第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2025年湖南省株洲十三中高考數(shù)學(xué)模擬試卷（3月份）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合A={x|2x≤3}，B={x|x=2n?1,n∈N}，則A∩B=A.{?1,0,1} B.{?1,1} C.{1} D.?2.下列函數(shù)在定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是(

)A.f(x)=?x3 B.f(x)=x+1x C.3.已知復(fù)數(shù)z1在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，且z2z1=2A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限4.某機(jī)器上有相互嚙合的大小兩個(gè)齒輪(如圖所示)，大輪有50個(gè)齒，小輪有15個(gè)齒，小輪每分鐘轉(zhuǎn)10圈，若大輪的半徑為2cm，則大輪每秒轉(zhuǎn)過(guò)的弧長(zhǎng)是(

)A.12πcm

B.6πcm

C.π10cm

5.已知等差數(shù)列{an}的公差不為0，前n項(xiàng)和為Sn，若S5=10(A.an=2n?10 B.數(shù)列{|an|}最小項(xiàng)是|a5|

C.S6.甲、乙兩名乒乓球運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行一場(chǎng)比賽，采用7局4勝制(先勝4局者勝，比賽結(jié)束)，已知每局比賽甲獲勝的概率為23，則甲第一局獲勝并最終以4：1獲勝的概率為(

)A.16243 B.64243 C.16817.已知點(diǎn)P為橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為C的左，右焦點(diǎn).若半徑為b的圓M與F1P的延長(zhǎng)線切于點(diǎn)Q，與FA.22 B.32 C.8.已知函數(shù)f(x)=ex|x|，若方程[f(x)?e][f(x)+e+a]=0恰有5個(gè)不同的解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是A.(?∞,?e) B.(?∞,?2e) C.(?∞,?2e)二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知函數(shù)f(x)=23sinxcosx+2sinA.函數(shù)f(x)的最小正周期為π

B.函數(shù)f(x)的最大值為2

C.函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(π6,1)對(duì)稱

D.函數(shù)y=f(x)的圖象向左平移π10.如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB=BC=AA1，BC⊥AB，E，F(xiàn)，G，H分別為BB1，A.AB1⊥EG

B.EG，F(xiàn)H，AA1三線不共點(diǎn)

C.AB與平面EFHG所成角為45°

D.設(shè)11.在如圖所示8×8的方格圖中，去掉以下哪一個(gè)方格，剩下的方格圖能用總共21個(gè)3×1或1×3的矩形方格圖完全覆蓋(

)A.① B.② C.③ D.④三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知α，β滿足tanαtanβ=3,sin(α?β)=113.已知a，b，c成等差數(shù)列，若直線l：ax+by+c=0與曲線y=ex?1+lnx?3相切，則b+ca14.從1，2，3，…，20中任意選取四元數(shù)組(a1,a2,a3,四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題12分)

已知△ABC，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，△ABC的面積S=14(b2?ab)tanC．

(1)證明：C=2A；

(2)若CD為∠ACB的平分線，交AB于點(diǎn)D，且a=16.(本小題12分)

已知拋物線C：x2=2py(p>0)，過(guò)點(diǎn)A(p,0)的直線l交拋物線C于M，N兩點(diǎn)，且點(diǎn)A到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為12．

(1)求拋物線C的方程；

(2)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線l的斜率為k(k≠0)，△OMN的面積為317.(本小題12分)

如圖，在四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AB//CD，AB=2CD=2AD=4，CD⊥AD，AA1⊥BC，E，F(xiàn)分別是棱AB，BC的中點(diǎn)．

(1)證明：BC⊥平面ACC1A1．

(2)若AA1⊥AB，直線A18.(本小題12分)

已知函數(shù)f(x)=a+xlnx(a∈R)．

(1)若曲線y=f(x)在點(diǎn)(e,f(e))處的切線在y軸上的截距為?e，求a的值；

(2)若函數(shù)y=f(x)存在唯一極值點(diǎn)，求a的取值范圍；

(3)若函數(shù)y=f(x)存在極大值，記作?(a)，求證：ln(?(a))+|a|<1．

(參考結(jié)論：當(dāng)x→0+時(shí)，xlnx→0?，這里0+表示從0的右邊逼近19.(本小題12分)

材料一：英國(guó)數(shù)學(xué)家貝葉斯(1701～1763)在概率論研究方面成就顯著，創(chuàng)立了貝葉斯統(tǒng)計(jì)理論，對(duì)于統(tǒng)計(jì)決策函數(shù)、統(tǒng)計(jì)推斷等做出了重要貢獻(xiàn).貝葉斯公式就是他的重大發(fā)現(xiàn)，它用來(lái)描述兩個(gè)條件概率之間的關(guān)系.該公式為：設(shè)A1，A2，?，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪?∪An=Ω，且P(Ai)>0，i=1，2，?，n，則對(duì)任意的事件B?Ω，P(B)>0，有P(Ai|B)=P(Ai)P(B|Ai)P(B)=P(Ai)P(B|Ai)k=1nP(Ak)P(B|Ak),i=1，2，?，n．

材料二：馬爾科夫鏈?zhǔn)歉怕式y(tǒng)計(jì)中的一個(gè)重要模型，也是機(jī)器學(xué)習(xí)和人工智能的基石，在強(qiáng)化學(xué)習(xí)、自然語(yǔ)言處理、金融領(lǐng)域、天氣預(yù)測(cè)等方面都有著極其廣泛的應(yīng)用.其數(shù)學(xué)定義為：假設(shè)我們的序列狀態(tài)是?，Xt?2，Xt?1，Xt，Xt+1，?，那么Xt+1時(shí)刻的狀態(tài)的條件概率僅依賴前一狀態(tài)Xt，即P(Xt+1|?,Xt?2,Xt?1,Xt)=P(Xt+1|Xt).參考答案1.B2.C

3.D

4.D

5.D

6.C

7.D

8.B

9.AD

10.AC

11.AD

12.2313.?514.70

15.16.

17.18.(1)解：函數(shù)f(x)=a+xlnx，則f′(x)=lnx?a+xxln2x=xlnx?a?xxln2x(x>0且x≠1)，

則f′(e)=?ae,f(e)=a+e，

∴曲線y=f(x)在點(diǎn)(e,f(e))處的切線方程為y=?ae(x?e)+a+e=?aex+2a+e，

令x=0，則y=2a+e，

由題意得2a+e=?e，解得a=?e；

(2)解：f(x)存在唯一極值點(diǎn)等價(jià)于方程xlnx?x?a=0在(0,1)∪(1,+∞)上有唯一解．

設(shè)g(x)=xlnx?x?a，x∈(0,1)∪(1,+∞)，

則g′(x)=lnx，

當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，g′(x)<0，當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí)，g′(x)>0，

∴g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+∞)上單調(diào)遞增，

又當(dāng)x→0+時(shí)，xlnx→0?，當(dāng)x→+∞時(shí)，g(x)=x(lnx?1)?a→+∞，

∴g(x)在(0,1)上的值域?yàn)??a?1,?a)，在(1,+∞)上的值域?yàn)??a?1,+∞)，

故只需?a≤0，解得a≥0，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為[0,+∞)；

(3)證明：設(shè)s(x)=xlnx?x?a，

當(dāng)?1<a<0時(shí)，s(0)=?a>0，s(1)=?a?1<0，s(e)=?a>0，

∴存在0<x1<1<x2<e使得s(x1)=s(x2)=0，

即當(dāng)x∈(0,x1)∪(x2,+∞)時(shí)，f′(x)>0，當(dāng)x∈(x1,1)∪(1,x2)時(shí)，f′(x)<0，

∴f(x)在(0,x1)，(x2,+∞)上單調(diào)遞增，在(x1,1)，(1,x2)上單調(diào)遞減，

∴f(x)存在極大值為f(x1)，極小值為f(x219.解：(1)記事件A為一輛德國(guó)市場(chǎng)的電車性能很好，事件B為一輛德國(guó)市場(chǎng)的車來(lái)自W公司，

由全概率公式知：P(A)=P(A|B)P(B)+P(A|B?)P(B?)，

故所求概率為P(A|B?)=P(A)?P(A|B)?P(B)P(B?)=10%?0.25×3%97%≈0.095；

(2)記事件Ai(i=0,1,