小結(jié)與復(fù)習(xí)

第四章三角形考點(diǎn)精講當(dāng)堂練習(xí)課堂小結(jié)要點(diǎn)梳理目錄要點(diǎn)梳理教學(xué)目標(biāo)教學(xué)重點(diǎn)一.三角形的有關(guān)性質(zhì)1.由不在同一直線上的三條線段首尾_________所組成的圖形叫作三角形.以點(diǎn)A，B，C為頂點(diǎn)的三角形記為_(kāi)_____，讀作“三角形ABC”.順次相接△ABC2.三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于______.180°要點(diǎn)梳理銳角三角形直角三角形鈍角三角形按角分按邊分不等邊三角形等腰三角形5.三角形的三邊關(guān)系三角形的任意兩邊之和大于第三邊.三角形的任意兩邊之差小于第三邊.3.

三角形的分類(lèi)4.直角三角形的兩個(gè)銳角互余.6.三角形的三條中線交于一點(diǎn).這點(diǎn)稱(chēng)為三角

形的重心.

三角形的三條角平分線交于一點(diǎn).三角形的三條高所在的直線交于一點(diǎn).二.全等三角形1.全等三角形的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等3.三角形的穩(wěn)定性的依據(jù)：SSS2.全等三角形的判定AASSSSSASASA考點(diǎn)精講典例精講歸納總結(jié)考點(diǎn)一三角形的三邊關(guān)系

例1

已知兩條線段的長(zhǎng)分別是3cm、8cm

，要想拼成一個(gè)三角形，且第三條線段a的長(zhǎng)為奇數(shù)，問(wèn)第三條線段應(yīng)取多長(zhǎng)？解：

由三角形兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊，得8－3<a<8+3,所以5<a<11.又因?yàn)榈谌呴L(zhǎng)為奇數(shù),所以第三條邊長(zhǎng)為7cm或9cm.【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系滿(mǎn)足8－3<a<8+3

解答即可.考點(diǎn)精講考點(diǎn)二三角形的內(nèi)角和例2

如圖，在△ABC中，CD是∠ACB的平分線，DE∥BC，∠A＝50°，∠B＝70°，求∠EDC，∠BDC的度數(shù)．解：因?yàn)椤螦＝50°，∠B＝70°，所以∠ACB＝180°－∠A－∠B＝180°－50°－70°＝60°.因?yàn)镃D是∠ACB的平分線，所以∠BCD＝∠ACB＝×60°＝30°.因?yàn)镈E∥BC，所以∠EDC＝∠BCD＝30°，

∠BDC＝180°－∠B－∠BCD＝80°.考點(diǎn)三三角形的角平分線、中線、高例3

如圖，在△ABC中，E是BC上的一點(diǎn)，EC＝2BE，D是AC的中點(diǎn)，設(shè)△ABC，△ADF和△BEF的面積分別為S△ABC，S△ADF和S△BEF，且S△ABC＝12，則S△ADF－S△BEF＝________．解析：因?yàn)镈是AC的中點(diǎn)，所以AD＝AC，因?yàn)镾△ABC＝12，所以S△ABD＝S△ABC＝×12＝6.

因?yàn)镋C＝2BE，S△ABC＝12，

所以S△ABE＝

S△ABC＝×12＝4.

因?yàn)镾△ABD－S△ABE＝(S△ADF＋S△ABF)－(S△ABF＋S△BEF)

＝S△ADF－S△BEF，所以S△ADF－S△BEF＝S△ABD－S△ABE＝6－4＝2.2

三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分；高相等時(shí)，面積的比等于底邊的比；底相等時(shí)，面積的比等于高的比．方法歸納考點(diǎn)四全等三角形的判定與性質(zhì)例4

如圖，AD是△ABC的中線，過(guò)點(diǎn)C，B分別作AD的垂線CF，BE.試說(shuō)明：BE＝CF.要說(shuō)明BE＝CF，可根據(jù)中線及垂線的定義和對(duì)頂角的性質(zhì)來(lái)說(shuō)明△BDE和△CDF全等．導(dǎo)引：因?yàn)锳D是△ABC的中線，所以BD＝CD.因?yàn)镃F⊥AD，BE⊥AE，所以∠CFD＝∠BED＝90°.在△BDE和△CDF中，因?yàn)樗浴鰾DE≌△CDF(AAS)．所以BE＝CF.解：例5

如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC,CE⊥AD于點(diǎn)G,交AB于點(diǎn)E,EF∥BC交AC于點(diǎn)F,試說(shuō)明：∠DEC=∠FEC.ABCDFEG【分析】欲證∠DEC=∠FEC由平行線的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為證明∠DEC=∠DCE只需要證明△DEG

≌△DCG.ABCDFEG解：∵CE⊥AD,∴∠AGE=∠AGC=90°.在△AGE和△AGC中，∠AGE=∠AGC，AG=AG，∠EAG=∠CAG，∴△AGE

≌

△AGC(ASA)，

∴GE=GC.在△DGE和△DGC中，EG=CG，∠EGD=∠CGD=90°，DG=DG.∴△DGE≌△DGC(SAS).∴∠DEG=∠DCG.∵EF//BC,∴∠FEC=∠ECD，∴∠DEG=∠FEC.利用全等三角形證明角相等，首先要找到兩個(gè)角所在的兩個(gè)三角形，看它們?nèi)鹊臈l件夠不夠；有時(shí)會(huì)用到等角轉(zhuǎn)換，等角轉(zhuǎn)換的途徑很多，如：余角，補(bǔ)角的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等，必要時(shí)要想到添加輔助線.方法總結(jié)已知：線段a，c，∠α

，求作：△ABC，使BC＝a，AB＝

c，∠ABC＝∠α.acαBMDED′E′N(xiāo)(1)作∠MBN＝∠α；作法與示范考點(diǎn)五利用尺規(guī)作三角形例6BMD′E′N(xiāo)CA(2)在射線BM上截取BC＝a,在射線BN上截取BA＝c；作法與示范acBMD′E′N(xiāo)CA(3)連接AC，則△ABC為所求作的三角形.作法與示范ab考點(diǎn)六本章中的思想方法方程思想例7

如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC,∠1=∠2,∠3=∠C,求∠1的度數(shù).ABCD))))2413解：設(shè)∠1=x°，根據(jù)題意，得∠2=x°.

因?yàn)椤?=∠1+∠2，∠4=∠2，所以∠3=2x°,∠4=x°.又因?yàn)椤?=∠C，所以∠C=2x°.在△ABC中，x+2x+2x=180,解得x=36.所以∠1=36°.

在角的求值問(wèn)題中，常常利用內(nèi)角之間的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后通過(guò)三角形內(nèi)角和定理列方程求解.方法總結(jié)分類(lèi)討論思想例8

已知等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為10和6，則三角形的周長(zhǎng)是

．解析：由于沒(méi)有指明等腰三角形的腰和底，所以要分兩種情況討論：第一種10為腰，則6為底，此時(shí)周長(zhǎng)為26；第二種10為底，則6為腰，此時(shí)周長(zhǎng)為22.26或22化歸思想ABCDO如圖，△AOC與△BOD是有一組對(duì)頂角的三角形，其形狀像數(shù)字“8”，我們不難發(fā)現(xiàn)有一重要結(jié)論：∠A+∠C=∠B+∠D.這一圖形也是常見(jiàn)的基本圖形模型，我們稱(chēng)它為“8字型”圖.當(dāng)堂練習(xí)當(dāng)堂反饋即學(xué)即用當(dāng)堂練習(xí)1.已知等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為10和4，則三角形的周長(zhǎng)是

．24【方法歸納】等腰三角形沒(méi)有指明腰和底時(shí)要分類(lèi)討論，但也別忘了用三邊關(guān)系檢驗(yàn)?zāi)芊窠M成三角形這一重要解題環(huán)節(jié).2.在△ABC中,三個(gè)內(nèi)角∠A,∠B,∠C滿(mǎn)足∠B－∠A=∠C-∠B，則∠B=

.

90°3.如圖，在△ABC中，CE，BF是兩條高，若∠A=70°，∠BCE=30°，則∠EBF的度數(shù)是

，∠FBC的度數(shù)是

.4.如圖，在△ABC中，兩條角平分線BD和CE相交于點(diǎn)O，若∠BOC=132°，那么∠A的度數(shù)是

.ABCEFABCDEO20°40°84°5.已知△ABC和△DEF,下列條件中,不能保證△ABC和△DEF全等的是()A.AB=DE,AC=DF,BC=EF

B.∠A=∠D,∠B=∠E,AC=DFC.AB=DE,AC=DF,∠A=∠D

D.AB=DE,BC=EF,∠C=∠FD6.

我們把兩組鄰邊相等的四邊形叫做“箏形”．如圖，四邊形ABCD是一個(gè)箏形，其中AB＝CB，AD＝CD.對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，OE⊥AB，OF⊥CB，垂足分別是E，F(xiàn).試說(shuō)明：OE＝OF.因?yàn)樵凇鰽BD和△CBD中，所以△ABD≌△CBD(SSS)．所以∠ABD