2024-2025學(xué)年天津市高二下學(xué)期第一次（3月）月考數(shù)學(xué)檢測試題一、單選題(本大題共9小題，共36.0分)1.曲線在點(diǎn)處的切線方程是（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】求導(dǎo)，得到曲線在點(diǎn)處的斜率，寫出切線方程.【詳解】因?yàn)?，所以曲線在點(diǎn)處斜率為4，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程是，即，故選：B2.已知曲線在點(diǎn)處的切線方程為，則（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，進(jìn)行求解即可．【詳解】已知曲線在點(diǎn)處的切線方程為，∴，切線的斜率k＝-2，即，則.故選：A本題主要考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及切線與曲線之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．3.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的極小值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】結(jié)合導(dǎo)函數(shù)圖象確定正確選項(xiàng).【詳解】函數(shù)的極小值點(diǎn)需滿足左減右增，即且左側(cè)，右側(cè)，由圖可知，一共有個(gè)點(diǎn)符合.故選：A4.從1，2，3，4這四個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè)不同的數(shù)字，則可組成不同的兩位數(shù)有（）A.9個(gè) B.12個(gè) C.15個(gè) D.18個(gè)【正確答案】B【分析】由排列數(shù)即可求解；【詳解】由題意可知：從1，2，3，4這四個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè)不同的數(shù)字，則可組成不同的兩位數(shù)有；故選：B5.6名同學(xué)排成一排，其中甲?乙兩人必須在一起的不同排法共有（）A.720 B.360 C.240 D.120【正確答案】C【分析】先將甲乙捆綁在一起，然后將其看成一個(gè)元素與其余4人一起進(jìn)行全排列可得.【詳解】先將甲?乙兩人排成一排共種排法，將甲?乙兩人看成一個(gè)元素，然后與其余4人一起排成一排，共有種，所以甲?乙兩人在一起的不同排法共有種排法.故選：C6.直線與函數(shù)的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】先用導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，結(jié)合數(shù)形結(jié)合方法即可求解【詳解】因?yàn)椋?，令，解得或，由，解得或，由，解得，所以在上遞增，在遞減，在遞增，當(dāng)時(shí)，取得極大值且為，當(dāng)時(shí)，取得極小值且為，因?yàn)橹本€與函數(shù)的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為，故選：A7.某地實(shí)行高考改革，考生除參加語文，數(shù)學(xué)，外語統(tǒng)一考試外，還需從物理，化學(xué)，生物，政治，歷史，地理六科中選考三科，要求物理，化學(xué)，生物三科至少選一科，政治，歷史，地理三科至少選一科，則考生共有多少種選考方法A. B. C. D.【正確答案】C【詳解】利用間接法求解．從六科中選考三科的選法有，其中包括了沒選物理、化學(xué)、生物中任意一科與沒選政治、歷史、地理中任意一科，這兩種選法均有，因此考生共有多少種選考方法有種．8.下列函數(shù)中，在內(nèi)為增函數(shù)的是（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】選項(xiàng)A根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷，選項(xiàng)BCD通過導(dǎo)數(shù)進(jìn)行判斷即可.【詳解】A：因?yàn)楫?dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，故本選項(xiàng)不符合題意；B：，因?yàn)闀r(shí)，，所以函數(shù)在內(nèi)為增函數(shù)，故本選項(xiàng)符合題意；C：，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，故本選項(xiàng)不符合題意；D：，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，故本選項(xiàng)不符合題意，故選：B9.若關(guān)于的不等式在上有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】分離參數(shù)，構(gòu)造新函數(shù)，轉(zhuǎn)化為與新函數(shù)最值關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)求出新函數(shù)最值，即可得出結(jié)論.【詳解】關(guān)于的不等式在上有解，即在上有解，設(shè)，，恒成立，即在上為增函數(shù)，.故選：C.本題考查不等式能成立問題、應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，分離參數(shù)構(gòu)造函數(shù)是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.二、單空題(本大題共6小題，共24.0分)10.計(jì)算：______．【正確答案】9【分析】根據(jù)題意，由組合數(shù)和排列數(shù)公式計(jì)算可得答案．【詳解】根據(jù)題意，4×3＝21﹣12＝9，故911.已知，則函數(shù)的最大值為____________【正確答案】【分析】求導(dǎo)，確定函數(shù)單調(diào)性，即可求解；【詳解】由，得，由f′x=3x2由，可得：，即在單調(diào)遞減，所以在單調(diào)遞減，所以最大值為：，故12.已知，則_______【正確答案】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，代入求值即可.【詳解】由，得，把代入得：，解得.故答案為.13.6名學(xué)生，其中3人只會(huì)唱歌，2人只會(huì)跳舞，剩下1人既會(huì)唱歌又會(huì)跳舞，選出2人唱歌2人跳舞，共有______種不同的選法.（請用數(shù)學(xué)作答）【正確答案】12【分析】根據(jù)既會(huì)唱歌又會(huì)跳舞那1個(gè)人未選中和選中分類，選中后又選為唱歌還是跳舞再分類求解．【詳解】根據(jù)既會(huì)唱歌又會(huì)跳舞的那1個(gè)人未選中，選中唱歌，選中跳舞分類：．故12.本題考查組合的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是多面手的安排．可按多面手的作用分類：未選中多面手，選中多面手后安排做一種工作．再確定其它要選的人數(shù)．14.若函數(shù)恰好有三個(gè)單調(diào)區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________．【正確答案】【分析】先求導(dǎo)，若函數(shù)有三個(gè)單調(diào)區(qū)間，則只需滿足有兩個(gè)不等的實(shí)根.【詳解】∵函數(shù)，∴，由函數(shù)恰好有三個(gè)單調(diào)區(qū)間，得有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)，∴有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則只需滿足：，解得且.即，故答案為.本題考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，較簡單，解答時(shí)將問題靈活轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵.15.若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)，則實(shí)數(shù)取值范圍是_____________________________．【正確答案】【詳解】，令，得，即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，又因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，解得；故填.點(diǎn)睛：已知函數(shù)在所給區(qū)間上單調(diào)遞增，求有關(guān)參數(shù)的取值范圍，往往采用以下兩種方法：①求出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，通過所給區(qū)間是該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間的子集進(jìn)行求解；②將問題轉(zhuǎn)化為在所給區(qū)間上恒成立進(jìn)行求解.三、解答題(本大題共5小題，共60.0分)16.已知函數(shù)在處有極值（1）求實(shí)數(shù)a、b的值;（2）求函數(shù)在上的最值.【正確答案】（1）（2），．【分析】（1）由求解即可；（2）求導(dǎo)確定函數(shù)單調(diào)性，即可求解；【小問1詳解】由題意得，定義域?yàn)橐驗(yàn)樵谔幱袠O值，所以，解得；經(jīng)驗(yàn)證符合題意；【小問2詳解】由(1)，所以，，令，在定義域內(nèi)解得，當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)，，易得，所以當(dāng)時(shí)，，．17高二年級(1)班有6人參加數(shù)學(xué)小組，(2)班有5人參加物理小組，(3)班有4人參加化學(xué)小組，問：（1）選其中1人擔(dān)任數(shù)理化小組組長，有多少種不同的選法?（2）每班選1人參加全國數(shù)理化競賽，有多少種不同的選法?（3）選取其中兩人參加不同的學(xué)科競賽，有多少種不同的選法?【正確答案】（1）15（2）120（3）74【分析】（1）由分類加法計(jì)數(shù)原理即可求解；（2）由分步乘法計(jì)數(shù)原理即可求解；（3）先分類再分步即可求解；【小問1詳解】選其中1人擔(dān)任數(shù)理化小組組長，可以來自數(shù)學(xué)或物理或化學(xué)，所以共有種選法；【小問2詳解】分三步完成，第一步數(shù)學(xué)選1人，6種，第二步物理選1人，5種，第三步化學(xué)選1人，4種，所以共有種；【小問3詳解】來自數(shù)學(xué)、物理共有，來自數(shù)學(xué)化學(xué)共有，來自物理化學(xué)共有，所以總共由種選法；18.已知函數(shù)其中a為實(shí)數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求曲線)在點(diǎn)處的切線方程;（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）若函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.【正確答案】（1）（2）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，；單調(diào)遞減區(qū)間是；（3）【分析】（1）求導(dǎo)，確定斜率即可求解；（2）由和即可求解；（3）求得極值，通過極大值小于0，或極小值大于0，求解即可；【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，所以，，所以，所以切線方程為：，即；【小問2詳解】由f′x=3x2由，可得：，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，；單調(diào)遞減區(qū)間是；【小問3詳解】由（2）知極大值為：，極小值為：，當(dāng)，故若函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，需滿足：或，解得：或，即a的取值范圍是；19.已知函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線方程為.（1）求的表達(dá)式；（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍.【正確答案】（1）；（2）.【分析】(1)根據(jù)題干和導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到，解得，，解得，從而得到解析式；（2）原式等價(jià)于，令，對函數(shù)求導(dǎo)得到函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得到最值.【詳解】（1），，解得，，解得，所以.（2）當(dāng)時(shí)，，即.令，則.令，，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，，則當(dāng)時(shí)，即，所以單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，即，所以單調(diào)遞增，綜上，，所以.對于函數(shù)恒成立或者有解求參的問題，常用方法有：變量分離，參變分離，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題；或者直接求函數(shù)最值，使得函數(shù)最值大于或者小于0；或者分離成兩個(gè)函數(shù)，使得一個(gè)函數(shù)恒大于或小于另一個(gè)函數(shù)．20.設(shè)函數(shù).（Ⅰ）若曲線在點(diǎn)處的切線斜率為0，求a；（Ⅱ）若在處取得極小值，求a的取值范圍.【正確答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【詳解】分析：（1）求導(dǎo)，構(gòu)建等量關(guān)系，解方程可得參數(shù)的值；（2）對分及兩種情況進(jìn)行分類討論，通過研究的變化情況可得取得極值的可能，進(jìn)而可求參數(shù)的取值范圍.詳解：解：（Ⅰ）因?yàn)?，所?，由題設(shè)知，即，解得.（Ⅱ）方法一：由（Ⅰ）得.若a>1，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以在x=1處取得極小值.若，則當(dāng)時(shí)，，所以.所以1不是的極小值點(diǎn).綜上可知，a的取值范圍是.方法二.（1）當(dāng)a=0時(shí)，令得x=1.隨x變化情況如下表：x1+0?↗極大值↘∴在x=1處取得極大值，不合題意.（2）當(dāng)a>0時(shí)，令得.①當(dāng)，即a=1時(shí)，，∴在上單調(diào)遞增，∴無極值，不合題意.②當(dāng)，即0<a<1時(shí)，隨x的變化情況如下表：x1+0?0+↗極大值↘極小值↗∴在x=1處取得極大值，不合題意.③當(dāng)，即a>1時(shí)，隨x的變化情況如下表：x+0?0+↗極大值↘極小值↗∴在x=1處取得極小值，即a>1滿足題意.（3）當(dāng)a<0時(shí)，令得.隨x的變化情況如下表：x?0+0?↘極小值↗極大值↘∴在x=1處取得極大值，不合題意.綜上所述，a的取值范圍為.點(diǎn)睛：導(dǎo)數(shù)類問題是高考數(shù)