出射線CA,線段AB,過點C畫CD⊥AB,垂足為點D;(2)比較線段CD和線段CA的大小,并說明理由;(3)在以上的圖中,互余的角為

,互補的角為

.(各寫出一對即可)

【自主解答】(1)如圖所示:(2)因為CD⊥AD,所以CA>CD.(3)因為∠DAC+∠DCA=90°,所以∠DAC與∠DCA互余,因為∠ADC+∠BDC=90°+90°=180°,所以∠ADC與∠BDC互補.答案:∠DAC,∠DCA(答案不唯一)∠ADC,∠BDC1.(2024·佛山南海質(zhì)檢)如圖所示,要把河中的水引到水池A中,應(yīng)在河岸B處(AB⊥CD)開始挖渠才能使水渠的長度最短,這樣做依據(jù)的幾何學(xué)原理是()A.兩點之間線段最短

B.點到直線的距離C.兩點確定一條直線

D.垂線段最短D【解析】要把河中的水引到水池A中,應(yīng)在河岸B處(AB⊥CD)開始挖渠才能使水渠的長度最短,這樣做依據(jù)的幾何學(xué)原理是:垂線段最短.2.(2024·茂名電白期中)如圖所示,點A為直線BC外一點,且AC⊥BC于點C,AC=3.6,點P是直線BC上的動點,則線段AP長不可能是()A.3.5 B.4

C.4.5 D.5A【解析】因為點A為直線BC外一點,且AC⊥BC于點C,所以AP≥AC=3.6,所以線段AP長不可能是3.5.3.如圖所示,AD⊥BD,BC⊥CD,AB=5,BC=3,則BD的長度的值可能是_________________,依據(jù)是_______________.

4(答案不唯一)

垂線段最短

【解析】因為AD⊥BD,BC⊥CD,所以BC<BD<AB.所以3<BD<5,所以BD的長度的值可能是4(答案不唯一),依據(jù)是垂線段最短.1.如圖所示,點O在直線AB上,OC⊥OD.若∠AOC=120°,則∠BOD的度數(shù)為________.

30°

【解析】因為∠AOC+∠BOC=180°,∠AOC=120°,所以∠BOC=180°-120°=60°,又因為OC⊥OD,所以∠COD=90°,所以∠BOD=∠COD-∠BOC=90°-60°=30°.2.如圖所示,C是河岸AB外一點.(1)過點C修一條與河岸AB平行的綠化帶(綠化帶用直線l表示),請畫圖表示;(2)現(xiàn)用水管從河岸AB將水引到C處,問:從河岸AB上的何處開口,才能使所用的水管最短?畫圖表示,并說明設(shè)計的理由.【解析】(1)如圖所示,過點C畫一條平行于AB的直線l,則l為綠化帶.(2)如圖所示,過點C作CD⊥AB于點D,從河岸AB上的點D處開口,才能使所用的水管最短.設(shè)計的理由是垂線段最短.知識點1

垂直及性質(zhì)1.(2024·廣州南沙期末)如圖所示,已知直線AB與直線CD相交于點O,下列條件中不能說明AB⊥CD的是()A.∠AOC=90°B.∠AOC=∠BOCC.∠AOC=∠BODD.∠AOC+∠BOD=180°C【解析】A.∠AOC=90°可以判定兩直線垂直,故此選項不符合題意;B.∠AOC和∠BOC是鄰補角,鄰補角的和是180°,所以可以得到∠COB=90°,能判定垂直,故此選項不符合題意;C.∠AOC=∠BOD是對頂角,對頂角相等,不能判定垂直,故此選項符合題意;D.∠AOC和∠BOD是對頂角,對頂角相等,和又是180°,所以可得到∠AOC=90°,故此選項不符合題意.2.如圖所示,已知OA⊥OB,OC⊥OD,∠BOD=5∠AOC,則∠AOC的度數(shù)為()A.22.5° B.30°C.36° D.45°B【解析】因為OA⊥OB,OC⊥OD,所以∠AOB=90°,∠COD=90°,又因為∠AOB+∠BOD+∠COD+∠AOC=360°,∠BOD=5∠AOC,所以90°+5∠AOC+90°+∠AOC=360°,所以∠AOC=30°.知識點2

垂線、垂線段及性質(zhì)的應(yīng)用3.(2024·佛山順德期中)在體育課上某同學(xué)跳遠(yuǎn)的情況如圖所示,直線l表示起跳線,經(jīng)測量,PB=3.3m,PC=3.1m,PD=3.5m,則該同學(xué)的實際立定跳遠(yuǎn)成績是_______m.

3.1

【解析】因為PC⊥l,所以該同學(xué)的實際立定跳遠(yuǎn)成績應(yīng)測量圖中線段CP的長,所以該同學(xué)的實際立定跳遠(yuǎn)成績?yōu)?.1m.4.如圖所示,點M,N分別在直線AB,CD上.(1)請在圖中作出表示M,N兩點間的距離的線段a和表示點N到直線AB的距離的線段b;(2)請比較(1)中線段a,b的大小,并說明理由.【解析】(1)如圖所示,連接MN,過點N作NE⊥AB于點E,線段a,b即為所作.(2)a>b.理由:直線外一點與直線上各點連接的所有線段中,垂線段最短.5.如圖所示,直線AB與直線CD相交于點O,∠BOC∶∠BOD=2∶1,射線OE⊥CD,則∠AOE度數(shù)為________.

30°

【解析】因為∠BOC∶∠BOD=2∶1,所以∠BOD+∠BOC=∠BOD+2∠BOD=3∠BOD=180°,所以∠BOD=60°,所以∠AOC=∠BOD=60°,又因為OE⊥CD,所以∠COE=90°,所以∠AOE=90°-60°=30°.6.(2024·深圳龍崗期中)如圖所示,三角形ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,