2024-2025學(xué)年安徽省懷寧縣高二下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)階段檢測試卷試題范圍：導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用、計數(shù)原理一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.1.1080不同的正因數(shù)個數(shù)為（）A.32 B.36 C.48 D.50【正確答案】A【分析】根據(jù)質(zhì)因數(shù)分解，結(jié)合分步計數(shù)原理即可求解.【詳解】由題意可知，則1080的正因數(shù)，因為可取，可取，可取，所以1080不同的正因數(shù)個數(shù)為.故選：A.2.五個人站隊排成一行，若甲不站排頭，乙不站排尾，則不同排法的種數(shù)為（）A.36 B.72 C.78 D.120【正確答案】C【分析】首先對甲的站位進(jìn)行分類，再按照分步原理進(jìn)行計算.【詳解】由題意，分成2種情況，一種情況是甲站排尾，則其余4人全排列，有種方法，另一種情況是甲不占排尾，則甲有3種方法，乙有3種方法，其余3人全排列，有種方法，綜上可知，共有種方法.故選：C3.數(shù)學(xué)中“凸數(shù)”是一個位數(shù)不低于3的奇位數(shù)，是最中間的數(shù)位上的數(shù)字比兩邊的數(shù)字都大的數(shù)，則沒有重復(fù)數(shù)字且大于564的三位數(shù)中“凸數(shù)”的個數(shù)為（）A.147 B.112 C.65 D.50【正確答案】C【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合“凸數(shù)”的意義，利用分類加法計數(shù)原理求解即得.【詳解】最高位是5的“凸數(shù)”，中間數(shù)分別為7，8，9，分別有6，7，8個，共有21個；最高位是6的“凸數(shù)”，中間數(shù)分別為7，8，9，分別有6，7，8個，共有21個；最高位是7的“凸數(shù)”，中間數(shù)分別為8，9，分別有7，8個，共有15個；最高位是8的“凸數(shù)”，中間數(shù)為9，有8個，所以沒有重復(fù)數(shù)字且大于564的三位數(shù)中“凸數(shù)”的個數(shù)為.故選：C4.如圖，用6種不同的顏色把圖中A，B，C，D四塊區(qū)域分開，若相鄰區(qū)域不能涂同一種顏色，則不同的涂法共有（）A.400種 B.460種 C.480種 D.496種【正確答案】C【分析】完成此事可能使用4種顏色，也可能使用3種顏色，當(dāng)使用3種顏色時，和涂一種顏色，利用分類加法、分步乘法計數(shù)原理即可求解.【詳解】完成此事可能使用4種顏色，也可能使用3種顏色，當(dāng)使用4種顏色時，有6種涂法，有5種涂法，有4種涂法，有3種涂法，所以共有種方法；當(dāng)使用3種顏色時，和涂一種顏色，共有6種涂法，有5種涂法，有4種涂法，所以共有種方法；所以不同的涂法共有種.故選.5.圖中的矩形的個數(shù)為（）A.12 B.30 C.60 D.120【正確答案】C【分析】根據(jù)題意先確定“橫邊”，再確定“豎邊”，結(jié)合分步計數(shù)原理，即可求解.【詳解】由題意，矩形的兩條鄰邊確定，矩形就確定，第一步先確定“橫邊”，從5個點任選2個點可以組成一條“橫邊”，共有種情況；第二步再確定“豎邊”，共有種情況，所以圖中矩形共有.故選：C.6.已知函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，，當(dāng)時，，則不等式的解集為（）A. B.C. D.【正確答案】D【分析】當(dāng)時，，可得在上單調(diào)遞增，結(jié)合函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，，從而得到不等式，求出答案.【詳解】令，則，由題意知當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞增，因為函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，所以，所以，所以是定義域為的偶函數(shù)，所以在上單調(diào)遞減，又因為，所以，所以，所以當(dāng)時，，則；當(dāng)時，，則；當(dāng)時，，則；當(dāng)時，，則.則不等式的解集為.故選：D.7.設(shè)實數(shù)，若對任意的，不等式恒成立，則實數(shù)m的最小值為（

）A. B.1 C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)將不等式等價為恒成立，構(gòu)造函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)單調(diào)性進(jìn)而得最值即可求解.【詳解】因為，不等式成立，即，又，則恒成立，令，可得，當(dāng)，，單調(diào)遞增，則不等式恒成立等價于恒成立，即恒成立，即恒成立，設(shè)，可得，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)，函數(shù)取得最大值，最大值為，所以，即，則實數(shù)m的最小值為．故選：C．8.已知函數(shù)，若在有實數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】首先分析題意，由于，設(shè)出進(jìn)一步分析，則，分析單調(diào)性解出實數(shù)的取值范圍.【詳解】根據(jù)題意，，所以，令，則函數(shù)在上存在零點等價于與的圖象有交點.，令，則，故在上單調(diào)遞增，因為，，所以存在唯一的，使得，即，即，，所以當(dāng)時單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，所以，又時，，故，所以，故選：C.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.9.（多選題）有4位同學(xué)報名參加三個不同的社團(tuán)，則下列說法正確的是（）A.每位同學(xué)限報其中一個社團(tuán)，則不同的報名方法共有種B.每位同學(xué)限報其中一個社團(tuán)，則不同的報名方法共有種C.每位同學(xué)限報其中一個社團(tuán)，每個社團(tuán)限報一個人，則不同的報名方法共有24種D.每位同學(xué)限報其中一個社團(tuán)，每個社團(tuán)限報一個人，則不同的報名方法共有種【正確答案】AC【分析】根據(jù)題意，利用分步計數(shù)原理分析選項即可.【詳解】對于A選項，第1個同學(xué)有3種報法，第2個同學(xué)有3種報法，后面的2個同學(xué)也有3種報法，根據(jù)分步計數(shù)原理共有種結(jié)果，A正確，B錯誤；對于C選項，每個社團(tuán)限報一個人，則第1個社團(tuán)有4種選擇，第2個社團(tuán)有3種選擇，第3個社團(tuán)有2種選擇，根據(jù)分步計數(shù)原理共有種結(jié)果，C正確，D錯誤.故選：AC.10.若對一切恒成立，則的值可能為（）A. B. C. D.【正確答案】AB【分析】構(gòu)造函數(shù)，借助導(dǎo)數(shù)可研究其單調(diào)性即可得，再構(gòu)造函數(shù)，借助導(dǎo)數(shù)可研究其單調(diào)性即可得，即可得解.【詳解】由題意可得對一切恒成立，令，則，當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞減，此時在上無最小值，不符合題意，當(dāng)時，令，有，令，有，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，即，則，令，則，故當(dāng)時，，當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，即，當(dāng)，滿足題意.故選：AB.11.靈活生動的曲線和簡潔干練的直線，在生活中處處體現(xiàn)了幾何藝術(shù)美感，我們可以利用曲線和直線寫出很多不等關(guān)系，如由在點處的切線寫出不等式，進(jìn)而用替換得到一系列不等式，疊加后有這些不等式同樣體現(xiàn)數(shù)學(xué)之美．運(yùn)用類似方法推導(dǎo)，下面的不等式正確的有（）A.， B.C. D.【正確答案】ABC【分析】選項A，將中的替換為，用賦值法可得，選項B，然后根據(jù)同向不等式相加可判斷B選項的正誤；選項C，將中的替換為，可得，同樣根據(jù)同向不等式相加與指對互化即可證明；選項D，將中的替換為，可得，然后再根據(jù)同向不等式相加可判斷D的正誤，另外，也可用特殊值法即由即可說明選項D的正誤．【詳解】令，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故在處取得極小值，也是最小值，，故，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，將中的替換為，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，令，可得，所以，故正確；所以，其中，所以，故B正確；C選項：將中的替換為，顯然，則，故，當(dāng)時，，故成立；當(dāng)時，顯然成立，故，故C正確；選項：將中的替換為，其中，且，則，則，故，則，又，故D錯誤.故選：ABC．三?填空題：（本大題共3小題，每小題5分，共15分.）12.已知函數(shù)，其中，若曲線和曲線的公切線有兩條，則的取值范圍為_______.【正確答案】【分析】設(shè)切點求出兩個函數(shù)的切線方程，根據(jù)這個兩個方程表示同一直線，可得方程組，化簡方程組，可以得到變量關(guān)于其中一個切點橫坐標(biāo)的函數(shù)形式，求導(dǎo)，求出函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合該函數(shù)的正負(fù)性，畫出圖象圖形，最后利用數(shù)形結(jié)合求出的取值范圍.【詳解】設(shè)曲線的切點為：，，所以過該切點的切線斜率為，因此過該切點的切線方程為：；設(shè)曲線的切點為：，，所以過該切點的切線斜率為，因此過該切點的切線方程為：，則兩曲線的公切線應(yīng)該滿足：，構(gòu)造函數(shù),當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，所以函數(shù)有最大值為：，當(dāng)時，，當(dāng)，，函數(shù)的圖象大致如下圖所示：要想有若曲線和曲線的公切線有兩條，則的取值范圍為.故答案為.13.已知恒成立，則正數(shù)的取值范圍為______．【正確答案】【分析】將原不等式同構(gòu)為，即，令，分析單調(diào)性可得，令利用導(dǎo)數(shù)求出最值得解.【詳解】由，可得．令，易知在上單調(diào)遞增，由，可得，故，即令，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，所以，即，故正數(shù)的取值范圍是.故答案為.14.將3個1，3個2，3個3共9個數(shù)分別填入如圖方格中，使得每行、每列的和都是3的倍數(shù)的不同填法種數(shù)為__________.【正確答案】24【分析】每行，每列的和為3的倍數(shù)有兩種可能，即每行每列數(shù)字相同或1，2，3各一個，利用排列組合知識求出種類數(shù)即可.【詳解】每行，每列的和為3的倍數(shù)有兩種可能：①每行或每列的數(shù)字相同，有種方法，②每行或每列的數(shù)字1，2，3各一個，有種方法.所以每行，每列和都是3的倍數(shù)的不同填法種數(shù)為故24.四?解答題：（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟）15.從包含甲、乙2人的7人中選4人參加4×100米接力賽，求在下列條件下，各有多少種不同的排法？（結(jié)果用數(shù)字作答，否則無分）（1）甲、乙2人都被選中且必須跑相鄰兩棒；（2）甲、乙2人都被選中且不能相鄰兩棒；（3）甲、乙2人都被選中且甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒．【正確答案】（1）120（2）120（3）140【分析】（1）元素相鄰用捆綁法；（2）元素不相鄰用插空法；（3）由間接法求解即可.【小問1詳解】第一步：甲乙捆綁看做一個整體，從3個位置安排一個位置有，第二步：從剩下5人中，需兩人排在兩個位置，有,所有共有：；【小問2詳解】第一步，先從剩下5人中選2人排序，有，第二步，甲乙兩人從3個空中選2個空排序，有，所以共有：；【小問3詳解】從5人中選2人加上甲乙4人的全排列有：，其中甲跑第一棒的有：，乙跑第四棒的有：，甲跑第一棒，乙跑第四棒有：，所以共有：16.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若對任意都有，求實數(shù)的取值范圍．【正確答案】（1）減區(qū)間為，增區(qū)間為（2）【分析】（1）先求出導(dǎo)函數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)正負(fù)得出函數(shù)單調(diào)性；（2）先求出導(dǎo)函數(shù)再構(gòu)造函數(shù)，再分和分別求出函數(shù)單調(diào)性即可求參.【小問1詳解】當(dāng)時，，的定義域為．因為，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增．所以的減區(qū)間為，增區(qū)間為．【小問2詳解】因，設(shè)，，則，所以在上單調(diào)遞增．當(dāng)時，，即，所以在上單調(diào)遞增．所以恒成立，故滿足題意．當(dāng)時，，又，因為在上單調(diào)遞增，所以，所以當(dāng)時，，即．所以在上單調(diào)遞減，此時，故不合題意．綜上所述，實數(shù)的取值范圍是．17.已知函數(shù)（1）當(dāng)時，討論的單調(diào)性；（2）若恒成立，求a的取值范圍．【正確答案】（1）答案見解析.（2）【分析】（1）求導(dǎo),然后令,討論導(dǎo)數(shù)的符號即可;（2）構(gòu)造,計算的最大值,然后與0比較大小,得出的分界點,再對討論即可.【小問1詳解】令,則則當(dāng)當(dāng),即.當(dāng),即.所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減【小問2詳解】設(shè)設(shè)所以.若,即在上單調(diào)遞減,所以.所以當(dāng),符合題意.若當(dāng),所以..所以,使得,即,使得.當(dāng),即當(dāng)單調(diào)遞增.所以當(dāng),不合題意.綜上,的取值范圍為.關(guān)鍵點點睛:本題采取了換元,注意復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性在定義域內(nèi)是減函數(shù),若,當(dāng),對應(yīng)當(dāng).18.已知函數(shù)，．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2），求的值；（3）對于任意的，求證：．【正確答案】（1）答案見解析；（2）；（3）證明見解析.【分析】（1）對函數(shù)求導(dǎo)，討論、研究導(dǎo)數(shù)的符號，即可確定單調(diào)性；（2）根據(jù)題設(shè)得且，利用導(dǎo)數(shù)研究左側(cè)的最值，即可得參數(shù)值；（3）根據(jù)（2）的結(jié)論有，則，應(yīng)用累加即可證結(jié)論.【小問1詳解】由題設(shè)且，當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，令，則，若，則，即在上單調(diào)遞減，若，則，即在上單調(diào)遞增；【小問2詳解】由且的定義域為，由（1）知，在上單調(diào)遞增，即上有，不符合；所以，結(jié)合此時的性質(zhì)，只需，令，故，當(dāng)時，即上單調(diào)遞增，當(dāng)時，即在上單調(diào)遞減，所以，即，所以，只需，滿足.【小問3詳解】由（2）知，在上，則，令，則，所以，得證.19.已知函數(shù)，，．（1）若的極值點為1，求實數(shù)的值；（2）在（1）的前提下，若對，總存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍；（3）證明不等式（其中是自然對數(shù)的底數(shù)）．【正確答案】（1）（2）（3）證明見解析【分析】（1）先求出導(dǎo)函數(shù)再應(yīng)用1是極值點代入求參即可；（2）把存在及恒成立轉(zhuǎn)化為最值問題，先求出，再分類討論求出計算求參即可；（3）應(yīng)用，再結(jié)合（2）得出，應(yīng)用不等式的性