第二十一章一元二次方程

21.1-元二次方程

教學(xué)目標(biāo)

1?通過類比一元一次方程，理解一元二次方程的概念及一般式ax2+bx+c=0(aN0)，

分清二次項(xiàng)及其系數(shù)、一次項(xiàng)及其系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)等概念.

2?理解一元二次方程的解的概念，會檢驗(yàn)一個(gè)數(shù)是不是一元二次方程的解.

，■一八,■一

重點(diǎn)

通過類比一元一次方程，理解一元二次方程的概念及一般式ax2+bx+c=0(aW0］和一

元二次方程的解等概念，并能用這些概念解決簡潔問題.

難點(diǎn)

?元二次方程及其二次項(xiàng)系數(shù)、?次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)的識別.

教與設(shè)計(jì)：?<

活動1復(fù)習(xí)舊知

1?什么是方程？你能舉一個(gè)方程的例子嗎？

2?下列哪些方程是一元一次方程？并給出一元一次方程的概念和一般形式.

(l)2x-l(2)mx+n=0?'+1=0(4)x2=l

3?下列哪個(gè)實(shí)數(shù)是方程2x-1=3的解？并給出方程的解的概念.

A-0B.1C.2D.3

活動2探究新知

根據(jù)題意列方程.

1?教材第2頁問題1.

提出問題：

(I)正方形的大小由什么量確定？本題應(yīng)當(dāng)設(shè)哪個(gè)量為未知數(shù)？

(2)本題中有什么數(shù)量關(guān)系？能利用這個(gè)數(shù)量關(guān)系列方程嗎？怎么列方程？

(3)這個(gè)方程能整理為比擬簡潔的形式嗎？請說出整理之后的方程.

2?教材第2頁問題2.

提出問題：

(1)本題中有哪些量？由這些量可以得到什么？

(2)競賽隊(duì)伍的數(shù)量與競賽的場次有什么關(guān)系？假如有5個(gè)隊(duì)參賽，每個(gè)隊(duì)競賽幾場？

一共有20場競賽嗎？假如不是20場競賽，那么原委競賽多少場？

(3)假如有x個(gè)隊(duì)參賽，一共競賽多少場呢？

3?一個(gè)數(shù)比另一個(gè)數(shù)大3，且兩個(gè)數(shù)之積為0，求這兩個(gè)數(shù).

提出問題：

本題需要設(shè)兩個(gè)未知數(shù)嗎？假如可以設(shè)一個(gè)未知數(shù)，那么方程應(yīng)當(dāng)怎么列？

4-一個(gè)正方形的面積的2倍等于25，這個(gè)正方形的邊長是多少？

活動3歸納概念

提出問題：

(1)上述方程與一元一次方程有什么一樣點(diǎn)和不同點(diǎn)？

(2)類比一元一次方程，我們可以給這一類方程取一個(gè)什么名字？

(3)歸納一元二次方程的概念.

1?一元二次方程：只含有個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是，這

樣的方程，叫做一元二次方程.

2?一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=O(a^O)?其中ax?是二次項(xiàng)，a是二次項(xiàng)系

數(shù)；bx是一次項(xiàng)，b是一次項(xiàng)系數(shù)；c是常數(shù)項(xiàng).

提出問題：

(1)一元二次方程的一般形式有什么特點(diǎn)？等號的左、右分別是什么？

(2)為什么要限制aWO，b，c可以為0嗎？

(3)2x2-x+l=O的一次項(xiàng)系數(shù)是I嗎？為什么？

3.一元二次方程的解(根卜使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元二次

方程的解(根).

活動4例題與練習(xí)

例1在下列方程中，屬于一元二次方程的是.

(1)4x2=81；(2)2x2—l=3y；(3)9+：=2；

AA

(4)2X2-2X(X+7)=O.

總結(jié)：推斷一個(gè)方程是否是一元二次方程的根據(jù)：(1)整式方程；(2)只含有一個(gè)未知數(shù):

(3)含有未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)是2.留意有些方程化簡前含有二次項(xiàng)，但是化簡后二次項(xiàng)系

數(shù)為0，這樣的方程不是一元二次方程.

例2教材第3頁例題.

例3以一2為根的一元二次方程是()

A-x2+2x-1=0B.x2-x—2=0

C-x2+x+2=0D.x2+x—2=0

總結(jié)：推斷一個(gè)數(shù)是否為方程的解，可以將這個(gè)數(shù)代入方程，推斷方程左、右兩邊的值

是否相等.

練習(xí)：

1-若(a-l)x2+3ax—1=0是關(guān)于x的一元二次方程，那么a的取值范圍是.

2?將下列一元二次方程化為一般形式，并分別指出它們的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和

常數(shù)項(xiàng).

(1)4x2=81；(2)(3x-2)(x+l)=8x-3.

3?教材第4頁練習(xí)第2題.

4?若一4是關(guān)于x的一元二次方程2x2+7x-k=0的一個(gè)根，則k的值為.

答案：LaWl；2.略;3.略;4.k=4.

活動5課堂小結(jié)與作業(yè)布置

課堂小結(jié)

我們學(xué)習(xí)了一元二次方程的哪些學(xué)問？一元二次方程的一般形式是什么？一般形式中

有什么限制？你能解一元二次方程嗎？

作業(yè)布置

教材第4頁習(xí)題21.1第1?7題.21.2解一元二次方程

21.2.1配方法(3課時(shí))

第1課時(shí)干脆開平方法

教學(xué)目標(biāo)

理解一元二次方程“降次”——轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，并能應(yīng)用它解決一些詳細(xì)問題.

提出問題，列出缺一次項(xiàng)的一元二次方程ax2+c=0,根據(jù)平方根的意義解出這個(gè)方程，

然后學(xué)問遷移到解a(ex+f)24-c=0型的一元二次方程.

重點(diǎn)i難Q：?<

重占

運(yùn)用開平方法解形如［x+m)2=n(n20)的方程，領(lǐng)悟降次——轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.

難點(diǎn)

通過根據(jù)平方根的意義解形如x2=n的方程，將學(xué)問遷移到根據(jù)平方根的意義解形如(x

+m)2=n(n20)的方程.

教與設(shè)計(jì)：?<

一、復(fù)習(xí)引入

學(xué)生活動：請同學(xué)們完成下列各題.

問題1：填空

(l)x2-8x+=(x-)2：(2)9X?+12X+=(3x+)2：(3)x2

+px+=(x+)2.

解：根據(jù)完全平方公式可得：(1)164；(2)42；⑶號)2號

問題2：目前我們都學(xué)過哪些方程？二元怎樣轉(zhuǎn)化成一元？一元二次方程與一元一次方

程有什么不同？二次如何轉(zhuǎn)化成一次？怎樣降次？以前學(xué)過哪些降次的方法？

二、探究新知

上面我們已經(jīng)講了x2=9，根據(jù)平方根的意義，干脆開平方得x=±3，假如x換元為2t

+1，即(2t+l)2=9，能否也用干脆開平方的方法求解呢？

(學(xué)生分組討論)

教師點(diǎn)評：答復(fù)是確定的，把2t+1變?yōu)樯厦娴膞，那么2t+1=±3

即2t+l=3，2t+l=-3

方程的兩根為ti=l，t2=-2

例1解方程：(1)X2+4X+4=1(2)X2+6X+9=2

分析：(1)X2+4X+4是一個(gè)完全平方公式，那么原方程就轉(zhuǎn)化為(x+2)2=l.

(2)由已知，得：冢+3產(chǎn)=2

干脆開平方,得：X+3=±\R

即x+3=g，x+3=一地

所以，方程的兩根x1=-3+&，X2=-3—也

解：略.

例2市政府安排2年內(nèi)將人均住房面積由如今的10〃戶進(jìn)步到14.4加2，求每年人均住

房面積增長率.

分析：設(shè)每年人均住房面積增長率為x，一年后人均住房面積就應(yīng)當(dāng)是10+10x=10(l

+x)；二年后人均住房面積就應(yīng)當(dāng)是10(1+x)+10(14-x)x=10(l+x)2

解：設(shè)每年人均住房面積增長率為x，

則:10(1+x)2=14.4

(1+X)2=I.44

干脆開平方，得l+x=±1.2

即l+x=1.2，l+x=—L2

所以，方程的兩根是xi=0.2=20%?x2=-2.2

因?yàn)槊磕耆司》棵娣e的增長率應(yīng)為正的，因此，、2=-2.2應(yīng)舍去.

所以，每年人均住房面積增長率應(yīng)為20%.

(學(xué)生小結(jié))教師引導(dǎo)提問：解一元二次方程，它們的共同特點(diǎn)是什么？

共同特點(diǎn)：把一個(gè)一元二次方程“降次”，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程.我們把這種思想

稱為“降次轉(zhuǎn)化思想”.

三、穩(wěn)固練習(xí)

教材第6頁練習(xí).

四、課堂小結(jié)

本節(jié)課應(yīng)駕馭：由應(yīng)用干脆開平方法解形如x2=p(p20)的方程，那么x=S而轉(zhuǎn)化為應(yīng)

用干脆開平方法解形如(nix+n)2=p(p20)的方程，那么mx+n=±Vp，到達(dá)降次轉(zhuǎn)化之目

的.若p〈0則方程無解.

五、作業(yè)布置

教材第16頁復(fù)習(xí)穩(wěn)固1.第2課時(shí)配方法的根本形式

教學(xué)目標(biāo),:?<

理解間接即通過變形運(yùn)用開平方法降次解方程，并能嫻熟應(yīng)用它解決?些詳細(xì)問題.

通過復(fù)習(xí)可干脆化成x2=p(p20)或(mx+n)2=p(p20)的一元二次方程的解法，引入不

能干脆化成上面兩種形式的一元二次方程的解題步驟.

重后難Q:?<

重點(diǎn)

講清干脆降次有困難，如x2+6x-16=0的一元二次方程的解題步驟.

難點(diǎn)

將不行干脆降次解方程化為可干脆降次解方程的“化為”的轉(zhuǎn)化方法與技巧.

教與設(shè)計(jì):?<

一、復(fù)習(xí)引入

(學(xué)生活動)請同學(xué)們解下列方程：

(1)3x2—1=5(2)4(X-I)2-9=0(3)4X2+I6X+16=9(4)4x2+16x=-7

教師點(diǎn)評：上面的方程都能化成x2=p或(mx+n)2=p(p20)的形式，那么可得

x=±\/^或mx+n=±V^(p2O).

如:4X2+16X4-16=(2X+4)2，你能把4x?+16x=—7化成(2x+4「=9嗎？

二、探究新知

列出下面問題的方程并答復(fù)：

(1)列出的經(jīng)化簡為?般形式的方程與剛剛解題的方程有什么不同呢？

(2)能否干脆用上面前三個(gè)方程的解法呢？

問題：要使一塊矩形場地的長比寬多6相，并且面積為16，求場地的長和寬各是多

少？

(1)列出的經(jīng)化簡為一般形式的方程與前面講的三道題不同之處是：前三個(gè)左邊是含有x

的完全平方式而后二個(gè)不具有此特征.

(2)不能.

既然不能干脆降次解方程哪么我們就應(yīng)當(dāng)設(shè)法把它轉(zhuǎn)化為可干脆降次解方程的方程，

下面，我們就來講如何轉(zhuǎn)化：

x2+6x-I6=0移項(xiàng)-x?+6x=16

兩邊加(6/2戶使左邊配成x24-2bx+b2的形式--x?+6x+32=16+9

左邊寫成平方形式一［X+3)2=25降次一X+3=±5即x+3=5或x+3=—5

解一次方程-xi=2，X2=-8

可以驗(yàn)證：x.=2，X2=-8都是方程的根，但場地的寬不能是負(fù)值，所以場地的寬為2

m?長為8m.

像I:面的解題方法，通過配成完全平方形式來解一元二次方程的方法，叫配方法.

可以看出，配方法是為了降次，把一個(gè)一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程來解.

例I用配方法解下列關(guān)于X的方程：

(1)x2—8x+1=0(2)X2—2x—2=0

分析：(1)明顯方程的左邊不是一個(gè)完全平方式，因此，要按前面的方法化為完全平方

式；(2)同上.

解：略.

三、穩(wěn)固練習(xí)

教材第9頁練習(xí)1，2.(1)(2).

四、課堂小結(jié)

本節(jié)課應(yīng)駕馭：

左邊不含有x的完全平方形式的一元二次方程化為左邊是含有x的完全平方形式，右邊

是非負(fù)數(shù)，可以干脆降次解方程的方程.

五、作業(yè)布置

教材第17頁復(fù)習(xí)穩(wěn)固2,3.(1)(2).第3課時(shí)配方法的敏捷運(yùn)用

教與目標(biāo)<:?<

理解配方法的概念，駕馭運(yùn)用配方法解一元二次方程的步驟.

通過復(fù)習(xí)上一節(jié)課的解題方法給出配方法的概念然后運(yùn)用配方法解決一些詳細(xì)題目.

，■一八,■一:?<

重點(diǎn)

講清配方法的解題步驟.

難點(diǎn)

對于用配方法解二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程，通常把常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊后，兩邊

加上的常數(shù)是一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；對于二次項(xiàng)系數(shù)K為1的一元二次方程，要先化二次

項(xiàng)系數(shù)為1，再用配方法求解.

教與設(shè)計(jì):?<

一、復(fù)習(xí)引入

(學(xué)生活動)解下列方程：

(l)x2-4x+7=0(2)2x2-8x+1=0

教師點(diǎn)評：我們上一節(jié)課，已經(jīng)學(xué)習(xí)了如何解左邊不含有x的完全平方形式的一元二次

方程以及不行以干脆開方降次解方程的轉(zhuǎn)化問題哪么這兩道題也可以用上面的方法進(jìn)展解

題.

解：略.(2)與(1)有何關(guān)聯(lián)？

二、探究新知

討論：配方法解一元二次方程的一般步驟：

(1)先將已知方程化為一般形式；

(2)化二次項(xiàng)系數(shù)為1：

(3)常數(shù)項(xiàng)移到右邊；

(4)方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方，使左邊配成一個(gè)完全平方式；

(5)變形為(x+p)2=q的形式?假如q20，方程的根是x=-p±\/q；假如q<0，方程無

實(shí)根.

例1解下列方程：

(l)2x2+l=3x(2)3x2—6x+4=0(3)(1+x/+2(l+x)-4=0

分析：我們已經(jīng)介紹了配方法，因此，我們解這些方程就可以用配方法來完成，即配一

個(gè)含有x的完全平方式.

解：略.

三、穩(wěn)固練習(xí)

教材第9頁練習(xí)2.⑶(4)(5)(6).

四、課堂小結(jié)

本節(jié)課應(yīng)駕馭：

1?配方法的概念及用配方法解一元二次方程的步驟.

2?配方法是解一元二次方程的通法，它的重要性，不僅僅表如今一元二次方程的解法

中，也可通過配方，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)推斷代數(shù)式的正負(fù)性.在今后學(xué)習(xí)二次函數(shù)，到高中

學(xué)習(xí)二次曲線時(shí)，還將常常用到.

五、作業(yè)布置

教材第17頁復(fù)習(xí)穩(wěn)固3.(3)(4).

補(bǔ)充：(1)已知x2+y2+z2—2x+4y—6z+14=0?求x+y+z的值.

(2)求證：無論x，y取任何實(shí)數(shù)，多項(xiàng)式x2+y2—2x—4y+16的值總是正數(shù).21.2.2公

式法

教學(xué)目標(biāo),:?<

理解一元二次方程求根公式的推導(dǎo)過程，理解公式法的概念，會嫻熟應(yīng)用公式法解一元

二次方程.

復(fù)習(xí)詳細(xì)數(shù)字的一元二次方程配方法的解題過程，引入ax2+bx+c=0(aW0)的求根公

式的推導(dǎo)，并應(yīng)用公式法解一元二次方程.

重點(diǎn)i難Q:?<

重點(diǎn)

求根公式的推導(dǎo)和公式法的應(yīng)用.

難點(diǎn)

一元二次方程求根公式的推導(dǎo).

教與設(shè)計(jì):?<

一、復(fù)習(xí)引入

1?前面我們學(xué)習(xí)過解一元二次方程的“干脆開平方法”，比方，方程

(1—2=4(2)(x—2)2=7

提問I這種解法的(理論)根據(jù)是什么？

提問2這種解法的局限性是什么？(只對那種“平方式等于非負(fù)數(shù)”的特殊二次方程

有效，不能施行于一般形式的二次方程.)

2?面對這種局限性，怎么辦？(運(yùn)用配方法，把一般形式的二次方程配方成可以“干脆

開平方”的形式.)

(學(xué)生活動)用配方法解方程2x2+3=7x

(教師點(diǎn)評)略

總結(jié)用配方法解一元二次方程的步驟(學(xué)生總結(jié)，教師點(diǎn)評).

(1)先將已知方程化為一般形式；

(2)化二次項(xiàng)系數(shù)為1：

(3)常數(shù)項(xiàng)移到右邊；

(4)方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方，使左邊配成一個(gè)完全平方式；

(5)變形為(x+p)2=q的形式，假如q20，方程的根是x=-p±\/q；假如q<0，方程無

實(shí)根.

二、探究新知

用配方法解方程：

(l)ax2—7x+3=0(2)ax2+bx+3=O

假如這個(gè)一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0(a^0)，你能否用上面配方法的步驟

求出它們的兩根，請同學(xué)獨(dú)立完成下面這個(gè)問題.

-b+db2-4ac

問題：已知ax2+bx+c=0(a#0)，試推導(dǎo)它的兩個(gè)根xi=

2a，X2=

-b->\/b2-4ac

：(這個(gè)方程確定有解嗎？什么狀況下有解？)

2a

分析：因?yàn)榍懊嬖敿?xì)數(shù)字已做得許多，我們?nèi)缃癫环涟補(bǔ)，b，c也當(dāng)成一個(gè)詳細(xì)數(shù)字，

根據(jù)上面的解題步驟就可以始終推下去.

解：移項(xiàng),得：ax2+bx=-c

二次項(xiàng)系數(shù)化為1，得x2+/=一；

配方，得:乂2+殳+焉2=_；+(各2

即（x+/）2=b?-4ac

4a2

b?—4ac

V4a2>0，當(dāng)b2—4ac>0時(shí)?-五3-20

b--Jb2-4aci

??（X+五）』（HL

干脆開平方，得：x+為色

—bir\/b2—4ac

—b+db?—4ac—b——b2-4ac

???x尸2a'X2=2a

由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0(aW0)的根由方程的系數(shù)a，b，c而定，因此:

(1)解一元二次方程時(shí)，可以先將方程化為一般形式ax2+bx+c=0，當(dāng)b2—4ac20時(shí)，

將a，b，c代入式子------就得到方程的根.

⑵這個(gè)式子叫做一元二次方程的求根公式.

(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法.

公式的理解

(4)由求根公式可知，一元二次方程最多有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.

例1用公式法解下列方程：

(l)2x2—X—I=0(2)x2+1.5=-3x

(3)x2-V2x+1=O(4)4x2-3x+2=0

分析：用公式法解一元二次方程，首先應(yīng)把它化為一般形式，然后代入公式即可.

補(bǔ)：(5)(x-2)(3x-5)=0

三、穩(wěn)固練習(xí)

教材第12頁練習(xí)1.⑴⑶(5)或⑵(4)(6).

四、課堂小結(jié)

本節(jié)課應(yīng)駕馭：

(1)求根公式的概念及其推導(dǎo)過程；

(2)公式法的概念；

(3)應(yīng)用公式法解一元二次方程的步驟：1)將所給的方程變成一般形式，留意移項(xiàng)要變號，

盡量讓a>0；2)找出系數(shù)a，b，c，留意各項(xiàng)的系數(shù)包括符號：3)計(jì)算b2-4ac，若結(jié)果為負(fù)

數(shù)，方程無解：4)若結(jié)果為非負(fù)數(shù)，代入求根公式，算出結(jié)果.

(4)初步理解一元二次方程根的狀況.

五、作業(yè)布置

教材第17頁習(xí)題4,5.21.2.3因式分解法

教學(xué)目標(biāo),：?<

駕馭用因式分解法解一元二次方程.

通過復(fù)慣用配方法、公式法解一元二次方程，體會和探尋用更簡潔的方法一因式分解

法解一元二次方程，并應(yīng)用因式分解法解決一些詳細(xì)問題.

=，,一人H，■一：?<

重點(diǎn)

用因式分解法解一元二次方程.

難點(diǎn)

讓學(xué)生通過比擬解一元二次方程的多種方法感悟用因式分解法使解題更簡便.

教與設(shè)計(jì)：?<

一、復(fù)習(xí)引入

(學(xué)生活動)解下列方程:

(1)2x2+x=()(用配方法)(2)3x2+6x=0(用公式法)

教師點(diǎn)評：(1)配方法將方程兩邊同除以2后，x前面的系數(shù)應(yīng)為g，g的?半應(yīng)為:，因

此，應(yīng)加上(1)2，同時(shí)減去右)2.⑵干脆用公式求解.

二、探究新知

(學(xué)生活動)請同學(xué)們口答下面各題.

(教師提問)(1)上面兩個(gè)方程中有沒有常數(shù)項(xiàng)？

(2)等式左邊的各項(xiàng)有沒有共同因式？

(學(xué)生先答，教師解答)上面兩個(gè)方程中都沒有常數(shù)項(xiàng)；左邊都可以因式分解.

因此，上面兩個(gè)方程都可以寫成：

(l)x(2x+1)=0(2)3x(x+2)=0

因?yàn)閮蓚€(gè)因式乘積要等于0，至少其中一個(gè)因式要等于0，也就是(l)x=0或2x+l=0，

所以X|=0，X2=-I.

(2)3x=0或x+2=0-所以xi=()，X2=—2.(以上解法是如何實(shí)現(xiàn)降次的？)

因此，我們可以發(fā)覺，上述兩個(gè)方程中，其解法都不是用開平方降次，而是先因式分解

使方程化為兩個(gè)一次式的乘積等于0的形式，再使這兩個(gè)一次式分別等于0，從而實(shí)現(xiàn)降次，

這種解法叫做因式分解法.

例1解方程：

13

(l)10x—4.9X2=0(2)x(x—2)+x—2=0(3)5x2—2x—^=x2—2x+^(4)(x—1)2=(3—

2x)2

思索：運(yùn)用因式分解法解一元二次方程的條件是什么？

解：略(方程一邊為0,另一邊可■分解為兩個(gè)一次因式乘積.)

練習(xí)：下面一元二次方程解法中，正確的是()

A-(x-3)(x-5)=10X2?Ax-3=10，x-5=2，,xi=13，x2=7

o3

B?(2-5x)+(5x—2)2=0j.*.(5x—2)(5x-3)=0xi=§?x2=^

C-(x+2)2+4x=0?Axi=2，X2=-2

D-x2=x，兩邊同除以x，得x=1

三、穩(wěn)固練習(xí)

教材第14頁練習(xí)1，2.

四、課堂小結(jié)

本節(jié)課要駕馭：

(1)用因式分解法，即用提取公因式法、十字相乘法等解一元二次方程及其應(yīng)用.

(2)因式分解法要使方程一邊為兩個(gè)一次因式相乘，另一邊為0，再分別使各一次因式等

于0.

五、作業(yè)布置

教材第17頁習(xí)題6,8,10,11.2124一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系

教學(xué)目標(biāo)

1?駕馭一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系并會初步應(yīng)用.

2?培育學(xué)生分析、視察、歸納的實(shí)力和推理論證的實(shí)力.

3?浸透由特殊到一般，再由一般到特殊的相識事物的規(guī)律.

4?培育學(xué)生去發(fā)覺規(guī)律的主動性及勇于探究的精神.

重點(diǎn)難Q

重點(diǎn)

根與系數(shù)的關(guān)系及其推導(dǎo)

難點(diǎn)

正確理解根與系數(shù)的關(guān)系.一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是指一元二次方程兩根的和、

兩根的積與系數(shù)的關(guān)系.

教與設(shè)計(jì)

一、復(fù)習(xí)引入

1?已知方程X?—ax—3a=0的一個(gè)根是6,則求a及另一個(gè)根的值.

2-由上題可知一元二次方程的系數(shù)與根有著親密的關(guān)系.其實(shí)我們已學(xué)過的求根公式

也反映了根與系數(shù)的關(guān)系，這種關(guān)系比擬困難，是否有更簡潔的關(guān)系？

3?由求根公式可知，一元二次方程ax2+bx+c=0(aW0)的兩根為川=土嘴二%，

X2=--—4祀.視察兩式右邊，分母一樣，分子是一b+)b2—4ac與一b—Nb2—4ac,兩根

之間通過什么計(jì)算才能得到更簡潔的關(guān)系？

二、探究新知

解下列方程，并填寫表格:

方程XlX2X1+X2X|,X2

X2-2x=0

x2-F3x-4=0

x2—5x+6=0

視察上面的表格，你能得到什么結(jié)論?

(1)關(guān)于x的方程x24-px+q=o(p?q為常數(shù)，p?—720)的兩根Xi?X2與系數(shù)p，q之

間有什么關(guān)系？

(2)關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0(aW0)的兩根X］，X2與系數(shù)a，b，c之間又有何關(guān)系呢？

你能證明你的猜測嗎？

解下列方程，并填寫表格：

方程X|+X2

X|X2X1?x2

2x2-7x-4=0

3x2+2x—5=0

5x2-17x+6=0

小結(jié)：根與系數(shù)關(guān)系：

(1)關(guān)于x的方程x2+px+q=0(p，q為常數(shù)，p?一乙q20)的兩根Xi，X2與系數(shù)p，q的

關(guān)系是：xi+x2=-p，x-x2=q(留意：根與系數(shù)關(guān)系的前提條件是根的判別式必需大于或

等于零.)

(2)形如ax2+bx+c=0(a六0)的方程，可以先將二次項(xiàng)系數(shù)化為1，再利用上面的結(jié)論.

即：對于方程ax2+bx+c=0(aK0)

Va^O'.'.x2H—x+-=0

aa

..bc

??X|IX2=:d'XI*X2=-a

(可以利用求根公式給出證明)

例I不解方程，寫出下列方程的兩根和與兩根積：

(1)x2—3x—1=0(2)2x?+3x—5=0

(3)1x2—2x=0(4/\/2x2+V6x=-\/3

(5)x2-1=0(6)X2-2X+1=0

例2不解方程，檢驗(yàn)下列方程的解是否正確？

2

(l)x-2-V2x+l=0(XI=A/2+1*X2=V2-1)

,7+^735-\/73

(2)2x——3x—8=0(xi=--，X2=-~)

例3已知一元二次方程的兩個(gè)根是一1和2，請你寫出一個(gè)符合條件的方程.(你有幾

種方法？)

例4已知方程2x2+kx-9=0的一個(gè)根是一3，求另一?根及k的值.

變式一：已知方程x2-2kx-9=0的兩根互為相反數(shù)，求k；

變式二：已知方程2x2—5x+k=0的兩根互為倒數(shù)，求k.

三、課堂小結(jié)

1?根與系數(shù)的關(guān)系.

2?根與系數(shù)關(guān)系運(yùn)用的前提是：(1)是一元二次方程；(2)判別式大于等于零.

四、作業(yè)布置

1?不解方程，寫出下列方程的兩根和與兩根積.

(l)x2-5x-3=0(2)9x+2=x2(3)6x2-3x+2=0

(4)3x2+x+l=0

2?已知方程x2—3xH-m=0的一個(gè)根為1，求另一根及m的值.

3?已知方程x2+bx+6=()的一個(gè)根為一2，求另一根及b的值.21.3實(shí)際問題與一元

二次方程(2課時(shí))

第1課時(shí)解決代數(shù)問題

教學(xué)目標(biāo):?<

1?經(jīng)驗(yàn)用一元二次方程解決實(shí)際問題的過程，總結(jié)列一元二次方程解決實(shí)際問題的一

般步驟.

2?通過學(xué)生自主探究，會根據(jù)傳播問題、百分率問題中的數(shù)量關(guān)系列一元二次方程并

求解，熟識解題的詳細(xì)步驟.

3?通過實(shí)際問題的解答，讓學(xué)生相識到對方程的解必需要進(jìn)展檢驗(yàn)，方程的解是否舍

去要以是否符合問題的實(shí)際意義為標(biāo)準(zhǔn).

=軍，w,一人彈H:，占■一<:?<

重點(diǎn)

利用一元二次方程解決傳播問題、百分率問題.

難點(diǎn)

假如理解傳播問題的傳播過程和百分率問題中的增長(降低)過程，找到傳播問題在百分

率問題中的數(shù)量關(guān)系.

教與設(shè)計(jì):?<

一、引入新課

1?列方程解應(yīng)用題的根本步驟有哪些？應(yīng)留意什么？

2?科學(xué)家在細(xì)胞討論過程中發(fā)覺：

(1)一個(gè)細(xì)胞一次可分裂成2個(gè)，經(jīng)過3次分裂后共有多少個(gè)細(xì)胞？

(2)一個(gè)細(xì)胞一次可分裂成x個(gè)，經(jīng)過3次分裂后共有多少個(gè)細(xì)胞？

(3)如是一個(gè)細(xì)胞一次可分裂成2個(gè)，分裂后原有細(xì)胞仍舊存在并能再次分裂，試問經(jīng)

過3次分裂后共有多少個(gè)細(xì)胞？

二、教學(xué)活動

活動1：自學(xué)教材第19頁探究1，思索教師所提問題.

有一人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后，有.121人患了流感，每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了

幾個(gè)人？

(1)如何理解“兩輪傳染”？假如設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了x個(gè)人，第一輪傳染

后共有,人患流感.第二輪傳染后共有人患流感.

(2)本題中有哪些數(shù)量關(guān)系？

(3)如何利用已知的數(shù)量關(guān)系選取未知數(shù)并列出方程？

解答：設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了x個(gè)人，則依題意第一輪傳染后有(x+1)人患了

流感，第二輪有x(l+x)人被傳染上了流感.于是可列方程：

14-x+x(l+x)=12I

解方程得刈=10，X2=—12(不合題意舍去)

因此每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了10個(gè)人.

變式練習(xí)：假如按這樣的傳播速度，三輪傳染后有多少人患了流感？

活動2：自學(xué)教材第19頁?第20頁探究2，思索教師所提問題.

兩年前消費(fèi)1噸甲種藥品的本錢是5000元，消費(fèi)1噸乙種藥品的本錢是6000元，隨著

消費(fèi)技術(shù)的進(jìn)步如今消費(fèi)I噸甲種藥品的本錢是300()元，消費(fèi)1噸乙種藥品的本錢是3600

元，哪種藥品本錢的年平均下降率較大？

(1)如何理解年平均下降額與年平均下降率？它們相等嗎？

(2)若設(shè)甲種藥品年平均下降率為x，則一年后，甲種藥品的本錢下降了元，此

時(shí)本錢為元：兩年后，甲種藥品下降了元，此時(shí)本錢為元.

(3)增長率(下降率)公式的歸納：設(shè)基準(zhǔn)數(shù)為a，增長率為x，則一月(或一年)后產(chǎn)量為

a(l±x)；

二月(或二年)后產(chǎn)量為a(l±x)2；

n月(或n年)后產(chǎn)量為a(l±x)n；

假如已知n月(n年)后總產(chǎn)量為M，則有下面等式：M=a(l±x)n.

(4)對甲種藥品而言根據(jù)等量關(guān)系列方程為：.

三、課堂小結(jié)與作業(yè)布置

課堂小結(jié)

1?列一元二次方程解應(yīng)用題的步驟：審、設(shè)、找、歹6、解、答.最終要檢驗(yàn)根是否符

合實(shí)際.

2?傳播問題解決的關(guān)鍵是傳播源確實(shí)定和等量關(guān)系的建立.

3?若平均增長(降低)率為x，增長(或降低)前的基準(zhǔn)數(shù)是a，增長(或降低)n次后的量是

b，則有：a(l±x)n=b(常見n=2).

4?本錢下降額較大的藥品，它的下降率不確定也較大，本錢下降額較小的藥品，它的

下降率不確定也較小.

作業(yè)布置

教材第21—22頁習(xí)題2L3第2—7題.第2課時(shí)解決幾何問題

教字目標(biāo)

1?通過探究，學(xué)會分析幾何問題中蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系，列出一元二次方程解決幾何問題.

2?通過探究，使學(xué)生相識在幾何問題中可以將圖形進(jìn)展適當(dāng)變換，使列方程更簡潔.

3?通過實(shí)際問題的解答，再次讓學(xué)生相識到對方程的解必需要進(jìn)展檢驗(yàn)，方程的解是

否舍去要以是否符合問題的實(shí)際意義為標(biāo)準(zhǔn).

重后難后：?<

重占

通過實(shí)際圖形問題，培育學(xué)生運(yùn)用一元二次方程分析和解決幾何問題的實(shí)力.

難點(diǎn)

在探究幾何問題的過程中，找出數(shù)量關(guān)系，正確地建立一元二次方程.

教與設(shè)計(jì)：?<

活動1創(chuàng)設(shè)情境

1?長方形的周長_________，面積，長方體的體積公式.

2,如圖所示：?一?--------1一'

⑴一塊長方形鐵皮的長是10cm?寬是8cm，四角各截去一個(gè)邊長為2cm的小正方形，

制成一個(gè)長方體容器，這個(gè)長方體容器的底面積是，高是，體積是

(2)一塊長方形鐵皮的長是10，寬是8四角各截去一個(gè)邊長為xcm的小正方形，

制成一個(gè)長方體容器，這個(gè)長方體容器的底面積是，高是，體積是

活動2自學(xué)教材第20頁?第21頁探究3，思索教師所提問題

要設(shè)計(jì)一本書的封面，封面長27cm，寬21cm，正中央是一個(gè)與整個(gè)封面長寬比例一

樣的矩形，假如要使四周的彩色邊襯所占面積是封面面積的四分之?，上下邊襯等寬，左右

邊襯等寬，應(yīng)如何設(shè)計(jì)四周邊襯的寬度(準(zhǔn)確到0.1cm).

(1)要設(shè)計(jì)書本封面的長與寬的比是，則正中央矩形的長與寬的比是.

(2)為什么說上下邊襯寬與左右邊襯寬之比為9：7?試與同伴溝通一下.

(3)若設(shè)上、下邊襯的寬均為9x，左、右邊襯的寬均為7xcm，則中火矩形的長為

cm，寬為cm?面積為cm*12.

(4)根據(jù)等量關(guān)系：，可列方程為：.

(5)你能寫出解題過程嗎？(留意對結(jié)果是否合理進(jìn)展檢驗(yàn).)

(6)思索假如設(shè)正中央矩形的長與寬分別為9xcm和7xcm?你又怎樣去求上下、左右邊

襯的寬？

活動3變式練習(xí)

如圖所示，在一個(gè)長為50米，寬為30米的矩形空地上，建立一個(gè)花園，要求花園的面

積占整塊面積的75%，等寬且互相垂直的兩條路的面積占25%，求路的寬度.

±-

答案：路的寬度為5米.

活動4課堂小結(jié)與作業(yè)布置

課堂小結(jié)

1?利用己學(xué)的特殊圖形的面積(或體積)公式建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型，并運(yùn)用它

解決實(shí)際問題的關(guān)健是弄清題目中的數(shù)量關(guān)系.

2?根據(jù)面積與面積(或體積)之間的等量關(guān)系建立一元二次方程，并能正確解方程，最

終對所得結(jié)果是否合理要進(jìn)展檢驗(yàn).

作業(yè)布置

教材第22頁習(xí)題21.3第8，10題.

第二十二章二次函數(shù)

22.1二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)

22.1.1二次函數(shù)

教學(xué)目標(biāo),：?<

1?從實(shí)際情景中讓學(xué)生經(jīng)驗(yàn)探究分析和建立兩個(gè)變量之間的二次函數(shù)關(guān)系的過程，進(jìn)

一步體驗(yàn)如何用數(shù)學(xué)的方法去描繪變量之間的數(shù)量關(guān)系.

2?理解二次函數(shù)的概念，駕馭二次函數(shù)的形式.

3?會建立簡潔的二次函數(shù)的模型，并能根據(jù)實(shí)際問題確定自變量的取值范圍.

重后難Q：?<

重點(diǎn)

二次函數(shù)的概念和解析式.

難點(diǎn)

本節(jié)“合作學(xué)習(xí)”涉及的實(shí)際問題有的較為困難，要求學(xué)生有較強(qiáng)的概括實(shí)力.

教與設(shè)計(jì)：?<

一、創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課

問題1現(xiàn)有一根12小長的繩子，用它圍成一個(gè)矩形，如何圍法，才使矩形的面積最

大？小明同學(xué)認(rèn)為當(dāng)圍成的矩形是正方形時(shí)，它的面積最大，他說的有道理嗎？

問題2許多同學(xué)都喜愛打籃球，你知道嗎：投籃時(shí)，籃球運(yùn)動的路途是什么曲線？怎

樣計(jì)算籃球到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)的高度？

這些問題都可以通過學(xué)習(xí)二次函數(shù)的數(shù)學(xué)模型來解決，今日我們學(xué)習(xí)“二次函數(shù)”(板

書課題).

二、合作學(xué)習(xí)，探究新知

請用適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)解析式表示下列情景中的兩個(gè)變量y與x之間的關(guān)系：

(1)圓的半徑x(cm)與面積y(cm2)；

(2)王先生存入銀行2萬元，先存一個(gè)一年定期，一年后銀行將本息自動轉(zhuǎn)存為又一個(gè)

一年定期，發(fā)一年定期的年存款利率為x，兩年后王先J共得本息y元；

(3)擬建中的一個(gè)溫室的平面圖如圖，假如溫室外圍是一個(gè)矩形，周長為120m，室內(nèi)通

道的尺寸如圖，設(shè)一條邊長為x(〃?)，種植面積為y(〃).

(一)教師組織合作學(xué)習(xí)活動：

1?先個(gè)體探求，嘗試寫出y與x之間的函數(shù)解析式.

2?上述三個(gè)問題先易后難，在個(gè)體探求的根底上，小組進(jìn)展合作溝通，共同討論.

(l)y=r2(2)y=20000(1+x)2=20000x2+40000x+20000(3)y=(60-x-4)(x~2)=

-x2+58x-112

(二)上述三個(gè)函數(shù)解析式具有哪些共同特征？

讓學(xué)生充分發(fā)表意見，提出各自看法.

教師歸納總結(jié)：上述三個(gè)函數(shù)解析式經(jīng)化簡后都具有y=ax2+bx+c(a，b，c是常數(shù)，a

W0)的形式.

板書：我們把形如y=ax?+bx+c(其中a，b，c是常數(shù)，a#0)的函數(shù)叫做二次函數(shù)

{quadraticfunction)，稱a為二次項(xiàng)系數(shù)，b為一次項(xiàng)系數(shù)，c為常數(shù)項(xiàng).

請講出上述三個(gè)函數(shù)解析式中的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng).

三、做一做

1?下列函數(shù)中，哪些是二次函數(shù)？

(l)y=x2(2)y=一衣(3)y=2x2—x—1

(4)y=x(l—x)(5)y=(x—I)2—(x+l)(x—1)

2?分別說出下列二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)：

(l)y=x2+1(2)y=3x2-l-7x—12(3)y=2x(l—x)

3?若函數(shù)y=(m2—l)xm2—m為二次函數(shù)，則m的值為.

四、課堂小結(jié)

反思進(jìn)步，本節(jié)課你有什么收獲？

五、作業(yè)布置

教材第41頁第1，2題.22.1.2二次函數(shù)y=ax2的圖象和性質(zhì)

教學(xué)目標(biāo):?<

通過畫圖，理解二次函數(shù)y=ax2(aW0)的圖象是一條拋物線，理解其頂點(diǎn)為何是原點(diǎn)，

對稱軸為何是y軸，開口方向?yàn)楹蜗蛏?或向下)，駕馭其頂點(diǎn)、對稱軸、開口方向、最值和

增減性與解析式的內(nèi)在關(guān)系，能運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)解決有關(guān)問題.

重用難后:?<

重點(diǎn)

從“數(shù)”(解析式)和“形"(圖象)的角度理解二次函數(shù)y=ax2的性質(zhì)，駕馭二次函數(shù)解

析式y(tǒng)=ax?與函數(shù)圖象的內(nèi)在關(guān)系.

難點(diǎn)

畫二次函數(shù)y=ax2的圖象.

教與設(shè)計(jì):?<

一、引入新課

1-下列哪些函數(shù)是二次函數(shù)？哪些是一次函數(shù)？

⑴y=3x—1(2)y=2x2+7(3)y=x—2

(4)y=3(x-l)2+l

2?一次函數(shù)的圖象，正比例函數(shù)的圖象各是怎樣的呢？它們各有什么特點(diǎn)，又有哪些

性質(zhì)呢？

3?上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了二次函數(shù)的概念，駕馭了它的一般形式，這節(jié)課我們先來探究二

次函數(shù)中最簡潔的y=ax2的圖象和性質(zhì).

二、教學(xué)活動

活動1：畫函數(shù)y=-x?的圖象.

(I)多媒體展示畫法(列表，描點(diǎn)，連線).

(2)提出問題：它的形態(tài)類似于什么？

(3)引出一般概念：拋物線，拋物線的對稱軸、頂點(diǎn).

活動2：在坐標(biāo)紙上畫函數(shù)y=-0.5x2，y=-2x?的圖象.

(1)教師巡察，展示學(xué)生的作品并進(jìn)展點(diǎn)撥；教師再用多媒體課件展示正確的畫圖過程.

(2)引導(dǎo)學(xué)生視察二次函數(shù)y=-0.5x2，y=-2x2與函數(shù)y=-x2的圖象，提出問題：它

們有什么共同點(diǎn)和不同點(diǎn)？

(3)歸納總結(jié)：

共同點(diǎn)：①它們都是拋物線；②除頂點(diǎn)外都處于X軸的下方.：③開口向下；④對稱軸是

y軸；⑤頂點(diǎn)都是原點(diǎn)(0，0).

不同點(diǎn)：開口大小不同.

(4)教師強(qiáng)調(diào)指出：這三個(gè)特殊的二次函數(shù)丫=2*2是當(dāng)aVO時(shí)的狀況.系數(shù)a越大，拋

物線開口越大.

活動3：在同一個(gè)直角坐標(biāo)系中畫函數(shù)y=x2>y=0.5x2，y=2x?的圖象.

類似活動2：讓學(xué)生歸納總結(jié)出這些圖象的共同點(diǎn)和不同點(diǎn)，再進(jìn)一步提煉出二次函數(shù)

y=ax2(a#0)的圖象和性質(zhì).

二次函數(shù)y=ax2(aW0)的圖象和性質(zhì)

圖象開口頂最高或

對稱軸最值

(草圖)方向點(diǎn)最低點(diǎn)

a>0當(dāng)x=

____時(shí)，

y有最____

值，

是________.

a<0當(dāng)x=

____時(shí)，

y有最____

值，

是________.

活動4：達(dá)標(biāo)檢測

(1)函數(shù)y=-8x2的圖象開口向，頂點(diǎn)是，對稱軸是，當(dāng)

.時(shí)，y隨x的增大而減小.

(2)二次函數(shù)y=(2k—5)x2的圖象如圖所示，則k的取值范圍為

(3)如圖??y=ax2；?y=bx2；?y=cx2；④y=dx?.比擬a，b，c，d的大小，用”>

連接.

答案：⑴下，(0，0)，x=0，>0；(2)k>2.5；(3)a>b>d>c.

三、課堂小結(jié)與作業(yè)布置

課堂小結(jié)

1-二次函數(shù)的圖象都是拋物線.

2?二次函數(shù)y=ax2的圖象性質(zhì)：

⑴拋物線丫=2。的定稱軸是y軸，頂點(diǎn)是原點(diǎn).

(2)當(dāng)a>0時(shí)，拋物線的開口向上，頂點(diǎn)是拋物線的最低點(diǎn)；當(dāng)a<0時(shí)，拋物線的開

口向下，頂點(diǎn)是拋物線的最高點(diǎn)；|a|越大，拋物線的開口越小.

作業(yè)布置

教材第32頁練習(xí).

22-1.3二次函數(shù)y=a(x-h)2+k的圖象和性質(zhì)

教與日標(biāo)

1?經(jīng)驗(yàn)二次函數(shù)圖象平移的過程；理解函數(shù)圖象平移的意義.

2?理解y=ax?，y=a(x—h)?，y=a(x—h>+k三類二次函數(shù)圖象之間的關(guān)系.

3?會從圖象的平移變換的角度相識y=a(x-h)2+k型二次函數(shù)的圖象特征.

重點(diǎn)i難Q

重點(diǎn)

從圖象的平移變換的角度相識y=a(x-h)2+k型二次函數(shù)的圖象特征.

難點(diǎn)

對于平移變換的理解和確定，學(xué)生較難理解.

教字設(shè)計(jì)

一、復(fù)習(xí)引入

二次函數(shù)y=ax2的圖象和特征：

1-名稱;