2024-2025學(xué)年廣東省廣州市高二下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)學(xué)情檢測(cè)試題注意事項(xiàng)：1.答題前填寫(xiě)好自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等信息2.請(qǐng)將答案正確填寫(xiě)在答題卡上一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.某電動(dòng)自行車(chē)的耗電量與速度之間的關(guān)系式為，為使其耗電量最小，則其速度為（）A.20 B.30 C.40 D.50【正確答案】C【分析】利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)取最小值時(shí)對(duì)應(yīng)的的值即可得解.【詳解】由題意知，令，解得，令，解得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，取得最小值.因此為使耗電量最小，則其速度應(yīng)定為.故選：C.2.函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則即可得到答案.【詳解】．故選：C.3.曲線在點(diǎn)處切線的斜率為，則的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義計(jì)算即可得.【詳解】，令，則，故，當(dāng)時(shí)，，即的坐標(biāo)為.故選：B.4.設(shè)，若函數(shù)在內(nèi)存在極值點(diǎn)，則a的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)在內(nèi)存在零點(diǎn)，利用參變分離，轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域問(wèn)題，即可求解.【詳解】依題意，在內(nèi)存在變號(hào)零點(diǎn)，而不是的零點(diǎn)，從而得，又在上遞增，所以.故選：B5.在上的導(dǎo)函數(shù)為，則下列不等式成立的是（）A. B.C. D.【正確答案】A【分析】根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，從而得到不等關(guān)系，即可判斷.【詳解】令，則，，，在上單調(diào)遞增，，即，.故選：A.6.若函數(shù)在上單調(diào)，為實(shí)數(shù)，則（）A. B.C. D.【正確答案】D【分析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性質(zhì)得出的特點(diǎn)，進(jìn)而得到與的關(guān)系，再通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性來(lái)比較與、與的大小關(guān)系.【詳解】，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)，所以無(wú)變號(hào)零點(diǎn)，則是方程的解，故，即，，令，則，令，解得，時(shí)，，時(shí)，,所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，所以，即；，令，在上單調(diào)遞增，無(wú)最值，則大小不確定，故選：D.7.已知函數(shù)，若對(duì)于任意的使得不等式成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】將不等式變形為，構(gòu)造函數(shù)，分析可知該函數(shù)為增函數(shù)，可得出，求出函數(shù)的最小值，可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式，即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)?，由可得，即函?shù)的定義域?yàn)?，可得，即，?gòu)造函數(shù)，其中，則，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，可得，則，即，其中，令，其中，則，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，所以，，解得.綜上，故選：A.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解本題的關(guān)鍵在于將不等式變形為，結(jié)合不等式的結(jié)果構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性以及參變量分離法求解.8.已知函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，其中，則的最小值為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)且得到為的唯一零點(diǎn)，從而得到，再利用基本不等式求得的最小值.【詳解】因?yàn)橛星覂H有一個(gè)零點(diǎn)，又，所以為的唯一零點(diǎn)．因?yàn)?，因?yàn)椋?，令，解得，令，解得，若，因?yàn)?，所以，所以此時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以，又，所以在上存在唯一零點(diǎn)，此時(shí)有兩個(gè)零點(diǎn)，不合題意；同理若，即時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)，不合題意，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為．故選：B．思路點(diǎn)睛：證明，分和即和兩種情況討論，均有兩個(gè)零點(diǎn)，不符合題意，從而得到.二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，選對(duì)但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.）9.設(shè)函數(shù)，則（）A.有兩個(gè)極大值點(diǎn) B.有兩個(gè)極小值點(diǎn)C.是的極大值點(diǎn) D.是的極小值點(diǎn)【正確答案】BC【詳解】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，討論其符號(hào)后可得正確的選項(xiàng).【分析】根據(jù)題意，可得，于是x1000極小值極大值極小值因此函數(shù)有2個(gè)極小值點(diǎn)，以及1個(gè)極大值點(diǎn)．故選：BC10.已知正棱錐的體積為，則其側(cè)棱長(zhǎng)可能為（）A.5 B.6 C.7 D.8【正確答案】CD【分析】設(shè)正棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為，底面正多邊形的外接圓的半徑為，求得高，由底面多邊形的面積，得到，通過(guò)換元構(gòu)造函數(shù)求其最大值，和比較大小求解即可；【詳解】設(shè)正棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為，底面正多邊形的外接圓的半徑為，則，則正棱錐的高，正棱錐的底面多邊形的面積，所以正棱錐的體積，其中，令可得．設(shè)函數(shù)則當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減．所以則，解得．故選：CD11.已知函數(shù)，且存在唯一的整數(shù)，使得，則實(shí)數(shù)a的可能取值為（）A. B. C. D.【正確答案】AC【分析】將不等式轉(zhuǎn)化為，分別作出與的圖象，轉(zhuǎn)動(dòng)直線使得滿足的整數(shù)解是唯一的，觀察直線的斜率滿足的條件即可.【詳解】令，得.令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.如圖，分別作出函數(shù)與的圖象，其中直線恒過(guò)定點(diǎn).由圖可知，，，存在唯一的整數(shù)，使得，則需，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是，其中，，而，，故選：AC.參數(shù)分離法解不等式恒成立問(wèn)題:(1)參數(shù)完全分離法:將參數(shù)完全分離到不等式的一端，只需求另一端函數(shù)的最值即可，這種方法的好處是分離后函數(shù)不含參數(shù)，易求最值.(2)參數(shù)半分離法:將原不等式分成兩個(gè)函數(shù)，其中一個(gè)函數(shù)為含參的簡(jiǎn)單函數(shù)，如一次函數(shù)，可以通過(guò)圖象的變化尋求滿足的條件.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.）12.函數(shù)在上的最大值為_(kāi)_______.【正確答案】0【分析】求導(dǎo)，得到函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合，求出函數(shù)的最大值.【詳解】，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，其中，故在上的最大值為0.故013.已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_______.【正確答案】【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，要使函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，經(jīng)分析可知只需有兩個(gè)不同正根，并且在的兩側(cè)的單調(diào)性相反，在的兩側(cè)的單調(diào)性相反.令可得，作出和的圖像，分析即可得出的取值范圍【詳解】的定義域?yàn)椋?要使函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，只需有兩個(gè)不同正根，并且在的兩側(cè)的單調(diào)性相反，在的兩側(cè)的單調(diào)性相反.由得，.令，，要使函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，只需和有兩個(gè)交點(diǎn).，令得：x>1；令得：；所以在上單減，在上單增.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；作出和的圖像如圖，所以即實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為.14.設(shè)滿足方程的點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡分別為曲線，若曲線有兩個(gè)交點(diǎn)（其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_________.【正確答案】【分析】法一：將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)研究的性質(zhì)，結(jié)合圖形即可求解；法二：將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)研究的性質(zhì)，結(jié)合圖形即可求解.【詳解】法一：因?yàn)椋?，依題意，曲線，曲線，且曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，方程在上有兩解，即方程在上有兩解，令，所以方程有兩解等價(jià)于函數(shù)的圖象與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).易知直線恒過(guò)定點(diǎn)，斜率為，又由得，令，則，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，作出的圖象如圖所示，設(shè)直線是的圖象的切線，設(shè)切點(diǎn)為，則切線斜率為，所以切線的方程為，又直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，即，解得或，所以或，由圖知，當(dāng)或即或時(shí)，函數(shù)的圖象與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，即曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.法二：因?yàn)?，依題意，曲線，曲線，且曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，方程在上有兩解，即方程在上有兩解，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，即方程上有兩解，令，則圖象與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).又，令，則或，當(dāng)或時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)或時(shí)，單調(diào)遞增，又，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以的大致圖象如圖所示，要使圖象與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，則或，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明形如的不等式恒成立的求解策略：1、構(gòu)造函數(shù)法：令，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最小值，只需恒成立即可；2、參數(shù)分離法：轉(zhuǎn)化為或恒成立，即或恒成立，只需利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值即可；3，數(shù)形結(jié)合法：結(jié)合函數(shù)的圖象在的圖象的上方（或下方），進(jìn)而得到不等式恒成立.四、解答題（本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.）15.已知函數(shù).（1）求的圖象在點(diǎn)處的切線方程；（2）求函數(shù)的極值；【正確答案】（1）（2）極小值為，無(wú)極大值【分析】（1）求出，求導(dǎo)，得到，由導(dǎo)數(shù)幾何意義得到切線方程；（2）求定義域，求導(dǎo)，得到函數(shù)單調(diào)性，從而求出極值.【小問(wèn)1詳解】，，故的圖象在點(diǎn)處的切線為，即；【小問(wèn)2詳解】的定義域?yàn)椋桑?）知，令得，令得，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故在上取得極小值，極小值為，無(wú)極大值；16.已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在的最小值.【正確答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）.【分析】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，討論、研究導(dǎo)數(shù)的區(qū)間符號(hào)，即可得對(duì)應(yīng)單調(diào)性；（2）應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，討論與區(qū)間的位置關(guān)系求函數(shù)最小值.【小問(wèn)1詳解】由題意知的定義域?yàn)椋?，①若，恒成立，所以在上單調(diào)遞減.②若，由，得，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.綜上：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.①當(dāng)，即時(shí)，在單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，有最小值；②當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，有最小值；③當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，有最小值；綜上.17.已知函數(shù).（1）若函數(shù)不單調(diào)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若曲線與直線有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）將函數(shù)不單調(diào)轉(zhuǎn)化為在上存在變號(hào)零點(diǎn)，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上存在變號(hào)零點(diǎn)，結(jié)合二次函數(shù)區(qū)間根問(wèn)題分析可得；（2）利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合可得.【小問(wèn)1詳解】由題意，.，設(shè)，，當(dāng)即時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)不單調(diào)，滿足題意；當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)開(kāi)口向下，因，故，使得當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)不單調(diào)，滿足題意；當(dāng)時(shí)，，無(wú)解，此時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，的開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為，Δ=故在上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，，此時(shí)當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)不單調(diào)，滿足題意；綜上可知函數(shù)不單調(diào)時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍為.【小問(wèn)2詳解】設(shè)，由題意可知由唯一零點(diǎn)，，，設(shè)，當(dāng)，即時(shí)，，單調(diào)遞增，結(jié)合可知滿足題意，當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞增，滿足題意；當(dāng)時(shí)，，Δ′=a+3設(shè)此時(shí)的兩個(gè)根分別為，則在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，故，又當(dāng)x>?1,x→?1時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故的零點(diǎn)不唯一，綜上可知實(shí)數(shù)的取值范圍.18.已知函數(shù)．（1）若函數(shù)在處有極值，且關(guān)于的方程有3個(gè)不同的實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）記.若對(duì)任意且時(shí)，均有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）首先根據(jù)極值點(diǎn)的定義求，并利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的極值，結(jié)合函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)求參數(shù)的取值范圍；（2）首先根據(jù)函數(shù)的的單調(diào)性去絕對(duì)值，再變形不等式，轉(zhuǎn)化為函數(shù)在遞減；在遞增，再利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和單調(diào)性的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為參變分離，求最值問(wèn)題，即可求解.【小問(wèn)1詳解】函數(shù)在處有極值，可得，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，滿足題意，所以當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減；當(dāng)或時(shí)，在上單調(diào)遞增，可得在處取得極小值，且為0，在處取得極大值，且為，方程有3個(gè)不同的實(shí)根，等價(jià)為，即有的取值范圍是.【小問(wèn)2詳解】在遞減，可得時(shí)，，，即為，即即為即對(duì)任意且時(shí)恒成立.所以在遞減；在遞增.當(dāng)恒成立時(shí)，可得，即在恒成立，在上單調(diào)遞增，即，則.當(dāng)在恒成立時(shí)，可得，即在恒成立，，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，則，則.綜上可得的取值范圍是.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是第2問(wèn)，變形不等式，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，結(jié)合導(dǎo)數(shù)，即可求解.19.已知函數(shù)，．（1）若函數(shù)在單調(diào)增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍：（2）當(dāng)時(shí)，，求實(shí)數(shù)a的值；（3）求證：．【正確答案】（1）（2）（3）證明見(jiàn)解析【分析】（1）函數(shù)在某區(qū)間單調(diào)遞增，可通過(guò)其導(dǎo)數(shù)在該區(qū)間大于等于0恒成立來(lái)求解參數(shù)范圍；（2）要根據(jù)函數(shù)在給定區(qū)間的取值情況確定參數(shù)值，需結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性等性質(zhì)進(jìn)行分析；（3）證明不等式需要利用前面得到的