導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第四章第3講導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用第2課時(shí)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的零點(diǎn)欄目導(dǎo)航02素養(yǎng)微專

直擊高考01重難突破

能力提升03配套訓(xùn)練重難突破能力提升1示通法判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)時(shí)，需結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，按照一定標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類(lèi)討論，再利用零點(diǎn)存在性定理，在每個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)取值證明f(a)·f(b)<0.判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù)解：(1)因?yàn)閒(x)是二次函數(shù)，且關(guān)于x的不等式f(x)≤0的解集為{x|－1≤x≤3，x∈R}，所以設(shè)f(x)＝a(x＋1)(x－3)＝ax2－2ax－3a，且a>0.f′(x)＝2ax－2a＝2a(x－1)，所以f(x)min＝f(1)＝－4a＝－4，a＝1.故函數(shù)f(x)的解析式為f(x)＝x2－2x－3.【解題技巧】利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)零點(diǎn)或方程根個(gè)數(shù)的常用方法(1)構(gòu)建函數(shù)g(x)(g′(x)易求，且g′(x)＝0可解)，轉(zhuǎn)化為確定g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題求解，利用導(dǎo)數(shù)研究該函數(shù)的單調(diào)性、極值，并確定定義區(qū)間端點(diǎn)值的符號(hào)(或變化趨勢(shì))等，畫(huà)出g(x)的圖象草圖，數(shù)形結(jié)合求解函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．(2)利用零點(diǎn)存在性定理：先用該定理判斷函數(shù)在某區(qū)間上有零點(diǎn)，然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)及區(qū)間端點(diǎn)值符號(hào)，進(jìn)而判斷函數(shù)在該區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，φ′(x)>0，因此φ(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，易知φ(x)在(0，＋∞)內(nèi)至多有一個(gè)零點(diǎn)，即h(x)在[0，＋∞)內(nèi)至多有兩個(gè)零點(diǎn)，則h(x)在[0，＋∞)上有且只有兩個(gè)零點(diǎn)，所以方程f(x)＝g(x)的根的個(gè)數(shù)為2.

函數(shù)f(x)＝ax＋xlnx在x＝1處取得極值．(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若y＝f(x)－m－1在定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．已知函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍解：(1)f(x)＝ax＋xlnx的定義域?yàn)?0，＋∞)．f′(x)＝a＋lnx＋1.由f′(1)＝a＋1＝0，解得a＝－1，當(dāng)a＝－1時(shí)，f(x)＝－x＋xlnx，即f′(x)＝lnx，令f′(x)>0，解得x>1；令f′(x)<0，解得0<x<1.所以f(x)在x＝1處取得極小值，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1)．(2)y＝f(x)－m－1在(0，＋∞)內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，可轉(zhuǎn)化為y＝f(x)與y＝m＋1圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．由(1)知，f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，f(x)min＝f(1)＝－1，由題意得，m＋1>－1，即m>－2①，當(dāng)0<x<e時(shí)，f(x)＝x(－1＋lnx)<0；當(dāng)x>e時(shí)，f(x)>0.當(dāng)x>0且x→0時(shí)，f(x)→0；當(dāng)x→＋∞時(shí)，顯然f(x)→＋∞.由圖象可知，m＋1<0，即m<－1②，由①②可得－2<m<－1.所以m的取值范圍是(－2，－1)．【解題技巧】與函數(shù)零點(diǎn)有關(guān)的參數(shù)范圍問(wèn)題，往往利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn)，并結(jié)合特殊點(diǎn)，從而判斷函數(shù)的大致圖象，討論其圖象與x軸的位置關(guān)系，進(jìn)而確定參數(shù)的取值范圍；或通過(guò)對(duì)方程等價(jià)變形轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題．【變式精練】2．已知函數(shù)f(x)＝ex＋ax－a(a∈R且a≠0)．(1)若f(0)＝2，求實(shí)數(shù)a的值，并求此時(shí)f(x)在[－2，1]上的最小值；(2)若函數(shù)f(x)不存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解：(1)由題意知，f(x)的定義域?yàn)镽，又f(0)＝1－a＝2，得a＝－1，所以f(x)＝ex－x＋1，求導(dǎo)得f′(x)＝ex－1.易知f(x)在[－2,0]上單調(diào)遞減，在[0,1]上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x＝0時(shí)，f(x)在[－2,1]上取得最小值2.②當(dāng)a<0時(shí)，令f′(x)＝0，得x＝ln(－a)．在(－∞，ln(－a))上，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，在(ln(－a)，＋∞)上，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，所以當(dāng)x＝ln(－a)時(shí)，f(x)取最小值．函數(shù)f(x)不存在零點(diǎn)，等價(jià)于f(ln(－a))＝eln(－a)＋aln(－a)－a＝－2a＋aln(－a)>0，解得－e2<a<0.綜上所述，所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－e2,0)．函數(shù)零點(diǎn)的綜合問(wèn)題證明：(1)因?yàn)閒(0)＝1－a<0，f(2)＝e2－2－a≥e2－4>0，所以y＝f(x)在(0，＋∞)上存在零點(diǎn)．因?yàn)閒′(x)＝ex－1，所以當(dāng)x>0時(shí)，f′(x)>0，故函數(shù)f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以函數(shù)y＝f(x)在(0，＋∞)上有唯一零點(diǎn)．素養(yǎng)微專直擊高考2 (2020年重慶模擬)已知函數(shù)f(x)＝x2＋1x－xlnx.(1)設(shè)h(x)＝f′(x)(其中f′(x)是f(x)的導(dǎo)數(shù))，求h(x)的最小值；(2)設(shè)g(x)＝ex－a＋x－af(x)，若g(x)有零點(diǎn)，求a的取值范圍．【考查角度】導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性及最值，函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用．【核心素養(yǎng)】數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理．思想方法類(lèi)——數(shù)形結(jié)合思想在研究函數(shù)零點(diǎn)中的應(yīng)用典例精析【思路導(dǎo)引】(1)先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性關(guān)系可求函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可求函數(shù)的最小值；(2)結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性關(guān)系及函數(shù)的零點(diǎn)判定定理及函數(shù)的性質(zhì)即可求解．(2)①當(dāng)a≤0時(shí)，由(1)知h(x)＝f′(x)≥1＋ln2＞0，故f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，當(dāng)x≥1時(shí)，f(x)≥f(1)＝2＞0；當(dāng)0＜x＜1時(shí)，xlnx＜0，x2＋x＞0，故f(x)＞0；而ex－a＋x＞0，故a≤0時(shí)，g(x)＝ex－a＋x－af(x)＞0，此時(shí)g(x)＝0無(wú)解；所以r(a)＞r(1)＝e2－5＞0，故存在x0＝e2a，使得g(x0)＞0.又g(1)＜0，故g(x)＝0在(1，e2a)上有解．綜上所述，當(dāng)a≥1時(shí)，g(x)有零點(diǎn)．【解題技巧】已知函數(shù)有零點(diǎn)，求參數(shù)的范圍問(wèn)題時(shí)，由于有些函數(shù)較為復(fù)雜，