實(shí)數(shù)指數(shù)冪及運(yùn)算法則教案?一、教學(xué)目標(biāo)1.知識與技能目標(biāo)理解分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念，掌握分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式的互化。理解有理指數(shù)冪的含義，掌握有理指數(shù)冪的運(yùn)算法則，并能運(yùn)用法則進(jìn)行簡單的指數(shù)冪運(yùn)算。了解無理指數(shù)冪的概念，知道無理指數(shù)冪是有理指數(shù)冪的極限，體會"用有理數(shù)逼近無理數(shù)"的思想。掌握實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則，能熟練進(jìn)行實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算。2.過程與方法目標(biāo)通過對整數(shù)指數(shù)冪的回顧，類比推廣到分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，培養(yǎng)學(xué)生的類比推理能力。在探究分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式互化以及有理指數(shù)冪運(yùn)算法則的過程中，讓學(xué)生體會從特殊到一般的數(shù)學(xué)思維方法。通過具體的指數(shù)冪運(yùn)算，提高學(xué)生的運(yùn)算能力和邏輯思維能力。3.情感態(tài)度與價值觀目標(biāo)通過數(shù)學(xué)史的介紹，讓學(xué)生了解指數(shù)概念的形成和發(fā)展過程，感受數(shù)學(xué)文化的魅力，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。在指數(shù)冪運(yùn)算的過程中，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度和勇于探索的精神。

二、教學(xué)重難點(diǎn)1.教學(xué)重點(diǎn)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念及與根式的互化。有理指數(shù)冪的運(yùn)算法則及其應(yīng)用。實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則及其應(yīng)用。2.教學(xué)難點(diǎn)對分?jǐn)?shù)指數(shù)冪概念的理解，特別是分?jǐn)?shù)指數(shù)冪中底數(shù)的取值范圍。無理指數(shù)冪的意義及"用有理數(shù)逼近無理數(shù)"思想的理解。

三、教學(xué)方法講授法、討論法、探究法相結(jié)合

四、教學(xué)過程

（一）導(dǎo)入新課（5分鐘）1.復(fù)習(xí)回顧提問學(xué)生整數(shù)指數(shù)冪的定義和運(yùn)算法則。讓學(xué)生計(jì)算：\(2^3\)，\((3)^2\)，\(a^5\diva^3\)（\(a\neq0\)），\((a^2)^3\)等，回顧指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)。2.引入新課展示問題：\(a^{\frac{1}{2}}\)，\(a^{\frac{1}{3}}\)，\(a^{\frac{2}{3}}\)（\(a\gt0\)）這些式子有什么意義呢？我們能否像整數(shù)指數(shù)冪一樣進(jìn)行運(yùn)算呢？從而引出本節(jié)課的主題實(shí)數(shù)指數(shù)冪及運(yùn)算法則。

（二）講解新課（25分鐘）1.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念以\(a^{\frac{1}{2}}\)為例，講解其意義：如果\(x^2=a\)（\(a\geq0\)），那么\(x\)叫做\(a\)的平方根，記作\(x=\pm\sqrt{a}\)。當(dāng)我們規(guī)定\(a^{\frac{1}{2}}=\sqrt{a}\)（\(a\geq0\)）時，就把平方根的概念用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪表示出來了。同理，對于\(a^{\frac{1}{3}}\)，如果\(x^3=a\)，那么\(x\)叫做\(a\)的立方根，記作\(x=\sqrt[3]{a}\)，規(guī)定\(a^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{a}\)（\(a\inR\)）。一般地，對于正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪\(a^{\frac{m}{n}}\)（\(a\gt0\)，\(m,n\inN^*\)，且\(n\gt1\)），規(guī)定\(a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}\)。對于負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，規(guī)定\(a^{\frac{m}{n}}=\frac{1}{a^{\frac{m}{n}}}\)（\(a\gt0\)，\(m,n\inN^*\)，且\(n\gt1\)）。強(qiáng)調(diào)：分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的底數(shù)\(a\gt0\)，這是因?yàn)樵趯?shí)數(shù)范圍內(nèi)，負(fù)數(shù)不能開偶次方根。2.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式的互化例1：將下列根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪\(\sqrt[3]{5}\)\(\sqrt[4]{a^3}\)（\(a\gt0\)）\(\sqrt{a\sqrt{a}}\)（\(a\gt0\)）解：\(\sqrt[3]{5}=5^{\frac{1}{3}}\)\(\sqrt[4]{a^3}=a^{\frac{3}{4}}\)\(\sqrt{a\sqrt{a}}=\sqrt{a\cdota^{\frac{1}{2}}}=\sqrt{a^{\frac{3}{2}}}=(a^{\frac{3}{2}})^{\frac{1}{2}}=a^{\frac{3}{4}}\)例2：將下列分?jǐn)?shù)指數(shù)冪化為根式\(3^{\frac{2}{3}}\)\(a^{\frac{3}{4}}\)（\(a\gt0\)）解：\(3^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{3^2}\)\(a^{\frac{3}{4}}=\frac{1}{\sqrt[4]{a^3}}\)讓學(xué)生進(jìn)行課堂練習(xí)，鞏固分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式的互化。3.有理指數(shù)冪的運(yùn)算法則類比整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則，引導(dǎo)學(xué)生探究有理指數(shù)冪的運(yùn)算法則。設(shè)\(a\gt0\)，\(b\gt0\)，\(m,n\inQ\)，則有：\(a^m\cdota^n=a^{m+n}\)\((a^m)^n=a^{mn}\)\((ab)^m=a^m\cdotb^m\)例3：計(jì)算下列各式\(2^{\frac{1}{2}}\cdot2^{\frac{1}{3}}\)\((3^{\frac{2}{3}})^3\)\((2\times4)^{\frac{3}{2}}\)解：\(2^{\frac{1}{2}}\cdot2^{\frac{1}{3}}=2^{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}=2^{\frac{5}{6}}\)\((3^{\frac{2}{3}})^3=3^{\frac{2}{3}\times3}=3^2=9\)\((2\times4)^{\frac{3}{2}}=(2\times2^2)^{\frac{3}{2}}=(2^3)^{\frac{3}{2}}=2^{\frac{9}{2}}\)讓學(xué)生進(jìn)行練習(xí)，強(qiáng)化對有理指數(shù)冪運(yùn)算法則的運(yùn)用。

（三）深入探究（15分鐘）1.無理指數(shù)冪的概念以\(2^{\sqrt{2}}\)為例，講解無理指數(shù)冪的概念。我們知道\(\sqrt{2}\)是一個無理數(shù)，它可以用無限不循環(huán)小數(shù)表示，如\(\sqrt{2}\approx1.414213562\cdots\)。對于\(2^1\)，\(2^{1.4}\)，\(2^{1.41}\)，\(2^{1.414}\)，\(2^{1.4142}\)，\(\cdots\)，\(2^{1.414213562}\)，\(\cdots\)這些有理數(shù)指數(shù)冪的值會越來越接近一個確定的數(shù)，這個確定的數(shù)就叫做\(2^{\sqrt{2}}\)。一般地，無理指數(shù)冪\(a^{\alpha}\)（\(a\gt0\)，\(\alpha\)是無理數(shù)）是一個確定的實(shí)數(shù)。2.用有理數(shù)逼近無理數(shù)的思想結(jié)合上述例子，讓學(xué)生體會"用有理數(shù)逼近無理數(shù)"的思想。雖然無理指數(shù)冪不能像有理指數(shù)冪那樣直接計(jì)算，但通過有理數(shù)指數(shù)冪的近似值，可以無限逼近它的值。

（四）課堂小結(jié)（5分鐘）1.與學(xué)生一起回顧本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容：分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式的互化、有理指數(shù)冪的運(yùn)算法則、無理指數(shù)冪的概念以及"用有理數(shù)逼近無理數(shù)"的思想。2.強(qiáng)調(diào)重點(diǎn)：分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念及與根式的互化，有理指數(shù)冪的運(yùn)算法則，實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則。3.指出難點(diǎn)：對分?jǐn)?shù)指數(shù)冪概念中底數(shù)取值范圍的理解，無理指數(shù)冪的意義。

（五）布置作業(yè)（5分鐘）1.書面作業(yè)教材P[X]練習(xí)第[X]題，習(xí)題第[X]題。計(jì)算：\((\frac{16}{81})^{\frac{3}{4}}\)，\(27^{\frac{2}{3}}\times16^{\frac{3}{4}}\)2.拓展作業(yè)查閱資料，了解指數(shù)冪在實(shí)際生活中的應(yīng)用，并舉例說明。思考：若\(a\lt0\)，分?jǐn)?shù)指數(shù)冪\(a^{\frac{m}{n}}\)（\(m,n\inN^*\)，且\(n\gt1\)）有意義嗎？

五、教學(xué)反思通過本節(jié)課的教學(xué)，學(xué)生對實(shí)數(shù)指數(shù)冪及運(yùn)算法則有了較為系統(tǒng)的認(rèn)識。在教學(xué)過程中，注重引導(dǎo)學(xué)生類比整數(shù)指數(shù)冪的知識來探究分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，讓學(xué)生體會從