8.5.1直線與直線平行

第八章

8．5空間直線、平面的平行學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解基本事實(shí)4和等角定理．2.借助長方體，通過直觀感知，了解空間中直線與直線平行的關(guān)系.

3.能夠利用基本事實(shí)4解決問題，培養(yǎng)直觀想象及邏輯推理核心素養(yǎng)．問題導(dǎo)思問題1.觀察右圖中長方體各條棱所在直線，思考下列問題：棱BB′，CC′，DD′所在直線與直線AA′平行，它們是否兩兩相互平行？棱A′D′，B′C′，BC所在直線與直線AD平行，它們是否也兩兩相互平行？棱A′B′，D′C′，DC所在直線與直線AB平行，它們是否也兩兩相互平行？由此，你能得到什么結(jié)論？提示：兩兩相互平行．得到結(jié)論：平行于同一條直線的兩條直線平行．新知構(gòu)建文字語言平行于同一條直線的兩條直線______圖形語言符號語言直線a，b，c，a∥b，b∥c?_________作用證明兩條直線平行說明基本事實(shí)4表述的性質(zhì)通常叫做平行線的_________平行a∥c傳遞性微提醒基本事實(shí)4表明了平行的傳遞性，它可以作為判斷兩直線平行的依據(jù)，同時(shí)也給出了空間兩直線平行的一種證明方法．例1

如圖所示，在空間四邊形ABCD(不共面的四邊形稱為空間四邊形)中，E，F(xiàn)，G，H分別為AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)．求證：四邊形EFGH是平行四邊形．證明：因?yàn)樵诳臻g四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別為AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，所以EF∥AC，HG∥AC，EF＝HG＝

AC，所以EF∥HG，EF＝HG，所以四邊形EFGH是平行四邊形．變式探究(變條件)保持本例條件不變，若AC＝BD，試判斷四邊形EFGH的形狀，并證明．解：四邊形EFGH是菱形．證明如下：因?yàn)樵诳臻g四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別為AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，所以EH∥BD，EH＝

BD.因?yàn)镋F＝

AC，AC＝BD，所以EH＝EF.又因?yàn)樗倪呅蜤FGH是平行四邊形，所以四邊形EFGH是菱形．規(guī)律方法關(guān)于空間中兩直線平行的證明1．證明兩直線平行，目前有兩種途徑：一是應(yīng)用基本事實(shí)4，即找到第三條直線，證明這兩條直線都與之平行；二是證明同一個(gè)平面內(nèi)這兩條直線無公共點(diǎn)．2．證明依據(jù)：三角形中位線定理；平行線分線段成比例定理的逆定理；幾何體中相對棱、對角線的平行關(guān)系．

對點(diǎn)練1．如圖，E，F(xiàn)分別是長方體ABCD-A1B1C1D1的棱A1A，C1C的中點(diǎn)．求證：四邊形B1EDF為平行四邊形．證明：如圖，取DD1的中點(diǎn)Q，連接EQ，QC1.因?yàn)镋是AA1的中點(diǎn)，所以EQ綉A1D1.因?yàn)樵诰匦蜛1B1C1D1中，A1D1綉B(tài)1C1，所以EQ綉B(tài)1C1，所以四邊形EQC1B1為平行四邊形，所以B1E綉C1Q.又Q，F(xiàn)分別是D1D，C1C的中點(diǎn)，所以QD綉C1F，所以四邊形DQC1F為平行四邊形，所以C1Q綉FD.又B1E綉C1Q，所以B1E綉FD，故四邊形B1EDF為平行四邊形．返回問題導(dǎo)思問題2.在平面內(nèi)，如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)，在空間中，這一結(jié)論是否仍然成立呢？提示：當(dāng)空間中兩個(gè)角的兩條邊分別對應(yīng)平行時(shí)，這兩個(gè)角有如圖所示的兩種位置．對于圖①，我們可以構(gòu)造兩個(gè)全等三角形，使∠BAC和∠B′A′C′是它們的對應(yīng)角，從而證明∠BAC＝∠B′A′C′.如圖③，分別在∠BAC和∠B′A′C′的兩邊上截取AD，AE和A′D′，A′E′，使得AD＝A′D′，AE＝A′E′，連接AA′，DD′，EE′，DE，D′E′.因?yàn)锳D綉A′D′，所以四邊形ADD′A′是平行四邊形，所以AA′綉DD′.同理可證AA′綉EE′，所以DD′綉EE′，所以四邊形DD′E′E是平行四邊形，所以DE＝D′E′.所以△ADE≌△A′D′E′，所以∠BAC＝∠B′A′C′.對于圖②，同理可證．新知構(gòu)建1．等角定理文字語言如果空間中兩個(gè)角的兩條邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角______或______圖形語言作用判斷或證明兩個(gè)角相等或互補(bǔ)2.推論如果兩條相交直線與另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角(或直角)相等．相等互補(bǔ)例2

如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別為棱CC1，BB1，DD1的中點(diǎn)，證明：∠BGC＝∠FD1E.證明：因?yàn)镕為BB1的中點(diǎn)，所以BF＝

BB1，因?yàn)镚為DD1的中點(diǎn)，所以D1G＝

DD1.又BB1∥DD1，BB1＝DD1，所以BF∥D1G，BF＝D1G.所以四邊形D1GBF為平行四邊形．所以D1F∥GB，同理D1E∥GC.所以∠BGC與∠FD1E的對應(yīng)邊平行且方向相同，且均為銳角，所以∠BGC＝∠FD1E.規(guī)律方法關(guān)于等角定理的應(yīng)用1．根據(jù)空間中相應(yīng)的定理證明角的兩邊分別平行，即先證明線線平行．2．根據(jù)角的兩邊的方向判定兩角相等或互補(bǔ)．

對點(diǎn)練2．如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱AA1，CC1的中點(diǎn)．求證：(1)D1E∥BF；證明：如圖，取BB1的中點(diǎn)M，連接EM，C1M.在矩形ABB1A1中，易得EM∥A1B1，EM＝A1B1，因?yàn)锳1B1∥C1D1，A1B1＝C1D1，所以EM∥C1D1，EM＝C1D1，所以四邊形EMC1D1為平行四邊形，所以D1E∥MC1.在矩形BCC1B1中，易得MB∥C1F，MB＝C1F，所以四邊形MBFC1為平行四邊形，所以BF∥MC1，所以D1E∥BF.(2)∠B1BF＝∠A1ED1.證明：因?yàn)镈1E∥BF，BB1∥EA1，又∠B1BF與∠A1ED1的對應(yīng)邊方向相同，所以∠B1BF＝∠A1ED1.返回例3基本事實(shí)4與等角定理的綜合應(yīng)用

如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別是AB，BB1，BC的中點(diǎn)，求證：△EFG∽△C1DA1.證明：如圖所示，連接B1C.因?yàn)镚，F(xiàn)分別為BC，BB1的中點(diǎn)，所以GF∥B1C.又ABCD-A1B1C1D1為正方體，所以CD綉AB，A1B1綉AB，由基本事實(shí)4知CD綉A1B1，所以四邊形A1B1CD為平行四邊形，所以A1D綉B(tài)1C.又B1C∥FG，由基本事實(shí)4知A1D∥FG.同理可證A1C1∥EG，DC1∥EF.又∠DA1C1與∠EGF，∠A1DC1與∠EFG，∠DC1A1與∠GEF的兩條邊分別對應(yīng)平行且均為銳角，所以∠DA1C1＝∠EGF，∠A1DC1＝∠EFG，∠DC1A1＝∠GEF.所以△EFG∽△C1DA1.規(guī)律方法

基本事實(shí)4是運(yùn)用等角定理的主要理論支撐，在解題中經(jīng)常作為證明角相等的依據(jù)．

對點(diǎn)練3．如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，E1，F(xiàn)1分別為AD，AB，B1C1，C1D1的中點(diǎn)．(1)求證：EF綉E1F1；證明：連接BD，B1D1(圖略).因?yàn)镋，F(xiàn)分別為AD，AB的中點(diǎn)，所以在△ABD中，EF∥BD且EF＝

BD.同理，E1F1∥B1D1且E1F1＝

B1D1.又在正方體ABCD-A1B1C1D1中，BB1綉DD1，所以四邊形BB1D1D為平行四邊形，所以BD∥B1D1且BD＝B1D1，所以EF綉E1F1.(2)求證：∠EA1F＝∠E1CF1.證明：取A1B1的中點(diǎn)M，連接BM，F(xiàn)1M(圖略)，則BF＝A1M＝

AB.又BF∥A1M，所以BF綉A1M，所以四邊形A1FBM為平行四邊形，所以A1F∥BM.因?yàn)镸，F(xiàn)1分別為A1B1，C1D1的中點(diǎn)，所以F1M綉C1B1，而C1B1綉B(tài)C，所以F1M∥BC且F1M＝BC，所以四邊形F1MBC為平行四邊形，所以BM∥F1C.又BM∥A1F，所以A1F∥CF1.同理A1E∥CE1.因?yàn)椤螮A1F與∠E1CF1的兩邊分別對應(yīng)平行，即A1E∥CE1，A1F∥CF1且方向都相反，所以∠EA1F＝∠E1CF1.返回課堂小結(jié)知識(1)基本事實(shí)4的應(yīng)用．(2)等角定理的應(yīng)用．方法轉(zhuǎn)化法易錯(cuò)誤區(qū)用等角定理時(shí)，角度有可能相等或互補(bǔ)．隨堂演練1．已知直線a∥直線b，直線b∥直線c，直線c∥直線d，則a與d的位置關(guān)系是A．平行 B．相交C．異面 D．不確定√因?yàn)閍∥b，b∥c，所以a∥c.又c∥d，所以a∥d.故選A.2．若∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1，OA與O1A1方向相同，則下列結(jié)論正確的有A．OB∥O1B1且方向相同B．OB∥O1B1，方向可能不同C．OB與O1B1不平行D．OB與O1B1不一定平行√當(dāng)∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1，OA與O1A1的方向相同時(shí)，OB與O1B1不一定平行．故選D.3．如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F(xiàn)分別是AB，AC上的點(diǎn)，且AE∶EB＝AF∶FC，則EF