專題7.6分式十六大必考點

【浙教版】

【考點1分式有意義的條件】....................................................................1

【考點2分式的基本性質(zhì)的運住（擴大或縮小倍數(shù)）1.............................................2

【考點3分式的值為整數(shù)】......................................................................3

【考點4分式的值為正數(shù)或負(fù)數(shù)】..............................................................3

【考點5分式的化簡求值綜合運算（非負(fù)性與二元一次方程組）】.................................4

【考點6分式的化簡求值綜合運算（不等式組）】.................................................4

【考點7分式的混合運算（作差法比較大?。?.................................................5

【考點8分式的化簡求值（裂項相消）】.........................................................6

【考點9分式的化簡求值綜合運算（通分代入）】.................................................7

【考點10分式的化簡求值（倒數(shù)法）】............................................................7

【考點11解分式方程的運用（增根問題）】......................................................10

【考點12解分式方程的運用（無解問題）】......................................................10

【考點13分式的混合運算（規(guī)律問題）】........................................................11

【考點|4解分式方程與不等式組】..............................................................12

【考點15解分式方程的運用（新定義問題）】....................................................13

【考點16分式方程的應(yīng)用】.....................................................................14

2”洋一式三

【考點1分式有意義的條件】

【例1】（2022?湖南邵陽?八年級期末）下列各式中，無論x為何實數(shù)，分式都有意義的是：（）

x+lIt

【變式1-1】（2022?山東臨沂?八年級期末）已知對任怠實數(shù)二式子尸-4"”都有怠義，則實數(shù)171的取值范圍

是（）

m>4m<4m>4m<4

A.B.C.D.

I

【變式1-2］（2022?浙江溫州?七年級期末）當(dāng)*=3時，分式?jīng)]有意義，則的值為（）

3

2

B.C.D.3

【變式1-3］（2022?安徽合肥?七年級期末）已知分燈一嚴(yán),“為常數(shù)）滿足表格中的信息，則下列結(jié)

論中錯誤的是（）

，取值-22Pq

分式的值無意義012

m=-2P=6

Lr?D.q的值不存在

【考點2分式的基本性質(zhì)的運用（擴大或縮小倍數(shù)）】

【例2】（2022?浙江寧波七年級期末）將分式叫

中x與），的值同時擴大為原來的3倍，分式的值（)

A.擴大3倍B.縮小3倍C.不變D.無法確定

3ab1

【變式2-1］（2022?四川涼山?八年級期末）若把分式17中的4、垢都縮小為原來的③，則分式的值（）

A.縮小為原來的③B.擴大為原來的6倍

1

C.縮小為原來的0D.不變

101

【變式2-2］（2022?貴州畢節(jié)?八年級期末）若把分式+中的x和），同時擴大為原來的10倍，則分式的值（）

A.擴大到原來的10倍B.擴大到原來的100倍

C.縮小為原來的"D.不變

【變式2-3】（2022?山東濱州?八年級期末）關(guān)于分式"I"，下列說法正確的是（）

A.分子、分母中的"八〃均擴大2倍，分式的值也擴大2倍

B.分子、分母的中加擴大2倍，〃不變，分式的值擴大2倍

C.分子、分母的中〃擴大2倍，，〃不變，分式的值不變

D.分子、分母中的小、〃均擴大2倍，分式的值不變

【考點3分式的值為整數(shù)】

“7

【例3】（2022?山東省日照第二中學(xué)八年級期末）使分式"T的值為整數(shù)的所有整數(shù)x的和是（）

A.3B.2C.0D.-2

【變式3-1］（2022?上海市民辦新北郊初級中學(xué)七年級階段練習(xí)）若ml的值為0,則“的值一定不是

（）

—1-2

A.B.C.0D.1

（2022?江蘇無錫?七年級期末）若二1表示一個整數(shù)，則整數(shù)a可取的值共有（）

【變式3-2］

A.2個B.3個C.4個D.5個

小1

（2022?河南漂河?八年級期末）對于非負(fù)整數(shù)-使得=是一個正整數(shù)，則符合條件文的個數(shù)

【變式3-3】

有（）

A.3個B.4個C.5個D.6個

【考點4分式的值為正數(shù)或負(fù)數(shù)】

【例4】（2022?遼寧?丹東市第五中學(xué)八年級期末）若分式的值為正數(shù)，則x的取值范圍是（）

A.x>-2B.x<lC.x>-2且D.x>l

2

【變式4-1］（2022?新疆?克拉瑪依市白堿灘區(qū)教育局八年級期末）分式37」的值為負(fù)數(shù)，則實數(shù)由勺取值范

圍是______

.

【變式4-2］（2022?上海?七年級期末）若分式的值總是正數(shù)，則”的取值范圍是（）

a>00<a<；a<o°

A.B.c..D.或，

一?1

【變式4-3］（2022?廣東?金道中學(xué)八年級期末）如果百的值為負(fù)數(shù)，則x的取值范圍是.

【考點7分式的混合運算（作差法比較大小）】

【例7】（2022?江蘇?南京師范大學(xué)附屬中學(xué)樹人學(xué)校二模）根據(jù)不等式的性質(zhì)：若"一則、>>'；若

口-1>看—2

X-KC,則內(nèi)工利用上述方法證明：若^。，則”i.

【變式7-1]（2022?浙江杭州?模擬預(yù)測）已知n=3a2-2ab（a*0,awb）.

（1）當(dāng)。=3,b=-2時，分別求〃?，〃的值.

（2）比較〃+了與2/的大小.

1三

（3）當(dāng)〃?=12,〃=18時，求的值.

1<2.1<2_1<1-

【變式7-2】（2022?安徽合肥?二模）觀察下列不等式：①厘叱②*R；③*；

根據(jù)上述規(guī)律，解決下列問題：

（1）完成第5個不等式：:

（2）寫出你猜想的第71個不等式：（用含力的不等式表示）；

H21

（3）利用上面的猜想，比較和”的大小.

【變式7-3】（2022?江西景德鎮(zhèn)?八年級期末）閱讀理解：已知"*""必一好"=20一2二試比較〃

與9的大小.

想法：求p-q.當(dāng)p-q>°,則p>q；當(dāng)p—q<°,則p<%當(dāng)p-q=°,則

..p-q=（二一y2）-（2xy-2r）=r-2x>*+/=（x-y）2>0,p>q

用華：?,???

用你學(xué)到的方法解決下列問題：

⑴已知且—試比較小與〃的大小.

（2）甲、乙兩地相距加），小明和小宇同路往返于甲乙兩地.小明去時和返回時的速度分別是03介）、

av4QUD/11）

（,叫，小宇去時和返回時的速度都是2.請問二者一個來回中，誰用時更短？

【考點8分式的化簡求值（裂項相消）】

【例8】（2022?安徽宣城?七年級期末）我們把分子是1的分?jǐn)?shù)叫做分?jǐn)?shù)單位，有些單位分?jǐn)?shù)可以拆成兩個

不同的分?jǐn)?shù)的差，如$：312545623…請用觀察到的規(guī)律解方程

—。）…，該方程的解是

11111■I1

【變式8-1］（2022?廣西南寧?八年級期末）觀察下面的變形規(guī)律:1x222x3233x4

1_1_1I

*一’一'...回答問題：若即而旬+…+（eaa+幽―rHOC則X的值為（）

A.100B.98C.1D.

【變式8-2］（2022?安徽合肥?七年級期末）觀察下列各式：

1.1

③和一1

（1）請用以上規(guī)律計算:

?------------=——

E20G）（E+皿1）?*X21求巾的值.

（2）宥

【變式8-3］（2022?江蘇常州?八色級期末）（1）讀讀做做：教材中有這樣的問題，觀察卜.面的式子，探索

它們的規(guī)律,用正整數(shù)n表示這個規(guī)律是

（2）問題解決：一容器裝有1L水，按照如下要求把水倒出：第一次倒出二L水，第二次倒出的水量是二L水

的2,第三次倒出的水量是\水的，第四次倒出的水量是“L水的“，......，第n次倒出的水量是“L水的

按照這種倒水方式，這1L水能否倒完？

11111

（3）拓展探究：①解方程：也

②化簡:1?2?32-3-43?4??

【考點9分式的化簡求值綜合運算（通分代入）】

2葉對F

【例9】（2022?山東濱州八年級期末）已知“’一3,求分式l21T的值.

±.I_24a-SaH21

【變式9-1】（2022?湖南邵陽?八年級期末）已知“°一，那么分式"A"-的值是.

x+-=3j

【變式9-2］（2022?河北?北師大石家莊長安實驗學(xué)校八年級階段練習(xí)）已知”，那么分式”一工2的值

為_?

【變式9-3］（2022?湖南?武岡市第二中學(xué)八年級階段練習(xí)）若RA*的值為果則”+卬■'的值為（）

【考點10分式的化簡求值（倒數(shù)法）】

【例10】（2022?山東?濟(jì)寧市第十五中學(xué)八年級階段練習(xí)）閱讀下面的解題過程：已知：了“―*求E的

—=3理=3

,所以.

-^=(x+-)-2=3:-2=7

所以X''X)

.1

故不的值為2

該題的解法叫做"倒數(shù)法"，請你利用“倒數(shù)法”解決下面的題目:

已知：\求俯值.

【變式10-1]（2022?江蘇徐州?八年級階段練習(xí)）在解決數(shù)學(xué)問題時，我們常常借助“轉(zhuǎn)化”的思想化繁為簡,

化難為易.如在某些分式問題中，根據(jù)分式的結(jié)構(gòu)特征，通過取倒數(shù)的方法可將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題,

使問題迎刃而解.

例：己知3,求+03’的值.

解：???西——=3—+-=3。+-=3

⑴請繼續(xù)完成上面的問題;

1-4￡

⑵請仿照上述思想方法解決問題：已知「一b1,求正*；的值.

【變式10-2】（2022?湖北鄂州?八年級期末）在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)階段，我們常常會利用一些變形技巧來簡化式

子，解答問題.

材料一：在解決某些分式問題時，倒數(shù)法是常用的變形技巧之一，所謂倒數(shù)法，即把式子變成其倒數(shù)形式,

從而運用約分化簡，以達(dá)到計算目的.

例：若E-1求代數(shù)式f+丁的值.

*_1/+1

解：?.丁=4

三十zLA-

即*J=4,X+A=4,/.x2+jr=(x+x)2-2=16-2=14

材料二：在解決某些連等式問題時，通?？梢砸?yún)?shù)將連等式變成幾個值為女的等式，這樣就可以

通過適當(dāng)變形解決問題.

例：若2x=3y=4z,且工打工0,求'”的值.

解：令2x=3y=4z=A(kwO)

i

kk

則x=[y=3

根據(jù)材料回答問題:

(1)已知1-"］一",求x+”的值.

⑵已知,4\(abcwO),求2a的值.

⑶己知小八z為實數(shù)言=-2,左：3=7求分式缶喘值.

【變式10-3】(2022?四川?隆昌市知行中學(xué)八年級階段練習(xí))閱讀下列解題過程:

*_1X2

已知?“一*求耳的值.

*_1-_&

由內(nèi)一；，知所以丁一艮產(chǎn)”

解:XKQ

?1

??可的值為7的倒數(shù)，即乙

以上解法中先將已知等式的兩邊“取倒數(shù)〃，然后求出待求式子倒數(shù)的值，我們把此題的這種解法叫做“倒

數(shù)法"，請你利｝IJ"倒數(shù)法”解決下面問題:

(1)已知？*-三,求K的值.

>*_1X2

(2)已知?萬一1求箝H的值.

*y=22L=彳三彳

(3)已知所-,而=',示求石后的值.

【考點11解分式方程的運用（增根問題）】

【例11】（2022?浙江寧波?七年級期末）若關(guān)于"的分式方程K三.而有增根，則”的值為

■“12

【變式11-1】（2022?河北承德?八年級期末）關(guān)于x的方程：

（1）當(dāng)a=3時，求這個方程的解；

⑵若這個方程有增根，求a的值.

m1]

【變式11-2】（2022?上海?七年級期末）若產(chǎn)1是方程的增根，貝h〃=—.

上+絲=3

【變式11-3】（2022?重慶巫溪?八年級期末）已知，關(guān)于x的分式方程有增根，且

mor+d-+2ma-6d+11=0a+t,,_?/、

,則niI的值是（）

A.1B.2C.3D.4

【考點12解分式方程的運用（無解問題）】

kx2fc-l_2

【例12]（2022?江蘇泰州?八年級期末）若分式方程11卜""無解，則上

【變式12-1】（2022?山東濰坊?八年級期末）已知關(guān)于*的分式方程-無解，則利的值為（）

0Oo.-8-80T—8T—4

A.B.或C.D.或或

【變式12-2】（2022?廣東?綠翠現(xiàn)代實驗學(xué)校八年級期末）在現(xiàn)今"互聯(lián)網(wǎng)+”的時代，密碼與我們的生活已

經(jīng)緊密相連，但諸如"123456〃.牛.日等簡單密碼又容易被破解，因此利用簡單方法產(chǎn)生一組容易記憶的密碼

就很有必要了.有一種用“因式分解”法產(chǎn)生的密碼，其原理是：將一個多項式分解因式，例如多項式：X3

+2x2-x-2因式分解的結(jié)果為（x-l）（x+1）（x+2）,當(dāng)X=18H'J,x-1=17,x+l=19,x+2=20,

此時可以得到數(shù)字密碼:171920,191720,201719等.

（1）根據(jù)上述方法，當(dāng)x=21,y=7時，對于多項式x3-xy2分解因式后可以形成哪些數(shù)字密碼？（只需寫

出其中2個）

（2）若多項式x3+（m+n）x2?nx?21因式分解后，利用本題的方法，當(dāng)x=27時可以得到其中一個密碼

為242834,求m、n的值；

（3）若關(guān)于x的方程EQ-質(zhì)而百=箝^三而^無解，求k的值.

°+2=工

【變式12-3】（2022?四川內(nèi)江?八年級期末）已知關(guān)于x的分式方程‘1比1'a?L?無解，則所有符合

條件的機值的和為（）

A.1B.2C.6D.7

【考點13分式的混合運算（規(guī)律問題）】

【例131（2022?陜西?九年級期末）解方程：

工=工一1

①"I"1的解x=.

②不1"我7.1的解、=

—--1

③"1"I的解x=.

—T

④f*?'的解x=.

（1）根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律直接寫出⑤，⑥個方程及它們的解.

（2）請你用一個含正整數(shù)n的式子表示上述規(guī)律，并求出它的解.

x+三=3x+-=5xf-=7

【變式13-1】（2022?廣西百色?七年級期末）下列一組方程：①“，②*，③*，…,

小品通過觀察，發(fā)現(xiàn)了其中蘊含的規(guī)律，并順利的求出了前三個方程的解，她的解題過程如下：

x+—=1+2

由①得：1,解是片1或x=2;

x+2=2+3

由②得:“，解是.『2或x=3;

x+—=3+4

由③得：X,解是廣3或x=4.

請根據(jù)以上小晶發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，回答下列問題:

（1）第④個方程是,解是：;

（2）若〃為正整數(shù)，則第〃個方程是,解是：:

x+^^=2n+4

（3）若〃為正整數(shù)，求關(guān)于x的方程LS的解.

【變式13-2】（2022?河北?南皮縣桂和中學(xué)八年級階段練習(xí)）已知他="+1（"可且X*T）,f

%=±...%=土

，，?

（1）根據(jù)上述規(guī)律，可得S=（用含字母"的代數(shù)式表示）；

（2）當(dāng)*的值為時，的值為S

【變式13-3】（2022?山東棗莊?八年級期末）先閱讀下面的材料，然后回答問題：

x+-=2+；Y,-2x2=；

方程x?的解為刈0-；

*+2=3+!M

方程x1勺解為1-,

.1..11

（+-=4+:_Ax=：

方程X"的解為I-',2\...

X+—=5?T

⑴觀察上述方程的解，猜想關(guān)于了的方程X'的解是

t+巳_o+W

⑵根據(jù)上面的規(guī)律，猜想關(guān)于大的方程、一°的解是.

⑶根據(jù)上述規(guī)律，解關(guān)于），的方程",.

【考點14解分式方程與不等式蛆】

［苧-I-

【例14】（2022?重慶實驗外國語學(xué)校一模）若整數(shù)。使關(guān)于X的不等式組（a-2xW-2有解且至多有四個

整數(shù)解，且使關(guān)于y的分式方程"的解為非負(fù)數(shù)，則滿足條件的所有a的值之和為（）

【變式14-1]（2022?重慶南開中學(xué)九年級開學(xué)考試）若關(guān)于"的一元一次不等式組I3x-a^2的解集為

”＜一2,且關(guān)于'的分式方程y+l廠i的解為負(fù)整數(shù)，則所有滿足條件的整數(shù)0的值之和是（）

O___LI__|

【變式14-2]（2022?重慶八中九年級期末）若。使關(guān)于飛勺分式方程二1二一的解為整數(shù)，且使關(guān)于的

+l）-2yN6

ry＜華有且僅有2個整數(shù)解，則所有符合條件的整數(shù)。的值之和是（）

【變式4-3]（2022?重慶?西南大學(xué)附中八年級期末）若關(guān)于x的不等式組Ix-a＞0至少有2個整數(shù)解,

且關(guān)于y的分式方程尸1的解為非負(fù)數(shù)，則符合條件的所有整數(shù)〃的和為（）

【考點15解分式方程的運用（新定義問題）】

【例15】（2022?江蘇?興化市樂吾實驗學(xué)校八年級階段練習(xí)）定義：若兩個分式的差為2,則稱這兩個分式

屬于“友好分式組”.

⑴下列3組分式：

3a■+；

①“7與”:；②與③與‘其中屬于“友好分式繃，的有（只填序號）；

3a2

（2）若正實數(shù)小〃互為倒數(shù)，求證皿與內(nèi)屬于“友好分式組〃;

⑶若。，。均為非零實數(shù)，且分式與"或?qū)儆凇坝押梅质浇M，一求分式F-的值.

CLa??！?r-1x（

【變式15-1】（2022?河南南陽,八年級期末）定義運算〃※〃：X'r若3派，則的值為,

）

A.1B.5C.1或5D.5或7

a^b-3出=，:=；

【變式15-2】（2022?湖南永州?八年級期末）現(xiàn)定義一種新的運算：例如：31T\

若美于x的方程胴施"=-2的解為非負(fù)數(shù)，則中的取值范圍為.

a?b=廛

【變式15-3】（2022?山東荷澤?八年級期末）定義?種新運算“*J如：