垂直于弦的直徑教學設(shè)計?一、教學目標1.知識與技能目標理解圓的軸對稱性，掌握垂徑定理及其推論。能運用垂徑定理及其推論解決一些有關(guān)圓的計算和證明問題。2.過程與方法目標通過觀察、操作、分析、猜想、驗證等過程，培養(yǎng)學生的邏輯推理能力和動手實踐能力。經(jīng)歷探索垂徑定理及其推論的過程，體會數(shù)學中的轉(zhuǎn)化思想。3.情感態(tài)度與價值觀目標讓學生感受數(shù)學與生活的緊密聯(lián)系，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣。在探究活動中，培養(yǎng)學生勇于探索的精神，增強學生學習數(shù)學的自信心。

二、教學重難點1.教學重點垂徑定理及其推論的理解和應(yīng)用。2.教學難點垂徑定理及其推論的證明以及靈活運用。

三、教學方法1.直觀演示法：通過多媒體展示圖形、動畫等，直觀地呈現(xiàn)圓的軸對稱性以及垂徑定理的形成過程，幫助學生更好地理解抽象的概念和定理。2.探究法：引導學生自主探究、小組合作探究，讓學生經(jīng)歷觀察、猜想、驗證、推理等數(shù)學活動，培養(yǎng)學生的探究能力和創(chuàng)新精神。3.講練結(jié)合法：在講解垂徑定理及其推論后，及時安排針對性的練習題，讓學生通過練習鞏固所學知識，提高運用能力。

四、教學過程

（一）情境導入1.展示圖片：展示一些含有圓形結(jié)構(gòu)的建筑圖片，如趙州橋、天壇等。2.提出問題：同學們，在這些美麗的建筑中都有圓的身影。大家想一想，圓在我們的生活中無處不在，那么圓具有哪些獨特的性質(zhì)呢？今天我們就一起來探索圓的一個重要性質(zhì)垂直于弦的直徑。3.引出課題：24.1.2垂直于弦的直徑

（二）探究新知1.圓的軸對稱性操作實驗：讓學生拿出事先準備好的圓形紙片，沿著任意一條直徑對折，觀察圓的兩部分是否完全重合。得出結(jié)論：圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是圓的對稱軸。強調(diào)說明：對稱軸是直線，而不是線段，圓有無數(shù)條對稱軸。2.垂徑定理創(chuàng)設(shè)情境：如圖，AB是⊙O的一條弦，作直徑CD，使CD⊥AB，垂足為E。提出問題：圖中有哪些相等的線段和弧？為什么？你能發(fā)現(xiàn)直徑CD與弦AB之間有什么特殊的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系嗎？學生活動：學生自主觀察圖形，思考并嘗試找出相等的線段和弧。小組內(nèi)交流討論，分享自己的發(fā)現(xiàn)和想法。教師引導：引導學生從圓的軸對稱性入手，分析直徑CD兩側(cè)的圖形是完全對稱的。因為圓是軸對稱圖形，直徑CD所在直線是對稱軸，所以沿CD對折后，點A與點B重合，AE與BE重合，弧AC與弧BC重合，弧AD與弧BD重合。從而得出：AE=BE，弧AC=弧BC，弧AD=弧BD。歸納定理：垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧。符號語言：∵CD是⊙O的直徑，CD⊥AB于E∴AE=BE，弧AC=弧BC，弧AD=弧BD定理證明：已知：如圖，AB是⊙O的弦，CD是⊙O的直徑，且CD⊥AB于點E。求證：AE=BE，弧AC=弧BC，弧AD=弧BD。證明：連接OA、OB∵OA=OB，OE⊥AB∴AE=BE（等腰三角形三線合一）∴Rt△OAE≌Rt△OBE（HL）∴∠AOE=∠BOE∴弧AC=弧BC（在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等）同理，弧AD=弧BD3.垂徑定理的推論改變條件：將垂徑定理中的條件"直徑CD垂直于弦AB"改為"直徑CD平分弦AB（AB不是直徑）"。提出問題：此時直徑CD與弦AB有怎樣的位置關(guān)系？還能得出哪些結(jié)論？你能證明你的結(jié)論嗎？學生活動：學生再次自主思考，嘗試找出直徑CD與弦AB的位置關(guān)系和其他相關(guān)結(jié)論。小組合作進行證明，并展示證明過程。教師引導：引導學生通過全等三角形證明CD⊥AB。得出推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧。強調(diào)說明：推論中"弦不是直徑"這個條件很重要，如果弦是直徑，那么任意一條直徑都可以平分它，但不一定垂直于它。符號語言：∵CD是⊙O的直徑，AE=BE（AB不是直徑）∴CD⊥AB，弧AC=弧BC，弧AD=弧BD

（三）例題講解例1：如圖，已知在⊙O中，弦AB的長為8cm，圓心O到AB的距離為3cm，求⊙O的半徑。1.分析題目：已知弦AB的長和圓心O到AB的距離，要求圓的半徑?？梢詷?gòu)造直角三角形，利用垂徑定理和勾股定理來求解。2.解題過程：連接OA，過點O作OC⊥AB于點C。則AC=BC=1/2AB=4cm（垂徑定理）在Rt△OAC中，OA2=OC2+AC2已知OC=3cm，AC=4cm所以O(shè)A=√(32+42)=5cm即⊙O的半徑為5cm。3.總結(jié)方法：解決此類問題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，運用垂徑定理和勾股定理進行計算。步驟為：連接圓心和弦的一端點，構(gòu)造直角三角形。利用垂徑定理求出弦的一半長度。運用勾股定理求出圓的半徑。

例2：已知⊙O的直徑為10cm，弦AB∥CD，AB=6cm，CD=8cm，求AB與CD之間的距離。1.分析題目：已知圓的直徑和弦AB、CD的長度，且AB∥CD，要求AB與CD之間的距離。因為弦AB和CD與圓心的位置關(guān)系不確定，所以需要分兩種情況討論。2.解題過程：過點O作OE⊥AB于點E，延長EO交CD于點F。連接OA、OC。因為AB∥CD，所以O(shè)F⊥CD。由垂徑定理得：AE=1/2AB=3cm，CF=1/2CD=4cm。在Rt△OAE中，OA=5cm，AE=3cm，根據(jù)勾股定理可得OE=√(5232)=4cm。在Rt△OCF中，OC=5cm，CF=4cm，根據(jù)勾股定理可得OF=√(5242)=3cm。分兩種情況：當弦AB和CD在圓心O的同側(cè)時，EF=OEOF=43=1cm。當弦AB和CD在圓心O的兩側(cè)時，EF=OE+OF=4+3=7cm。3.總結(jié)方法：本題考查垂徑定理的應(yīng)用以及分類討論思想。解題的關(guān)鍵是根據(jù)弦與圓心的位置關(guān)系分情況討論，然后利用垂徑定理和勾股定理求出弦心距，進而求出兩弦之間的距離。

（四）課堂練習1.在⊙O中，弦AB的長為16cm，圓心O到AB的距離為6cm，則⊙O的半徑為（）A.6cmB.8cmC.10cmD.12cm2.已知⊙O的半徑為5cm，弦AB=8cm，P是弦AB上的一個動點，則OP的取值范圍是（）A.3cm≤OP≤5cmB.4cm≤OP≤5cmC.3cm＜OP＜5cmD.4cm＜OP＜5cm3.如圖，⊙O的弦AB=6，M是AB上任意一點，且OM最小值為4，則⊙O的半徑為（）A.5B.4C.3D.24.已知⊙O的直徑是10，弦AB=8，P是AB上一動點，則OP的取值范圍是______。5.如圖，在⊙O中，弦AB=10，C是弧AB的中點，OC交AB于點D，CD=1，則⊙O的半徑是______。

（五）課堂小結(jié)1.學生回顧請學生回顧本節(jié)課所學內(nèi)容，包括圓的軸對稱性、垂徑定理及其推論。2.教師總結(jié)圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在直線都是它的對稱軸。垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧。垂徑定理的推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧。在解決與圓有關(guān)的弦的問題時，常常需要構(gòu)造直角三角形，運用垂徑定理和勾股定理進行計算。同時，要注意分類討論思想的運用。

（六）布置作業(yè)1.基礎(chǔ)作業(yè)教材第83頁練習第1、2、3題。已知⊙O的半徑為5cm，弦AB長為8cm，求圓心O到弦AB的距離。2.拓展作業(yè)如圖，在⊙O中，AB、AC為互相垂直且相等的兩條弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求證：四邊形ADOE是正方形。思考：如果將條件"AB、AC為互相垂直且相等的兩條弦"改為"AB、AC為兩條相等的弦且∠BAC=90°"，四邊形ADOE還是正方形嗎？為什么？3.實踐作業(yè)測量學校圓形花壇的直徑，你有哪些方法？請至少寫出兩種，并說明理由。

五、教學反思通過本節(jié)課的教學，學生對圓的軸對稱性以及垂徑定理及其推論有了較好的理解和掌握。在教學過程中，采用直觀演示、探究法和講練結(jié)合法，讓學生通過自主探究、小組合作等方式經(jīng)歷知識的形成過程，培養(yǎng)了學生的動手實踐能力和邏輯推理能力。

在情境導入環(huán)節(jié)，通過展示生活中的圓形建筑圖片，激發(fā)了學生的學習興趣，自然地引出了課題。在探究圓的軸對稱性和垂徑定理時，讓學生親自操作圓形紙片，觀察、猜想、驗證，充分發(fā)揮了學生的主體作用，使學生深刻理解了定理的內(nèi)涵。例題講解環(huán)節(jié)，注重引導學生分析題目，總結(jié)解題方法，培養(yǎng)了學生運用知識解決問題的能力。課堂練習的設(shè)計由淺入深，及時鞏固了所學知識